新人教版数学七年级一元一次方程解应用题分类.pdf

1 新人教版初一数学一元一次方程的应用 1列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意 （2）找出等量关系： 找出能够表示本题含义的相等关系 （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找 出的等量关系列出方程 （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （5）检验，写 答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案 2. 和差倍分问题 增长量原有量增长率现在量原有量增长量 3. 等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高 Shr 2h 长方体的体积 V长宽高 abc 4数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为 b，百位数字为 c 十位数可表示为 10b+a， 百位数可表示为 100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程 5市场经济问题 （1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率 商品利润 商品成本价 100% （3）商品销售额商品销售价商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原 标价的 80% 出售 6行程问题：路程速度时间时间路程速度速度路程时间 （1）相遇问题：快行距慢行距原距 （2）追及问题：快行距慢行距原距 （3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 7工程问题：工作量工作效率工作时间 完成某项任务的各工作量的和总工作量1 8储蓄问题 利润 每个期数内的利息 本金 100% 利息本金利率期数 1将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6 小时，乙独做需4 小时， 甲先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？ 2 2兄弟二人今年分别为15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍？ 3将一个装满水的内部长、宽、高分别为300 毫米，300毫米和 80?毫米的长方体铁盒 中的水，倒入一个内径为200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高 （精确到 0.1 毫米，3.14） 4有一火车以每分钟600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一 铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2 倍短 50米，试求各铁桥的 长 5有某种三色冰淇淋50 克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，?这种三色冰 淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？ 6某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工 人中，一部分人加工甲种零件， 其余的加工乙种零件 ?已知每加工一个甲种零件可 获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利24 元若此车间一共获利1440 元，?求这 一天有几个工人加工甲种零件 3 7某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40 元，若每月用电量超过a 千瓦时，则 超过部分按基本电价的70% 收费 （1）某户八月份用电84 千瓦时，共交电费30.72 元，求 a （2）若该用户九月份的平均电费为0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？?应交电 费是多少元？ 8某家电商场计划用9 万元从生产厂家购进50 台电视机已知该厂家生产3?种不同 型号的电视机，出厂价分别为A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元 （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去 9 万元，请你研究 一下商场的进货方案 （2）若商场销售一台A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B种电视机可获利200 元，?销售一台 C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中， 为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？ 答案 1解：设甲、乙一起做还需x 小时才能完成工作 根据题意，得 1 6 1 2 +（ 1 6 + 1 4 ）x=1 解这个方程，得x= 11 5 11 5 =2 小时 12 分 答：甲、乙一起做还需2 小时 12 分才能完成工作 2解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2 倍， 则 x 年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x 由题意，得2（ 9+x）=15+x 18+2x=15+x，2x-x=15-18 x=-3 4 答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的2 倍 （点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3 年，是与3?