毕业论文-比较法在判别级数敛散性中的应用.doc

分类号分类号 O172.1 编编 号号 2011010619 毕业论文 题题 目目 比较法在判别级数敛散性中的应用 学学 院院 数学与统计学院 姓姓 名名 专业班级专业班级 11 级数学与应用数学四班 学学 号号 研究类型研究类型 指导教师指导教师 提交日期提交日期 2015-05-14 原原创创性性声声明明 本本人人郑郑重重声声明明:我我所所呈呈交交的的论论文文是是在在指指导导教教师师的的指指导导下下独独 立立完完成成的的成成果果。论论文文里里面面引引用用 到到他他人人已已经经发发表表的的文文献献、数数 据据、观观点点等等都都已已 经经明明确确注注明明。除除文文中中已已经经注注明明引引用用的的内内容容 外外 ,不不包包含含任任何何其其他他个个人人或或集集体体已已经经发发表表或或撰撰写写过过的的科科研研成成果果。 本本声声明明的的法法律律责责任任由由本本人人承承担担。 论论文文作作者者签签名名: 年年月月日日 论论文文指指导导教教师师签签名名: 比较法在判别级数敛散性中的应用比较法在判别级数敛散性中的应用 马建行 (天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000) 摘要摘要 级数敛散性的判断有许多方法，其中比较判别法是重要方法之一.介绍了几种比 较判别法，并通过实例说明其应用. 关键词关键词 级数；正项级数；收敛；发散；比较判别法 Applications of comparative method in judging the series convergence Jian-hang Ma (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract There are many approaches to judge the convergence of a series, the comparative method is one of the most important methods. In this paper, several kinds of comparative methods are introduced, and the corresponding examples are given. Keywords Series, positive series, convergence, divergence, comparison method 数学与统计学院 2015 届毕业论文 目目 录录 0 引言.1 1 预备知识 .1 2 各种比较判别法及应用 .2 定理 2.1 CAUCHY凝聚判别法.2 定理 2.2 KUMMER判别法.4 定理 2.3 DALEMBERT 判别法 .5 定理 2.4 CAUCHY根式判别法.8 引理 2.1 DALEMBERT判别法与 CAUCHY根式判别法的关系.9 定理 2.5 RAABE判别法.10 定理 2.6 对数判别法 .12 定理 2.7 GAUSS判别法.13 3 结束语 .15 参考文献 .16 数学与统计学院 2015 届毕业论文 1 比较法在判别级数敛散性中的应用比较法在判别级数敛散性中的应用 0 引言引言 我们知道解决正项级数敛散性的判别法有很多种，有比较判别法、高斯判 别法、比值判别法、积分判别法等，对于级数敛散性的最常用的一般方法是， 首先要判断级数是哪一种类型，在确定类型后按照该类型的计算方法一步一步 计算，最后按照其判定定理判断敛散性. 所以，选择正确的正项级数敛散性的 判别方法，是解决正项级数敛散性的关键，本文利用了比较判别法解决了正项 级数敛散性的若干问题以及若干应用，突出了比较判别法在正项级数敛散性中 的重要性. 1 预备知识预备知识 定义定义 1.1 给出一个数列，对它的每一项依次用“+”号连接起来的表 n R 达式称为级数，其中为级数的通项. n21 RRR n R n R 定义定义 1.2 给出一个数列,如果的任何一项都大于 0，那么就称 n R n R 为正项级数. n R 定义定义 1.3 如果正项级数的部分和数列，即称正项级数 n R TTn收敛于 收敛，否则发散. n R 引理引理 1.1 (比较判别法）假设和是两个正项级数，如果存在常数 1n n R 1 n n R ，使得，则0An n ARR , 2 , 1n (1)如果级数收敛，那么级数也收敛； 1 n n R 1n n R (2)如果级数发散，那么级数也发散； 1n n R 1 n n R 比较判别法的局限性就在于它只局限于判别比已知收敛级数收敛速度更快 数学与统计学院 2015 届毕业论文 2 的级数或者比已知发散级数发散速度更快的级数，但是有时候用以比较的级数 是不容易找到的，所以要找到合适的级数来作比较，比如对于级数， 1 1 n n 和，容易验证级数的部分和介于与的部分和 1 2 1 n n 1 ln 1 n nn 1 ln 1 n nn 1 2 1 n n 1 1 n n 之间，但是级数收敛，而级数发散，所以我们并不能确定级数 1 2 1 n n 1 1 n n 的敛散性.