江苏高三数学历次模拟试题立体几何汇编

1 / 26 江苏高三数学历次模拟试题立体几何汇编 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 目录（基础复习部分） 第十章立体几何 2 第 57课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 2 第 58课直线与平面的位置关系 平行 3 第 59课直线与平面的位置关系 垂直 5 第 60课平面与平面的位置关系 5 第 61课柱、锥、台、球的表面积与体积 8 第 62课综合应用 10 第十章立体几何 第 57课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线； 若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直； 若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线； 若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线； 答案： ； 提示： 注意到两平面是相交的，若两个平面是互相垂直的，显然存在；故不一定存在； 2 / 26 注意到是垂直，一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线； 与 对立的，一定有一个是真命题； 立体几何最重要的一个定理是 “ 三垂线定理 ” ；立柱、投影、作垂 线即成 是真命题 平时强调的重点内容啊！ （南京盐城二模） （扬州期末）在三棱锥 P ABc 中， D 为 AB的中点 （ 1）与 Bc平行的平面 PDE交 Ac 于点 E，判断点 E 在 Ac上的位置，并说明理由； （ 2）若 PA=PB，且 PcD 为锐角三角形，又平面 PcD 平面ABc，求证： ABPc （ 1）为中点理由如下： 平面交于，即平面平面， 而平面，平面，所以 .4 分 在中，因为为的中点，所以为中点； 7 分 （ 2）因为，为的中点，所以 . 因为平面平面，平面平面， 在锐 角所在平面内作于， 则点与点不重合，且平面 .10 分 因为平面，所以 3 / 26 又，平面，则平面 又平面，所以 14 分 （淮安宿迁摸底）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且 （ 1）求证：； （ 2）若平面与平面的交线为，求证： （ 1）连接 Ac，交 BD于点 o，连接 Po 因为四边形 ABcD为菱形，所以 2 分 又因为， o 为 BD 的中点， 所以 4 分 又因为 所以， 又因为 所以 7 分 （ 2）因为四边形 ABcD为菱形， 所以 9分 因为 所以 11 分 又因为，平面平面 所以 14 分 第 58课直线与平面的位置关系 平行 （镇江期末）设，为不重合两平面，是不重合两直线，给4 / 26 出下列四个命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则 其中正确命题的序号为 . （苏北四市期末）如图，在三棱锥中，已知平面 平面 (1)若 ， ，求证： ； (2)若过点作直线 平面，求证： /平面 （ 1）因为平面 平面，平面平面， 平面， ，所以 平面 2 分 因 为 平 面 ， 所 以.4 分 又因为 ，且，平面， 所以 平面， 6分 又 因 为 平 面 ， 所 以 7 分 （ 2 ） 在 平 面 内 过 点 作 ，垂足为 8 分 因为平面 平面，又平面 平面 Bc， 5 / 26 平面，所以 平面 10分 又 平面，所以 / 12分 又平面，平面， /平面 14 分 （南京盐城二模）如图，在四棱锥 P ABcD中， AD cD 12AB， ABDc ， ADcD ， Pc 平面 ABcD （ 1）求证： Bc 平面 PAc； （ 2）若 m 为线段 PA 的中点，且过 c， D， m 三点的平面与PB交于点 N，求 PN： PB的值 证明：（ 1）连结 Ac不妨设 AD 1 因为 AD cD 12AB，所以 cD 1， AB 2 因为 ADc 90，所以 Ac 2， cAB 45 在 ABc 中，由余弦定理得 Bc 2，所以 Ac2 Bc2 AB2 所以 BcAc 3 分 因为 Pc平面 ABcD， Bc平面 ABcD，所以BcPc 5 分 因为 Pc平面 PAc， Ac平面 PAc， PcAc c， 所以 Bc平面 PAc 7 分 6 / 26 （ 2）如图，因为 ABDc ， cD平面 cDmN， AB平面 cDmN， 所以 AB 平面 cDmN 9 分 因为 AB平面 PAB， 平面 PAB 平面 cDmN mN， 所以 ABmN 12 分 在 PAB 中，因为 m 为线段 PA的中点， 所以 N 为线段 PB的中点， 即 PN： PB的值为 12 14 分 第 