年后具有相 反意义的量） 3解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得 （ 200 2 ） 2x=30030080 x229.3 答：圆柱形水桶的高约为229.3 毫米 4 解：设第一铁桥的长为x 米，那么第二铁桥的长为（2x-50 ） 米，?过完第一铁桥所需的时间为 600 x 分 过完第二铁桥所需的时间为 250 600 x 分 依题意，可列出方程 600 x + 5 60 = 250 600 x 解方程 x+50=2x-50 得 x=100 2x-50=2 100-50=150 答：第一铁桥长100 米，第二铁桥长150 米 5解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x 克， 那么红色和白色配料分别为3x 克和 5x 克 根据题意，得2x+3x+5x=50 解这个方程，得x=5 于是 2x=10，3x=15，5x=25 答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10 克， 15 克和 25 克 6解：设这一天有x 名工人加工甲种零件， 则这天加工甲种零件有5x 个，乙种零件有4（16-x ）个 根据题意，得165x+244（16-x ）=1440 解得 x=6 答：这一天有6 名工人加工甲种零件 7解： （1）由题意，得 0.4a+（84-a ） 0.40 70%=30.72 解得 a=60 （2）设九月份共用电x 千瓦时，则 0.4060+（x-60 ） 0.40 70%=0.36x 解得 x=90 所以 0.36 90=32.40 （元） 答：九月份共用电90 千瓦时，应交电费32.40 元 8解：按购A， B两种， B， C两种， A，C两种电视机这三种方案分别计算， 设购 A种电视机x 台，则 B种电视机y 台 （1）当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（ 50-x ）台，可得方程 5 1500 x+2100（50-x ）=90000 即 5x+7（50-x ）=300 2x=50 x=25 50-x=25 当选购 A，C两种电视机时，C种电视机购（ 50-x ）台， 可得方程 1500 x+2500（50-x ）=90000 3x+5（50-x ）=1800 x=35 50-x=15 当购 B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y ）台 可得方程 2100y+2500（50-y ）=90000 21y+25（50-y ） =900，4y=350，不合题意 由此可选择两种方案：一是购A ， B 两种电视机25 台；二是购A 种电视机35 台， C 种电视机 15 台 （2）若选择（ 1）中的方案，可获利 15025+25015=8750（元） 若选择（ 1）中的方案，可获利 15035+25015=9000（元） 90008750 故为了获利最多，选择第二种方案 一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面：一是 难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚 基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。 事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关 系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义， 它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓 住基本量，找出相等关系”。 一、 列方程解应用题的步骤： 审题：理解题意。 1、弄清题目中的对象，找出题目中代表着对象之间关系的句子和词；2、弄 清题目中有什么，要我们干什么，找出有什么（已知）和干什么（未知）之间的关系； 从应用题来看一个题一般存在这两个以上的关系，这两关系一是题目中给出，二是题目中只给出一 个，另一个关系是我们日常生活中常用到的一些等量关系（例如：路程=速度时间等）所以解应 用题关键是找出题目的等量关系，先就要长到代表等量关系的句子和词语（如：谁比谁多，谁比谁 少，谁是谁的几倍，谁是谁的几分之几等）。解题时常用横线画出代表等量关系的句子和词语。 设元（未知数）。直接未知数：题目中问什么设什么；间接未知数：先通过设未知数求出 与与问题相关的量，然后再通过一些关系求出题目中的问题。（往往二者兼用） 。一般来说，未知数 越多，方程越易列，但越难解。但一元一次方程一般都只设一个未知数列一个方程。 用含未知数的代数式表示相关的量。 6 列方程：寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。 一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 解方程（ 6）检验：一是检验是否使方程有意义，例如分母不为0 等；二 是检验是否使实际实际问题有意义（如；2/3 个人等）。 （7）答题：回答出题目所问。 二、常见的常识性等量关系及关键词语 （1）和、差、倍、分问题。 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。 审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。 （2）等积变形问题。 此类问题的关键在“ 等积 ” 上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。 （3）调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“ 和、差、倍、分” 关系，要注意调配对象流动的方 向和数量。这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： 既有调入又有调出； 只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；只有调出没有调入，调出部分变化，其余 不变。