那么如何找到更合适的级数来作比较呢？也就是找到一个收 1 ln 1 n nn 敛速度较慢的级数和一个收敛速度较快的级数，那对于任意给的级数我们最多 比较两次，就能确定其敛散性了，但是，我们能找到这样的级数吗？ 即：怎样来区分级数收敛的“速度”？因此我们先假定收敛速度快慢的标 准. 设，均为正项级数，记， 1n n R 1 n n R n k kn RT 1 n k kn RT 1 1 S nk kn R ， 1 S nk nn R (1)若，均收敛，且，则称是比收敛较 1n n R 1 n n R 0lim n n n S S 1n n R 1 n n R 快的级数； (2)若，均发散，且，则称是比发散较快 1n n R 1 n n R0lim n n n T T 1n n R 1 n n R 的级数. 2 2 各种比较判别法及应用各种比较判别法及应用 定理 2.1 Cauchy 凝聚判别法 设为正项级数，且单调递减，则级数与级数同敛 1n n R n R 1n n R 0 2 2 m m m R 态. 数学与统计学院 2015 届毕业论文 3 证明证明 对正项级数任意加括号，其敛散性不改变，则 (1) 122 158321 1 1 )( nn RRRRRRRR n n ， n RRRRR n 2 8421 2842 n RR n n 2 1 1 2 由比较判别法知，若级数收敛，则级数收敛；若级数发散， n R n n 2 1 2 1n n R 1n n R 则级数发散. n R n n 2 1 2 (2) )()()( 1 212 1694321 1 nn RRRRRRRRR n n 1 2 168421 2842 n RRRRRR n ， 2 1 1 21 2 2 1 n n n RRR 由比较判别法知，级数发散，则级数发散；级数收敛，则 2 2 2 n n n R 1n n R 1n n R 级数收敛.由（1） （2）可知，级数与级数同敛态. 1 2 2 n n n R 1n n R 1 2 2 n n n R 例例 2.12.1 讨论下列级数的敛散性. (1) （2） 1 ln 1 n p nn 1 lnlnln 1 n p nnn ) 1(p 证明证明 (1)由于级数 ， 111 1 2ln 1 2ln 1 2ln2 1 2 n pp n pp nn n n nn 当时，级数收敛，故由 Cauchy 凝聚判别法知，级数收敛；1p 1 1 n p n 1 ln 1 n p nn 当时，级数发散，故由 Cauchy 凝聚判别法知，级数发散.1p 1 1 n p n 1 ln 1 n p nn 数学与统计学院 2015 届毕业论文 4 (2)由于级数 ， 11 2lnlnln2ln 1 2lnln2ln2 1 2 n pp nnn n n nn 而 0 2ln 1 )(ln 1 2lnlnln2ln 1 pp nnnn )(n 由（1）并结合 Cauchy凝聚判别法知，当时，级数收敛.1p 1 lnlnln 1 n p nnn 定理 2.2 Kummer 判别法 设和均为正项级数，则 1n n R 1 n n R (1)若存在，使当充分大时,有，则级数收0n 1 1 nn n n RR R R 1 n n R 敛. (2)若级数发散，且，则级数发散. 1 1 n n R 0 1 1 nn n n RR R R 1 n n R 4 证明证明 (1)存在正整数，使得对一切有，即NNn nn n n RR R R 1 1 ，0 1 1 nnnnn RRRRR 于是 ， nnnnn RRRRR 1 1 1 因此数列单调递减，而，由单调有界定理知，数列收敛， nnR R0 nnR R nnR R 记，则级数的部分和 ARR nn n lim 1 1 1 n nnnn RRRR ， nnnnnnn RRRRRRRRRRRRRRRRT 1 1 1 13 32 22 21 1 所以，从而级数收敛.由比较判别法知，级数ARRTn n 1 1 lim 1 1 n nnnn RRRR 数学与统计学院 2015 届毕业论文 5 收敛. 1 n n R (2)存在正整数，对一切有，则NNn 0 1 1 nn n n RR R R ， 1 1 1 1 nn R n R n RR 因此数列单调递增.