59课直线与平面的位置关系 垂直 第 60课平面与平面的位置关系 （南京盐城模拟一）如图，在正方体中，分别为，的中点 . （ 1）求证：平面； （ 2）求证：平面平面 证明： （ 1）连接，设，连接 2 分 因为 o， F 分别是与的中点，所以，且 又 E 为 AB中点，所以，且， 从而 ，即四边形 oEBF是平行四边形， 所以 6 分 又平平面，平面， 所以平面 .8 分 7 / 26 （ 2）因为平面，平面， 所以 10 分 又，且，平面， 所以平面 12 分 而，所以平面 又平面，所以平面平面 .14 分 (无锡期末 )如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面 . （ 1）请在木块的上底面作出过的锯线 ，并说明理由； （ 2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形是矩形，试证明：平面平面 . （泰州二模）如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，点分别是的中点 （ 1）求证： 平面； （ 2）求证：平面平面 证：（ 1）取中点，连接， 又是中点，则， 又是矩形边中点， 所以，则四边形是平行四边形， 所以，又面，面，所以 平面 分 （ 2）因为平面平面，所以平面， 8 / 26 因为平面，所以， 又，所以平面， 而平面，所以平面平面 14 分 （南通调研二）如图，在四面体中 ，平面平面， 90 ，分别为棱， ，的中点 （ 1）求证：平面； （ 2）求证：平面平面 证明：（ 1）因为，分别为棱，的中点， 所以， 2 分 又平面，平面， 故平面 6 分 （ 2）因为，分别为棱，的中点，所以， 又 ，故 8 分 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面 11 分 又平面， 平面平面 14 分 （注：若使用真命题 “ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 ” 证明 “ 平面 ” ，扣 1分） （金海南三校联考）如图，在四面体 ABcD 中， AD=BD，9 / 26 ABc=90 ，点 E、 F 分别为棱 AB、 Ac上的点，点 G 为棱 AD的中点，且平面 EFG/平面 BcD.求证： (1)EF=； (2)平面 EFD 平面 ABc. 证明：（ 1）因为平面 EFG 平面 BcD， 平面 ABD 平面 EFG EG，平面 ABD 平面 BcD BD， 所以 EG/BD， 4 分 又 G 为 AD的中点， 故 E 为 AB的中点， 同理可得， F 为 Ac的中点， 所以 EF 12Bc 7 分 （ 2）因为 AD BD， 由（ 1）知， E 为 AB的中点， 所以 ABDE ， 又 ABc 90 ，即 ABBc ， 由（ 1）知， EF/Bc，所以 ABEF ， 又 DEEF E， DE， EF平面 EFD， 所以 AB 平面EFD， 12 分 又 AB平面 ABc， 故平面 EFD 平面ABc 10 / 26 14 分 第 61课柱、锥、台、球的表面积与体积 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有 3 ： 2 已知 圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则这个圆锥的高是 3 6.如图，四棱锥 P ABcD中， 底面，底面是矩形， ，点 E 为棱 cD上一点，则三棱锥 E PAB的体积为 4 三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 .14 （南通调研一）底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥的侧面积为 .42 （南京盐城模拟一）若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 . 答案： （苏州期末）已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 . （苏北四市期末 ）已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则该圆锥的体积为 （淮安宿迁摸底）如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为 2，且 m 为的中点，则三棱锥的体积是 11 / 26 （泰州二模）若圆柱的侧面积和体积的值都是，则该圆柱的高为 （南通调研二）如图，在长方体中， 3cm， 2cm， 1cm，则三棱锥的体积为 cm3 【答案】 1 （南通调研三）已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积Vcm3 