调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调 剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中 主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的 比例关系。 例 14. 甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100 本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架 上所剩的书多5 倍，如果从甲架上拿100 本书放到乙架上，两架所有书相等。问原来每架上各有多 少书？ 讲评：本题难点是正确设未知数，并用含未知数的代数式将另一书架上书的本数表示出来。在 调配问题中， 调配后数量相等，即将原来多的一方多出的数量进行平分。由题设中 “从甲书架拿100 本书到乙书架，两架书相等”，可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多200 本。故设乙架原有 x 本书，则甲架原有（x+200）本书。从乙架拿100 本放到甲架上，乙架剩下的书为（x100）本， 甲架书变为 （x+200） +100 本。又甲架的书比乙架多5 倍，即是乙架的六倍， 有（ x+200） +100=6 （x100） x=180 x+200=380 例 15. 教室内共有灯管和吊扇总数为13 个。 已知每条拉线管3 个灯管或2 个吊扇， 共有这样的 拉线 5 条，求室内灯管有多少个？ 7 讲评：这是一道对开关拉线的分配问题 。设灯管有x 支，则吊扇有（13）个，灯管拉线为 条，吊扇拉线为条，依题意“共有条拉线”，有+ x=9 例 16. 某车间 22 名工人参加生产一种螺母和螺丝。每人每天平均生产螺丝120 个或螺母 200 个， 一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产 品刚好配套？ 讲评： 产品配套（工人调配）问题，要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它们间得 数量关系，并依此作相等关系列出方程。本题中，设有x 名工人生产螺母，生产螺母的个数为200 x 个，则有（ 22x）人生产螺丝，生产螺丝的个数为120（22x）个。由“一个螺丝要配两个螺母” 即“螺母的个数是螺丝个数的2倍”，有 200 x=2120（22 x） x=12 22x=10 例 17. 地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按25216 的比例配制搅拌而成。 现已将前三种料称好，公5600 千克，应加多少千克的水搅拌？前三种料各称了多少千克？ 讲评：解决 比例问题 的一般方法是：按比例设未知数，并根据题设中的相等关系列出方程进行 求解。本题中，由四种坯料比例25216，设四种坯料分别为25x、2x、 x、6x 千克，由前三种 坯料共 5600 千克，有 25x+2x+x=5600 x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200 例 18. 苹果若干个分给小朋友，每人m个余 14 个，每人9 个，则最后一人得6 个。问小朋友有几 人？ 讲评：这是一个分配问题 。设小朋友x 人，每人分m个苹果余14 个，苹果总数为mx+14 ，每人 9 个苹果最后一人6 个，则苹果总数为9（x） +。苹果总数不变，有 mx+14 9（x） +x、m均为整数9 例 19. 出口 1 吨猪肉可以换5 吨钢材， 7 吨猪肉价格与4 吨砂糖的价格相等，现有288 吨砂糖，把 这些砂糖出口，可换回多少吨钢材？ 讲评：本题可转换成一个比例问题 。由猪肉钢材=15，猪肉砂糖=74，得猪肉钢材 砂糖 =7354，设可换回钢材x 吨，则有 x288=354 x=2620 7. 需设中间（间接）未知数求解的问题 一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列 出方程，再通过中间未知数求出结果。 例 20. 甲、乙、丙、丁四个数的和是43，甲数的2 倍加 8，乙数的3 倍，丙数的4 倍，丁数的 5 倍减去 4，得到的4 个数却相等。求甲、乙、丙、丁四个数。 讲评：本题中要求4 个量，在后面可用方程组求解。若用一元一次方程求解，如果设某个数为 未知数，其余的数用未知数表示很麻烦。这里由甲、乙、丙、丁变化后得到的数相等，故设这个相 等的数为x， 则甲数为， 乙数为， 丙数为， 丁数为， 由四个数的和是43， 有 +=43 x = 36 8 =14 =12 =9 =8 例 21. 某县中学生足球联赛共赛10 轮（即每队均需比赛10 场），其中胜1 场得 3 分，平 1 场 得 1 分，负 1 场得 0 分。向明中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3 场，结果公得19 分。 向明中学在这次联赛中胜了多少场？ 讲评：本题中若直接将胜的场次设为未知数，无法用未知数的式子表示出负的场数和平的场数， 但设平或负的场数，则可表示出胜的场数。故设平x 场，则负x3 场，胜 10（ +）场， 依题意有 310 （ x+x3） +x=19 x=4 10 （ +） =5 （4）行程问题。 要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。 相遇问题 （相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所 走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程 =全路程 追及问题 （同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间 为等量关系。 