不妨设，则， n R n R 1 nn R N R n RR 1 1 )0( n n R R 而级数发散，由比较判别法可知，级数发散. 1 1 n n R 1 n n R Cauchy 凝聚判别法和 Kummer 判别法都是选用收敛速度与给定级数收敛速 度相当或较之更快的级数进行比较，但其实这两种判别法在很多情况下计算是 很麻烦的，因此，我们可以探索与之相比更简形式的判别法. 定理 2.3 dAlembert 判别法 设是正项级数，则 1n n x (1)当时，级数收敛；1lim 1 r R R n n n 1n n R (2)当时，级数发散；1lim 1 r R R n n n 1n n R (3)当或时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.1r1r 1 证明证明 (1)时，存在正整数，对一切有1r对任给的0NNn r R R n n 1 0 取 （） ，则，从而有rq1 qrq R R n n 1 0 ， ，q R R 1 2 0q R R 2 3 0q R R n n 1 0 数学与统计学院 2015 届毕业论文 6 把这个不等式相乘，得 1n ， 2 3 1 2 0 R R R R 1 1 n n n q R R ， 1 1 n n qRR 而，等比级数收敛，由比较原则可知收敛.10 q 1 1 1 n n qR 1n n R (2)时,，存在正整数，对一切，有 1r对任给的0NNn ， r R R n n 1 取，()，则有qr rq 1 ， 0 1Nnn RRR 于是有，因此级数发散.0lim n n R 1n n R (3)对于级数和级数， 1 1 n n 1 2 1 n n ， 1lim 1 n n n R R 1 1 limlim 2 2 1 n n R R n n n n 但显然级数发散，级数收敛. 1 1 n n 1 2 1 n n 例例 2.22.2 级数收敛吗？这里(). 1 1 n n R 2121 , 2, 1 nnn RRRRR3n 解解 易知 ， ，假设对一切有5, 3 43 RR 3 2 1 2 1 3 R R 3 2 5 3 1 3 1 4 R R kn ， 3 2 1 1 1 n n R R 则当时，1 kn ， 1 3 2 2 3 3 2 23 2 2 32 32 32 32 21 21 11 1 1 1 nn nn nn nn nn nn nn n n n n n RR RR RR RR RR RR RR R R R R R 数学与统计学院 2015 届毕业论文 7 由数学归纳法可知，对一切，有3n ，1 3 2 1 1 1 n n R R 由 dAlembert 判别法知，级数收敛. 1 1 n n R 例例 2.32.3 分别判断级数和级数的敛散性. 1 !2 n n n n n 1 !3 n n n n n 解解 (1)令，则 1 !2 n n n n n n R ，1 2 ) 1 1 1 (2lim !2) 1( )!1(2 limlim 1 1 1 enn n n n R R n n n n n n n n n n 由 dAlembert 判别法可知，级数收敛. 1 !2 n n n n n (2)令，则 1 !3 n n n n n n R ， 1 3 ) 1 1 1 (3lim !3) 1( )!1(3 limlim 1 1 1 enn n n n R R n n n n n n n n n n 由 dAlembert 判别法可知，级数发散. 1 !3 n n n n n 例例 2.42.4 考虑级数，其中，, 1n n R n n R 2 1 12 n n R 3 1 2 , 1 2 121 2 3 limlimlim n n n n n n n n n R R R R .0 3 2 limlimlim 12 21 n n n n n n n n nR R R R 这里用 dAlembert 判别法却是失效的. 考虑到级数的部分和 1n n R ， n nnn n T 3 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 22 2 数学与统计学院 2015 届毕业论文 8 , n nnnn n T 3 1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1122 12 于是，因此是收敛的. 