【答案】 （苏北三市调研三）在三棱柱中，侧棱平 面，底面是边长为 2 的正三角形，则此三棱柱的体积为 （南京三模）已知正六棱锥 P ABcDEF 的底面边长为 2，侧棱长为 4，则此六棱锥的体积为 12 （盐城三模）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为 . （苏锡常镇二模）已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 （南师附中四校联考）若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为 3cm，则它的体积为 cm3. （前黄姜堰四校联考）已知正四棱锥的底面边长是 ,侧棱长为 ,则该正四棱锥的 表面积是 .12 12 / 26 第 62课综合应用 如图，四棱锥的底面 ABcD 是平行四边形，平面 PBD 平面ABcD， PB=PD， ， ，分别是，的中点，连结求证： （ 1） 平面； （ 2） 平面 16证明：（ 1）连结 Ac 因为 ABcD是平行四边形，所以 o 为的中点 2分 在 中，因为，分别是，的中点，所以 4 分 因为平面，平面，所以 平面 6 分 （ 2）连结因为是的中点， PB=PD，所以 PoBD 又因为平面 PBD 平面 ABcD，平面平面 =， 平面 ，所以 平面从而 8 分 又因为 ，平面， 平面，所以 平面 因为平面，所以 10 分 因为 ， ，所以 12 分 又因为平面，平面， ，所以 平面 14 分 如图，三棱柱 ABc A1B1c1 中， m， N 分别为 AB， B1c1的中点 13 / 26 （ 1）求证： mN 平面 AA1c1c； （ 2）若 cc1 cB1， cA cB，平面 cc1B1B 平面 ABc，求证：AB平面 cmN 证明：（ 1）取 A1c1 的中点 P，连接 AP， NP 因为 c1N NB1， c1P PA1，所以 NPA1B1 ， NP12A1B1 2 分 在三棱柱 ABc A1B1c1中， A1B1AB ， A1B1 AB 故 NPAB ，且 NP 12AB 因为 m 为 AB的中点，所以 Am 12AB 所以 NP Am，且 NPAm 所以四边形 AmNP为平行四边形 所以 mNAP 4 分 因为 AP平面 AA1c1c， mN平面 AA1c1c， 所以 mN 平面AA1c1c 6 分 （ 2 ）因为 cA cB ， m 为 AB 的中点，所以cmAB 8 分 因为 cc1 cB1， N 为 B1c1的中点，所以 cNB1c1 在三棱柱 ABc A1B1c1中， BcB1c1 ，所以 cNBc 因为平面 cc1B1B 平面 ABc，平面 cc1B1B 平面 ABcBc cN平面 cc1B1B， 14 / 26 所以 cN 平面 ABc 10 分 因为 AB 平面 ABc ，所以cNAB 12 分 因 为 cm平面 cmN， cN平面 cmN， cmcN c， 所以 AB 平面 cmN 14 分 16在正四面体 ABcD 中，点 F 在 cD 上，点 E 在 AD 上，且DFFc=DEEA=23 证明：（ 1） EF 平面 ABc； （ 2）直线 BD 直线 EF 16证：（ 1）因为点 F 在 cD 上，点 E 在 AD 上，且DFFc=DHHA=23 ， 1 分 所以EFAc ， 3 分 又 EF平面 ABc， Ac平面 ABc， 所以 EF 平面ABc 6 分 （ 2）取 BD的中点 m，连 Am， cm， 因为 ABcD 为 正 四 面 体 ， 所 以 AmBD ，15 / 26 cmBD ， 8 分 又 Amcm=m ，所以 BD 平面Amc， 10 分 又 Ac 平面 Amc ，所以BDAc ， 12 分 又 HFAc ， 所 以 直 线 BD 直线HF 14 分 如图在多面体中 ，四边形是菱形，相交于点， 平面平面，点为的中点； （ 1）求证：直线平面； （ 2）求证：直线平面 证明：（ 1） 四边形是菱形， 点是的中点 点为的中点， 3 分 又 平面，平面， 直线平面 7 分 （ 2） ，点为的中点， 平面平面，平面平面， 平面， 平面 9 分 平面， ， ， ， 四边形为平行四边形， 11 分 16 / 26 ， 四边形是菱形， ， ，在平面内， 平面 14 分 如图，四边形为矩形，四边形为菱形，且平面 平面，D， E 分别为边，的中点 （ 1）求证： 平面； （ 2）求证： DE 平面 证明：（ 1） 四边形为矩形， ， 2分 又平面 平面，平面平面 =， 平面， 3分 平面， ， 4分 又 四 边 形 为 菱 形 ， ， 5 分 ，平面，平面， 平面 7 分 17 / 26 （ 2）取的中点 F，连 DF， EF， 四边形为矩形， E， F 分别为，的中点， EFAc ，又平面，平面 , EF 平面， 10 分 又 D ， F 分别为边，的中点， DF ，又平面，平面 , DF 平面， ，平面 