同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程 -乙走的路程 =原来甲、乙相距的路程 同地不同时；甲的时间=乙的时间 -时间差甲的路程 =乙的路程 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程； 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是： 顺水（风）速度静水（无风）中速度水（风）流速度；逆水（风）速度静水（无风）中速度 水（风）流速度。 车上（离）桥问题： 车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长- 车长 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地 点。 寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中，相等关系是灵活多变 的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行 问题中很多时候还用速度作相等关系。 例某队伍450 米长，以每分钟90 米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排 尾，速度为3 米/ 秒。问往返共需多少时间？ 9 讲评：这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一 个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人 相遇。 在追及过程中，设追及的时间为x 秒，队伍行进（即排头）速度为90 米/ 分=1.5 米/ 秒，则排 头行驶的路程为1.5x 米；追及者的速度为3 米/ 秒，则追及者行驶的路程为3x 米。由追及问题中 的相等关系“追赶者的路程被追者的路程=原来相隔的路程”，有： 3x1.5x=450 x=300 在相遇过程中，设相遇的时间为y 秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y 米， 返回者行驶的路程为3y 米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程” 有： 3y+1.5y=450 y=100 故往返共需的时间为 x+y=300+100=400 （秒） 例 2 汽车从 A地到 B 地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km ，就可以 早到半小时。求A、B 两地的距离。 讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问 题”。在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。本题 中，设 A、B两地的路程为x km，速度为40 km/ 小时，则时间为小时；速度为45 km/ 小时，则 时间为小时，又早到与晚到之间相隔1 小时，故有 = 1 x = 360 例 3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6 小时，逆流航行需8小时，已知水流速度 每小时 2 km。求甲、乙两地之间的距离。 讲评：设甲、乙两地之间的距离为x km，则顺流速度为km/小时，逆流速度为km/小时， 由航行问题中的重要等量关系有： = +2 x = 96 （5）工程问题。 其基本数量关系：工作总量工作效率工作时间；合做的效率各单独做的效率的和。当工 作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 10 工程问题中， 一般常将全部工作量看作整体1， 如果完成全部工作的时间为t ， 则工作效率为。 常见的相等关系有两种：如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。如果以时间 作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。 在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工 作效率也即工作速度。 例 4 加工某种工件，甲单独作要20 天完成，乙只要10 就能完成任务，现在要求二人在12 天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 讲评：将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为， 乙的工作效率为，设乙需工作x 天，则甲再继续加工（12x）天，乙完成的工作量为，甲 完成的工作量为，依题意有+=1 x =8 例 5 收割一块麦地，每小时割4 亩，预计若干小时割完。收割了后, 改用新式农具收割， 工作效率提高到原来的1.5 倍。因此比预计时间提前1 小时完工。求这块麦地有多少亩？ 讲评：设麦地有x 亩，即总工作量为x 亩，改用新式工具前工作效率为4 亩/ 小时，割完x 亩 预计时间为小时， 收割亩工作时间为/4=小时；改用新式工具后，工作效率为1.5 4=6 亩/ 小时，割完剩下亩时间为/6=小时，则实际用的时间为（+）小时，依题意“比 预计时间提前1 小时完工”有 （+）=1 x =36 例 6. 一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10 小时注满一池水，乙单独开需6 小时注满一池水，丙单独开15 小时放完一池水。现在三管齐开， 需多少时间注满水池？ 11 讲评： 由题设可知， 甲、乙、丙工作效率分别为、（进水管工作效率看作正数， 排水管效率则记为负数），设小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为，、， 由三水管完成整体工作量1，有+1 x = 5 （6）溶液（混合物）问题 溶液（混合物）问题有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度 （含量）。 其关系式为： 溶液 =溶质 +溶剂 （混合物 =纯净物 +杂质）； 浓度 =100= 100【纯度（含量）=100=100】；由可得到：溶质=浓 度溶液 =浓度（溶质 +溶剂）。