2 3 lim n n T 1n n T 定理 2.4 Cauchy 根式判别法 设是正项级数，则 1n n T (1)当时，级数收敛；1lim rR n n n 1n n R (2)当时，级数发散；1lim rR n n n 1n n R (3)当或时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.1r1r 1 证明证明 (1)当时，对任给的，存在正整数，使得对一切的，1r0NNn 都有 ，取，则， rR n n rq1 qrqR n n 所以，由比较判别法可知，级数收敛. n n qR 10 q 1n n R (2)当时，对任给的，存在正整数，使得对一切的，都1r0NNn 有 ， rRn n 取，则，从而，因此不是无穷小量，qr rq 1qRn n 1 n n qR n R 故发散. 1n n R (3)对于级数和级数， 1 1 n n 1 2 1 n n ，1 1 limlim n n n n n n R1 1 limlim 2 n n n n n n R 数学与统计学院 2015 届毕业论文 9 但显然级数发散，级数收敛. 1 1 n n 1 2 1 n n 例例 2.52.5 讨论,时，正项级数的敛散性.1a3a 1 3 ) 1(2 n n n n a 解解 由于 ， 1 3 12 3 ) 1(2 lim n n n n n ， 1 3 123 3 ) 1(23 lim n n n n n 由 Cauchy 根式判别法知，级数收敛，发散. 1 3 ) 1(2 n n n n 1 3 ) 1(23 n n n n 对于例 5，时，由于2a ， 1 3 122 3 ) 1(22 lim n n n n n ， 1 3 122 3 ) 1(22 lim n n n n n 因此，用 Cauchy 根式判别法还不能确定级数的敛散性. 1 3 ) 1(22 n n n n 对于例 4，虽然由 dAlembert 判别法不能判断此级数敛散性，但由 Cauchy 根式判别法知，级数收敛.下面我们来探讨 dAlembert 判别法与 Cauchy 根 1n n R 式判别法的关系. 引理引理 2.12.1 dAlembert 判别法与 Cauchy 根式判别法的关系 设是正项级数，则. n x n n n n n n n n n n n nR R RR R R 11 limlimlimlim 1 证明证明 显然成立, n n n n n n RR limlim 只需证和. n n n n n n R R R limlim 1 n n n n n n R R R 1 limlim 数学与统计学院 2015 届毕业论文 10 设，对任给的，存在正整数，使得对一切的，都有 n n nR R r 1 lim 0NNn ，0 1 r R R n n 即 ，0 1 r R R n n 0 2 1 r R R n n 0 1 r R R N N 将这个式子相乘，则Nn ， Nn N n r R R 于是，因此， 1 1 )( N Nn n RrRrrRRn Nn n N n n )(n 故.类似可证. n n n n n nR R rR 1 limlim n n n n n n R R R limlim 1 由引理可知，与 dAlembert 判别法相比，Cauchy 根式判别法的确有更广的 使用范围. dAlembert 判别法和 Cauchy 根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基 础上的，并且所选用的比较级数均是收敛速度较快的等比级数.因此，这两种判 别法只能用于判断那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于一类比等比级 数收敛速度缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了. 为了改进判别法，我们找到了一种形式简单，且收敛速度相对较慢的级数 (级数)为比较级数，并由此导出较比 dAlembert 判别法和 Cauchy 根式 1 1 n p n p 判别法更为精细且形式简单的判别法. 定理定理 2.5 Raabe 判别法 设是正项级数，则 1n n Rr R R n n n n ) 1(lim 1 (1)当时，级数收敛；1r 1n n R 数学与统计学院 2015 届毕业论文 11 (2)当时，级数发散.1r 1n n R 1 证明证明 设，则，由1 ts t rsrrf)1 (1 1 )1 ( t rtsrf 且可知，存在，使得 00 f 00 tsf0 当时，有 r0 （*） t rsr)1 (1 (1)当时，取 ， 满足，由与不等1rst1tsrtsr R R n n n n 1lim 1 式（*）可知，存在正整数，使得对一切，有NNn ， 2 2 1 1 2 ) 1(1 1 1 1 n t n t n tt n t n t 于是 ， tt n n n n nn t n t n ts n t n s R R 11 1111 2 1 即 ， 1 1 n t n t RnRn 从而正项数列从某一项开始单调递减，因此必有上界，设，则 n tR nARn n t .