正、余弦定理的应用举例

1 / 11 正、余弦定理的应用举例 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 正、余弦定理的应用举例（ 2） 知识梳理 2.解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。 3.解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。 典例剖析 题型一正、余弦定理在几何中的应用 例 1 如图所示，已知半圆的直 径 AB 2，点 c 在 AB 的延长线上， Bc 1，点 P 为半圆上的一个动点，以 Dc 为边作等边PcD ，且点 D 与圆心 o 分别在 Pc 的两侧，求四边形 oPDc面积的最大值 解：设 PoB ，四边形面积为，则在 Poc 中，由余弦定理得： Pc2 oP2 oc2 2oPoccos 5 4cos oPc PcD (5 4cos) 2 / 11 2sin( ) 当 即 时， max 2 评述：本题中余弦定理为表示 PcD 的面积，从而为表示四边形 oPDc 面积提供了可能，可见正 、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式 sin（ ） sincos cossin 的构造及逆用，应予以重视 题型二正、余弦定理在函数中的应用 例 2 如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上， 起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行， （ 1）起初，两人的距离是多少？ （ 2）用包含的式子表示小时后两人的距离； （ 3）什么时候两 人的距离最短？ 解：（ 1）设甲、乙两人起初的位置是、， 则 ， 起初，两人的距离是 （ 2）设甲、乙两人小时后的位置分别是， 3 / 11 则， 当时，； 当时， 所以， （ 3）， 当时，即在第分钟末，最短。 答：在第分钟末，两人的距离最短。 评析：（ 2）中，分 0t 和 t两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（ 3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。 备选题正、余弦定理的综合应用 例 3 如图，已知 ABc 是边长为 1 的正三角形， m、 N 分别是边 AB、 Ac上的点，线段 mN经过 ABc 的中心 G，设 mGA （） （ 1）试将 AGm 、 AGN 的面积（分别记为 S1与 S2）；表示为 的函数， （ 2）求 y的最大值与最小值。 解析：（ 1）因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABc的中心， 所以 AG， mAG，由正弦定理 得， 则 S1 GmGAsin。同理可求得 S2。 4 / 11 （ 2） y 72（ 3 cot2） 因为， 所以当 或 时， y 取得最大值 ymax240，当 时， y 取得最小值 ymin 216。 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点。 点击双基 1在 ABc 中，则 ABc 的面积为（） 解： S=4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80 = 答案： c 2.如图所示 :在一幢 20m 高的楼顶 A 测得对面一塔顶 c的仰角为 60,塔基 D 的俯角为 45,则这座塔的高是 () (10+10)mD.(20+20)m 解：可知 BAD=45,AE=20,AB=20,BAc=60, cB=ABtan60=20 所以这座塔的高 cD=(20+20)m 答案： D 3在 ABc 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） 5 / 11 A b=10， A=45 ， B=70B a=60， c=48， B=100 c a=7， b=5， A=80D a=14， b=16， A=45 解： A,B 可根据余弦定理求解，只有一解，选项 c 中 ， A 为锐角，且 ab,只有一解 . 选项 D 中所以有两个解。 答案： D 4.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 600，另一灯塔在船的南偏西 750，则这艘船是每小时航行 _。 解： 10海里 5某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（） 不能确定大小 解：依题意知 Bc=,cD=,BAc=cAD. ABc 中 , AcD 中 , BccD,即 答案： c 6 / 11 课后作业 1.有一长为 1 公里的斜坡，它的倾斜角为 20 ，现要将倾斜角改为 10 ，则坡底要伸长（） 公里 公里 公里 公里 答案： A 2.边长分别为 5， 7， 8 的三角形的最大角与最小角的和是（） 解：用余弦定理算出中间的角为 60. 答案： B 3.下列条件中， ABc 是锐角三角形的是（） +cosA=B. +tanB+tanc =3， c=3， B=30 解：由 sinA+cosA=得 2sinAcosA= 0， A 为钝角 . 由 0，得 0， cos ， 0.B 为钝角 . 由 tanA+tanB+tanc 0，得 tan（ A+B） （ 1 tanAtanB）+tanc 0. tanAtanBtanc 0， A、 B、 c 都为锐角 . 由 =，得 sinc=， c= 或 . 答案： c 4、已知锐角三角形的边长分别为 1， 3， a，则 a 的范围是（） A B c D 解： a 7 / 11 答案： B 5.某市在 “ 旧城改造 ” 中计划内一块如图所示的三角形空地上种植 草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（） A 450a元 B 225a 元 c 150a元元 解： S=150购买这种草皮至少要 150a元 答案： c 6.甲船在岛 B 的正南方 A 处， AB 10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行，同时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60 的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（） A分钟 B分钟 c分钟 D分钟 解：设航行时间为 t 小时，则两船相距 = t=-小时 =分钟 答案： A 7.飞机沿水平方向飞行，在 A 处 测得正前下方地面目标 c 得俯角为 30 ，向前飞行 10000米，到达 B 处，此时测得目标c 的俯角为 60 ，这时飞机与地面目标的水平距离为（） A 5000米 B 5000 米 c 4000米 D米 解： =30,DBc=60,AB=5000 8 / 11 答案： A 8 如图， ABc 是简易遮阳棚， A、 B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40 角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚 ABc与地面所成的角为 A75B60c50D45 解：作 cE 平面 ABD于 E，则 cDE 是太阳光线与 地面所成的角，即 cDE=40 ，延长 DE交直线 AB于 F，连结 cF，则cFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为 要使 SABD 最大，只需 DF最大 在 cFD 中， = DF= cF 为定值， 当 =50 时， DF最大 答案： c 二填空题 9.某船在海面 A 处测得灯塔 c 与 A 相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔 B 与 A 相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到 D 处，测得灯塔 B 在南偏西方向。这时灯塔 c与 D 相距海里 答案： 10.在 ABc 中，已知 60 ，如果 ABc 两组解，则 x 的取值范围是 解： asinBba,即 xsin602x 9 / 11 答案： 11一船以每小时 15km的速度向东航行 ,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东，行驶 4h 后，船到达 c 处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km 答案： 三解答题 12.某人在 m 汽车站的北偏西 20 的方向上的 A 处，观察到点c 处有一辆汽车沿公路向 m 站行驶。公路的走向是 m 站的北偏东 40。开始时，汽车到 A 的距离为 31千米，汽车前进 20千米后，到 A 的距离缩短了 10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 m 汽车站？ 解：由题设，画 出示意图，设汽车前进 20 千米后到达B 处。在 ABc中， Ac=31， Bc=20， AB=21，由余弦定理得 cosc=, 则 sinc=1-cosc=, sinc=, 所以 sinmAc=sin（ 120-c） =sin120cosc-cos120sinc= 在 mAc中，由正弦定理得 mc=35 从而有 mB=mc-Bc=15 答：汽车还需要行驶 15千米才能到达 m 汽车站。 13如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上10 / 11 的 A， B， c 三点进行测量，已知，于 A 处测得水深，于 B处测得水深，于 c 处测得水 深，求 DEF 的余弦值。 解：作交 BE于 N，交 cF于 m ， ， 在中，由余弦定理， 14.在中，角 A、 B、 c 的对边分别为、， ，又的面积为 .（ 1）求角 c 的大小；（ 2）求的值 . 解：（ 1）由已知得，所以，； （ 2）因为，所以， 又因为，所以 所以， =5 思悟小结 1.三角形中的边角问题的求解，或三角形的形状的判定，及其与三角形有关的问