在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总 量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。 例 11. 把 1000 克浓度为80的酒精配成浓度为60的酒精， 某同学未经考虑先加了300 克水。 试通过计算说明该同学加水是否过量？如果加水不过量，则应加入浓度为20的酒精多少克？ 如果加水过量，则需再加入浓度为95的酒精多少克？ 讲评：溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降 低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高）两种情况。在 浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进行分析，就不难找到相等关 系，从而列出方程。 本题中，加水前，原溶液1000 克，浓度为80，溶质（纯酒精）为100080克；设加x 克水后，浓度为60，此时溶液变为（1000+x）克，则溶质（纯酒精）为（1000+x） 60克。由 加水前后溶质未变，有（1000+x） 60=100080 x = 300 该同学加水未过量。 设应加入浓度为20的酒精y 克，此时总溶液为（1000+300+y ）克，浓度为60，溶质（纯酒 精）为（ 1000+300+y） 60；原两种溶液的浓度分别为100080、 20y，由混合前后溶质量 不变，有（ 1000+300+y） 60=1000 80+20 y=50 （7）经济问题 与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。经济类问 题主要体现为三大类：销售利润问题、优惠（促销）问题、存贷问题。这三类问题的基本量 12 各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正 确列出方程。 销售利润问题。利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 基本关系式有：利润=销售价（收入）成本（进价）【成本（进价）=销售价（收入）利润】； 利润率 =【利润 =成本（进价）利润率】。在有折扣的销售问题中，实际销售价= 标价折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。 优惠（促销）问题。日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的 优惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。并以求得的数值为基准，取一个比它 大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。 存贷问题 。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷问题 中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有： 利息 =本金利率期数；（注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率月利率12日利率 365。）利息税=利息税率；本息和（本利）=本金 +利息利息税。 例 7. 某商店先在广州以每件15 元的价格购进某种商品10 件，后来又到深圳以每件12.5 元的 价格购进同样商品40 件。如果商店销售这种商品时，要获利12，那么这种商品的销售价应定多 少？ 讲评：设销售价每件x 元，销售收入则为 （10+40）x 元，而成本 （进价） 为（510+4012.5 ）， 利润率为12，利润为（ 510+4012.5 ） 12。由关系式有 （10+40）x（ 510+4012.5 ）=（510+4012.5 ） 12 x=14.56 例 8. 某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25 元，而按定价的九折出售将 赚 20 元。问这种商品的定价是多少？ 讲评：设定价为x 元，七五折售价为75x，利润为 25 元，进价则为75x（ 25）=75 x+25；九折销售售价为90x，利润为20 元，进价为90 x20。由进价一定，有 75x+25=90x 20 x = 300 例 9. 李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为 2.16 。取款时扣除20利息税。李勇同学共得到本利504.32 元。问半年前李勇同学共存入多少 元？ 讲评：本题中要求的未知数是本金。设存入的本金为x 元，由年利率为2.16 ，期数为 0.5 年， 则利息为0.5 2.16 x，利息税为20 0.5 2.16 x，由 存贷问题 中关系式有 x +0.5 2.16 x20 0.5 2.16 x=504.32 x = 500 例 10. 某服装商店出售一种优惠购物卡，花200 元买这种卡后，凭卡可在这家商店8 折购物， 什么情况下买卡购物合算？ 讲评： 购物优惠 先考虑“什么情况下情况一样”。设购物x 元买卡与不买卡效果一样，买卡花 费金额为（ 200+80 x）元，不买卡花费金额为x 元，故有 200+80x = x x = 1000 当 x 1000 时，如 x=2000 买卡消费的花费为：200+80 2000=1800（元） 不买卡花费为：2000（元）此时买卡购物合算。 当 x 1000 时，如 x=800 买卡消费的花费为：200+80 800=840（元） 13 不买卡花费为：800（元）此时买卡不合算。 （8）数字问题。 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是 抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数 式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。数字问题是常见的数学问题。一元一次方 程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：任何数=（数 位上的数字位权），如两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整 体设元思想的运用。 