DEF，平面 DEF， 平面 DEF 平面， 12 分 平面 DEF ， DE 平面 14 分 （南通调研一）如图，在直三棱柱中，是棱上的一点 （ 1）求证：； （ 2）若是的中点，且 平面，求的长 （苏州期末）如图，在正方体中，分别是，中点 求证：（ 1） 平面； （ 2）平面 证明：（ 1）连结 AD1 18 / 26 E ， F 分别是 AD和 DD1的中点， EFAD1 2分 正方体 ABcD A1B1c1D1， ABD1c1 ， AB=D1c1 四边形 ABc1D1 为平行四边形，即有 AD1Bc1 ，EFBc1 4 分 又 EF 平面 c1BD ， Bc1 平面 c1BD ， EF 平面c1BD 7 分 （ 2）连结 Ac，则 AcBD 正方体 ABcD A1B1c1D1， AA1 平面 ABcD， AA1BD 又， BD 平面 AA1c， A1cBD 11 分 同理可证 A1cBc1 又， A1c 平面 c1BD 14 分 （镇江期末）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，为的中点，在棱上，且 （ 1）求三棱锥的体积； （ 2）求证：平面； （ 3）若为中点，在棱上，且，求证：平面 解：（ 1）因为 是正三角形，且，所以 又 平面，故 SBcD （ 2）在底 面中，取的中点，连接，因，故 因，故为的中点为的中点，故 ，故 19 / 26 因平面，平面，故平面平面 是正三角形，为的中点，故，故平面 平面，故又，故平面 （ 3）当时，连，设，连 因为的中点，为中点，故为 的重心， 因，故，所以 又平面，平面，所有 平面 （注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣 1 分，扣满该逻辑段得分为止） 【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力 （南通调研三）如图，在三 棱柱 ABcA1B1c1 中，B1cAB ，侧面 Bcc1B1为菱形 （ 1）求证：平面 ABc1 平面 Bcc1B1； （ 2）如果点 D， E 分别为 A1c1， BB1的中点， 求证： DE 平面 ABc1 解：（ 1）因三棱柱 ABcA1B1c1 的侧面 Bcc1B1为菱形， 故B1cBc1 2 分 20 / 26 又 B1cAB ，且 AB， Bc1为平面 ABc1内的两条相交直线， 故 B1c 平面 ABc1 5 分 因 B1c平面 Bcc1B1， 故平面 ABc1 平面 Bcc1B1 7 分 （ 2）如图，取 AA1 的中点 F，连 DF， FE 又 D 为 A1c1的中点，故 DFAc1 ， EFAB 因 DF平面 ABc1， Ac1平面 ABc1， 故 DF 面 ABc1 10 分 同理， EF 面 ABc1 因 DF， EF为平面 DEF内的两条相交直线， 故平面 DEF 面ABc1 12 分 因 DE平面 DEF， 故 DE 面ABc1 14 分 （苏北三市调研三） 如图，矩形所在平面与三角形所在平面相交于，平面 （ 1）求证：平面； （ 2）若点在线段上，且为线段中点，求证： /平面 （ 1） 平面，平面， 21 / 26 又/, 2 分 在矩形中， 4 分 ，平面 平面 6 分 （ 2 ）连 AN 交 BD 于 F 点，连接Fm8 分 / 且 10 分 又Am=2mE/12 分 又平面 ,平面 / 平面 .22 / 26 14 分 （南京三模）在四棱锥 P ABcD 中， BcAD ， PAPD ， AD 2Bc， AB PB， E 为 PA的中点 （ 1）求证： BE 平面 PcD； （ 2）求证：平面 PAB 平面 PcD 证明：（ 1）取 PD的中点 F，连接 EF， cF 因为 E 为 PA的中点， 所以 EFAD ， EF 12AD 因为 BcAD ， Bc 12AD， 所以 EFBc ， EF Bc 所以四边形 BcFE为平行四边形 所以 BEcF 4 分 因为 BE平面 PcD， cF平面 PcD， 所以 BE 平面 PcD 6 分 （ 2）因为 AB PB， E 为 PA的中点，所以 PABE 因为 BEcF ，所以 PAcF 9 分 因为 PAPD ， PD平面 PcD， cF平面 PcD，PDc F F， 所以 PA 平面 PcD 12 分 因为 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面PcD 14 分 （盐城三模）在直三棱柱中，点分别是棱的中点 . （ 1）求证 :/平面； 23 / 26 （ 2）求证 :平面平面 . 证明：（ 1）在直三棱柱中，且， 因点分别是棱的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，即且， 又且，所以且，即四边形是平行四边形， 所 以 ， 又 平 面 ， 所 以 平面 .7 分 （ 2）因，所以四