因为，所以收敛，由比较判别法可知级数收敛. t n n A R 1t 1 1 n t n 1n n R (2)当时，存在正整数，使得对一切，有1r N Nn ，11 1 r R R n n n 于是，即，从而正项数列从某一项开始 n n nR R n n 11 1 1 1 1 nn RnnR n nR 单调递增，因此存在正整数和实数，使得，则，而级数 N0 n nR n Rn 发散，由比较判别法知级数发散. 1 1 n n 1n n R 数学与统计学院 2015 届毕业论文 12 例例 2.62.6 判断和级数的敛散性. 1 ! !2 ! !12 n n n 3 1 ! !2 ! !12 n n n 5 解解 由 , 2 1 12 lim1 12 22 lim1lim 1 n n n n n R R n nn n n n . 1 2 3 12 71812 lim1 12 22 lim1lim 3 2 3 1 n nnn n n n R R n nn n n n 由 Raabe 判别法知，级数发散，级数收敛. 1 ! !2 ! !12 n n n 3 1 ! !2 ! !12 n n n 定理 2.6 对数判别法 设是正项级数，若存在，当充分大时，有 1n n R0n (1)，则级数收敛；1 ln 1 ln n Rn 1n n R (2)，则级数发散. 1 ln 1 ln n Rn 1n n R 3 证明证明 (1)由充分大时，知，存在正整数，使得对一切n1 ln 1 ln n Rn N 有，于是，即（） ，Nn n Rn ln)1 ( 1 ln 1 1 n Rn 1 1 n Rn0 而级数（）收敛，由比较判别法知，级数收敛. 1 1 1 n n 0 1n n R (2)由充分大时，知，存在正整数，使得对一切，有n1 ln 1 ln n Rn NNn ，于是.而级数发散，由比较判别法知，级数发散.n Rn ln 1 ln n Rn 1 1 1 n n 1n n R 数学与统计学院 2015 届毕业论文 13 例例 2.72.7 判断级数的敛散性. 1 ln 3 1 n n 解解 由，这里.由对数判别法知，13ln ln 3ln ln 1 ln ln nn R n n 013ln 级数收敛. 1 ln 3 1 n n 例例 2.82.8 讨论级数的敛散性.)0( 1 ln Rn n r 解解 ，则当时，； Rn n n R r n 1 ln ln ln ln 1 ln ln e R 1 01 ln 1 ln n Rn 当时， e R 1 1 ln 1 ln n Rn 由对数判别法知，当时，级数收敛；当时，级 e R 1 0) 1 0( 1 ln e Rn n r e R 1 数发散.) 1 ( 1 ln e Rn n r Raabe 判别法和对数判别法所选用的都是级数（）进行比较， 1 1 n p n 1p 当然较之等比级数也就更为精确了.那有没有比这类判别法更为精确的判别法呢？ 定理 2.7 Gauss 判别法 设是正项级数，若，则 1n n R nnnnnR R n n ln 1 ln 1 1 1 (1)当时，级数收敛；1 1n n R (2)当时，级数发散.1 1n n R 2 数学与统计学院 2015 届毕业论文 14 证明证明 取，则 nn a s n ln 1 ， s n s s n n v nnnnn n n n a a 1 1 1 1 1ln ln 1 1 1 1 ln 1ln1 1 其中， nnnnnn vn ln 11 ln 11 1ln ln 1 于是 nnnn s nnnnnn vv nR R nn n n ln 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 11 1 1 1 因此 ， nnnn s a a R R n n n n ln 1 ln 11 (1)当时，取 使得时，则级数收敛，由比较判别法知级1s s1 1n n a 数收敛. 1n n R (2)当时，取 使得时，则级数发散，由比较判别法知级1s1 s 1n n a 数发散. 1n n R 例例 2.92.9 判断 Gauss 超几何级数 n n x nn nn 1 11! 11) 1(1 1 的敛散性. 解解 由，且 rnn nn R R n n 1 )( 1 1 ，, 2 1 1 11 nnn 2 1 1 11 nnn 于是 数学与统计学院 2015 届毕业论文 15