例 12. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位 上的数的3 倍。求这个数。 讲评：设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三 位数则为100（x+7）+10 x+3x。依题意有（ x+7）+x+3x=17 x=2 100（x+7）+10 x+3x=900+20+6=926 例 13. 一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于 原数的 3 倍，求原数。 讲评：这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1 位，即每个数位上的 数字被扩大10 倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字1 后的 5位数为 x， 则原数为10 +x，移动后的数为10 x+1，依题意有 10 x+1=10+x x = 42857 则原数为142857 （9）年龄问题其基本数量关系：大小两个年龄差不会变。 这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。 （10）比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系： 各部分之和总量。 （11）. 设而不求（设中间参数）的问题 一些应用题中， 所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。 这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问 题本质的理解。 例 22. 一艘轮船从重庆到上海要5 昼夜，从上海驶向重庆要7 昼夜，问从重庆放竹牌到上海要 几昼夜？（竹排的速度为水的流速） 分析：航行问题要抓住路程、速度、时间三个基本量，一般有两种已知量才能求出第三种未知 量。本题中已知时间量，所求也是时间量，故需在路程和速度两个量中设一个中间参数才能列出方 14 程。本题中考虑到路程量不变，故设两地路程为a公里，则顺水速度为，逆水速度为，设水流 速 度 为x ， 有 + ， 又 设 竹 排 从 重 庆 到 上 海 的 时 间 为y昼 夜 ， 有x=a x=35 例 23. 某校两名教师带若干名学生去旅游，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社 的优惠条件是： 1 名教师全部收费，其余 75 折收费； 乙旅行社的优惠条件是：全部师生8 折优惠。 当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？ 若核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便宜，问学生人数是多少？ 讲评：在本题中两家旅行社的标价和学生人数都是未知量，又都是列方程时不可少的基本量， 但标价不需求解。中设标价为a 元，学生人数x 人，甲旅行社的收费为a+0.75a （x+1）元，乙旅 行社收费为0.8a （x+2）元，有 a+0.75a（ x+1）=0.8a （x+2） x=3 中设学生人数为y 人，甲旅行社收费为a+0.75a （x+1）元，乙旅行社收费为0.8a （x+2）元， 有 0.8a（x+2） a+0.75a （x+1） 0.8a （x+2）x=8。 列方程解应用题 第一讲 和、差、倍、分，盈亏等实际问题的解法 1和、差、倍、分问题 例 1 小明做了一个实验，把黄豆育成豆芽后，重量可以增加7.5 倍，如果小明想要 得到 3400 千克黄豆芽，需要多少千克黄豆？ 2盈亏问题 例 2 用化肥若干千克给一块麦田追肥，每公顷6kg 还差 17 kg ；每公顷 5kg 就余下 3kg问这块麦田有多少公顷？共有化肥多少千克？ 3劳力调配问题 例 3 在甲处劳动的有52人，在乙处劳动的有23 人，现从甲、乙两地共调12人到 丙处劳动， 使在甲处劳动的人数是在乙处劳动人数的2 倍，求应该从甲、 乙两处各调走 多少人？ 4产品配套问题 例 4 星光服装厂接受生产一些某种型号的学生服装的订单，已知每 3m长的某种布料 可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750 m长的这种布料生 产学生服。应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套 15 5比赛积分问题 例 5 在一次有 12队参加的足球循环赛 ( 每两个队之间赛且只赛一场） ，规定胜一场 计 3 分，平一场计 1 分，负一场计 0 分，某队在这次循环赛中胜场比负场多2 场，结果 共积 18 分，问该对战平机场？ 6容积（体积）问题 例 6 一个容器装 47 L 水，另一个容器装58 L 水。如果将第二个容器的水倒满第一 个容器，那么第二个容器剩下的水相当于这个容器容量的一半; 如果将第一个容器的水 倒满第二个容器， 那么第一个容器的水相当于这个容器容积的，求这两个容器的容量 各是多少？ 基础达标演练 l一桶油连桶重 8 kg ，油用去一半后连桶重4.5 kg ，则桶中原有油多少 ? 2 在甲处工作的有272 人，在乙处工作的有196 人，如果乙处工作人数是甲处工作 人数的 1/3，应从乙处调多少人到甲处? 3 某课外兴趣小组的女生占全组人数的1/3 ，再加人 6 名女生后，女生人数就占原 来的一半，问此课外兴趣小组原有多少人? 4 甲、乙两仓共有大米50 t ，从甲仓取出 1/10 ，从乙仓取出 2/5 ，则两仓所剩大米 相等。则甲仓原有大米多少t? 5 甲、乙两人各有钱若干元，若甲给乙5 元，则甲、乙两人的钱数相等；若乙给甲 40 元则甲的钱数是乙剩下的4 倍，甲原有的钱数多少 ? 6 41人参加运土劳动，有30 根扁担，要安排多少人抬、多少人挑，可使扁担和人 数相配不多不少 ? 7 某旅行团外出旅行，如果每辆汽车坐45 人，那么有 10 人没有座位；如果每辆汽 车坐 60 人，那么空出一辆车，求有多少辆汽车？ 