椭圆及其标准方程

1 / 5 椭圆及其标准方程 莲山课 件 k 椭圆及其标准方程教学目标 1.把握椭圆的定义 ,把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 ; 2.能根据条件确定椭圆的标准方程 ,把握运用待定系数法求椭圆的标准方程 ; 3.通过对椭圆概念的引入教学 ,培养学生的观察能力和探索能力 ; 4.通过椭圆的标准方程的推导 ,使学生进一步把握求曲线方程的一般方法 ,并渗透数形结合和等价转化的思想方法 ,提高运用坐标法解决几何问题的能力 ; 5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程 ,激发学生学习数学的积极性 ,培养学生的学习爱好和创新意识 . 教学建议 教材分析 1.知识结构 2.重点难点分析 重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式 .难点是椭圆标准方程的建立和推导 .关键是把握建立坐标系与根式化简的方法 . 2 / 5 椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容 :一是椭圆的定义 ;二是椭圆的标准方程 .椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先碰到的 ,所以教材把对椭圆的研究放在了重点 ,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用 .先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然 .学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的 . (1)对于椭圆的定义的理解 ,要抓住椭圆 上的点所要满足的条件 ,即椭圆上点的几何性质 ,可以对比圆的定义来理解 . 另外要注重到定义中对 “ 常数 ” 的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种非凡情况 ,即 :“ 当常数等于时轨迹是一条线段 ;当常数小于时无轨迹 ”. 这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质 .但讲解椭圆的定义时注重不要忽略这两种非凡情况 ,以保证对椭圆定义的准确性 . (2)根据椭圆的定义求标准方程 ,应注重下面几点 : 曲线的方程依靠于坐标系 ,建立适当的坐标系 ,是求曲线方程首先应该注重的地方 .应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行 推理 ,发现椭圆有两条互相垂直的对称轴 ,以这两条对称轴作为坐标系的两轴 ,不但可以使方程的推导过程变得简单 ,而且也可以使最终得出的方程形式整洁和简洁 . 设椭圆的焦距为 ,椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ,令 ,3 / 5 这些措施 ,都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整洁、简洁 ,要让学生认真领会 . 在方程的推导过程中碰到了无理方程的化简 ,这既是我们今后在求轨迹方程时经常碰到的问题 ,又是学生的难点 .要注重说明这类方程的化简方法 : 方程中只有一个根式时 ,需将它单独留在方程的一侧 ,把其他项移至另一侧 ; 方程中有两个根式时 ,需将它们分别放在方程的两侧 ,并使其中一侧只有一项 . 教科书上对椭圆标准方程的推导 ,实际上只给出了 “ 椭圆上点的坐标都适合方程 “ 而没有证实 ,” 方程的解为坐标的点都在椭圆上 ”. 这实际上是方程的同解变形问题 ,难度较大 ,对同学们不作要求 . (3)两种标准方程的椭圆异同点 中心在原点、焦点分别在轴上 ,轴上的椭圆标准方程分别为 :,.它们的相同点是 :外形相同、大小相同 ,都有 ,.不同点是 :两种椭圆相对于坐标系的位置不同 ,它们的焦点坐标也不同 . 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大 ; 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大 . 另外 ,形如中 ,只要 ,同号 ,就是椭圆方程 ,它可以化为 . (4)教科书上通过例 3 介绍了另一种求轨迹方程的常用方法 中间变量法 .例 3有三个作用 :第一是教给学生利用中间4 / 5 变量求点的轨迹的方法 ;第二是向学生说明 ,假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同 ,那么这个轨迹是椭圆 ;第三是使学生知道 ,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆 . 教法建议 (1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用 ,激发学生的学习爱好 . 为激发学生学习圆锥曲线的爱好 ,体会圆锥曲线 知识在实际生活中的作用 ,可由实际问题引入 ,从中提出圆锥曲线要研究的问题 ,使学生对所要研究的内容心中有数 ,如书中所给的例子 ,还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。 例如 ,我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道 椭圆上运行 ,太阳系的其他行星也如此 ,太阳则位于椭圆的一个焦点上 .假如这些行星运动的速度增大到某种程度 ,它们就会沿抛物线或双曲线运行 .人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理 .相对于一个物体 ,按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动 ,不可能有任何其他的轨道 .因而 ,圆锥曲线在这种意义上讲 ,它构成了我们宇宙的基本形式 ,另外 ,工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线 ,都和圆锥曲线有关 ,圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的 . (2)安排学生课下切割圆锥形的事物 ,使学生了解圆锥曲线5 / 5 名称的来历 为了让学生了解圆锥曲线名称的来历 ,但为了节约课堂时间 ,教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等 ,以加深对圆锥曲线的熟悉 . (3)对椭圆的定义的引入 ,要注重借助于直观、形象的模型或教具 ,让学生从感性熟悉入手 ,逐步上升到理性熟悉 ,形成正确的概念。 教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道 ,谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等 ,让学生先对椭圆有一个直观的了解。 教师可事先预备好一根细线及两根钉子 ,在给出椭圆在数学上的严格定义之前 ,教师先在黑板上取两个定点 (两定点之间的距离小于细线的长度 ),再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后 ,教师再在黑板