8 某工地调来 72 人挖土和运土， 已知 3 人挖的土 1 人恰好能全部运走， 怎样调配劳 动力才能使挖出来的土能够及时运走且不窝工 9 用绳量井深，三折而量，绳长比井深多2 m ，四折而量，绳长比井深少1 m ，求绳 子长？井深？ 10 有两根绳子，第一根长110m ，第二根绳长 80m ，两根绳子剪去相同的长度后，第 一根绳子的长度是第二根绳子的3 倍，求每根绳子剪掉多少米？ 11 一辆翻斗车向工地运送一堆石子，第一天运了这对石子的1/3 还多 2 吨，第二天 运了剩下的 1/2 少 1 吨，这时还剩下 38 吨石子没运完，这对石子原有多少吨？ 12 某企业原来管理人员与营销人数之比为3：2，总人数为 180 人，为了扩大市场， 从管理人员中抽调多少人参加营销工作，就能使营销人员人数是管理人员人数的2 倍？ 13 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则余 20本；如果每人分 4 本， 则还缺 25 本，这个班有多少学生 ? 14 甲、乙、丙三队合修一条公路， 计划出 280 人，如果甲队人数是乙队人数的一半， 丙队人数是乙队的2 倍，问三队各有多少人 ? 15 某车间有 60名工人，生产一种螺栓和螺帽， 平均每人每小时能生产螺栓15 个或 螺帽 10 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽配 套?(每个螺栓配两个螺帽 ) 16 爷爷与孙子下棋，爷爷赢1 盘记 1 分，孙子赢 1 盘记 3 分，下了 8 盘后两人得分 相等，他们各赢了多少盘? 16 17 某校七年级选出男生的和 12 名女生参加数学竞赛，余下的男生人数恰好是所 余下的女生人数的2 倍已知该年级共有学生156 人，问男生、女生各有多少人? 18 甲工厂有某种原料120t ，乙工厂有同样原料96t ，甲厂每天用原料 15t ，乙厂每 天用原料 90 t ，问多少天后，两厂剩下的原料相等? 19 有桔子、梨、苹果三种水果若干，梨的个数是桔子个数的4/5 ，苹果个数是桔子 个数的 2/3，梨的个数比苹果多2 个，问筐内三种水果共有多少个? 20 某沿海发达镇 2006年的人均收人是16000元，比 2004 年的人均收入翻两番还多 2000元，该镇 2004年人均收人多少元？ 21 李大爷到商店购鞋，仅知道自己的老尺码是43 码，而不知道自己应穿多大的新 鞋号，他记得老尺码加上一个数后折半计算即为新鞋号，由于他儿子鞋号的新老尺码都 是整数且容易记住， 因而他知道儿子穿鞋的老尺码是40号，新鞋号是 25 号，现在请你 帮助李大爷计算一下他的新鞋号是多少? 22 某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种成分的质量比为0.7 ：1：2： 4.7 ，现要配制这种中药2100 g，四种草药分别要多少克? 23 阅读下列材料，并交流体会 诗仙李白本性嗜酒，豪放、旷达，向有斗酒诗百篇的美誉，为唐代饮中八仙之 一，民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题： 李白街上走，提壶去买酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝完壶中酒， 试问壶中原有多少酒？ 24 小明和小颍同学在课多外学习中，用 20 张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做 盒身 2 个或者做盒底盖 3 个。现 1 个盒身和 2 个底盖恰好做成一个包装盒， 为了充分利 用材料，使做成的盒身和底盖正好配套，小明和小颖设计了如下两种方案。 方案一：把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底 方案二：先把一张白卡纸适当套裁出一个盒身和一个盒底，余下自卡纸分成两部分， 一部分盒身，一部分做底盖，想一想，小明和小颍设计的方案是否可行 第二讲 工程类应用题的解法 工程问题涉及的基本量有：工作总量，工作效率，工作时间它们之间的关系是，工作 总量=各部分工作量之和 =1；工作量 =工作效率 工作时间 1 常见的工程问题 这类题的关键是抓住“工作总量=工作时间工作效率”来找等量关系列程，一般把 工作总量看成单位1 例 1 一项工程，甲单独完成需要9 天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15 天，若甲、丙先做 3 天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作。问还需要多少天能完成这 项工程的。 2 打字问题 例 2 一部稿件，甲打字员单独打20 天可以完成，甲、乙两打字员合打，12 天可以完 成，现由两人合打7 天后，余下部分由乙打，还需多少天完成? 3 注( 排)水问题 例 3 一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管，单开甲管 16 min 可将水池注满，单开乙管lO min 可将水池注满，单开丙管20 可将空池水放完， 现在先开甲、乙两菅， 4 min 后关上甲管开丙管，问又经过几分钟才能将水池注满? 4 比赛情况分析问题 17 例 4 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得 1 分，输一场得 0 分，一支 足球队在某个赛季中共需比赛14 场，现已比赛了 8 场，输了 1 场，得 17 分。 请问： （1）前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满了14 场比赛，最高能得多少分？ （3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14 场比赛，得分不低于29 分，就可 达到预期的目标，请你分析，在后面的6 场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到 预期目标？ 基础达标演练 1 一件工作甲单独做要4 天完成，乙独做要 6 天完成，则两人合作几天天完成 2 一件工作甲单独做要4 天完成，乙独做要6 天完成，则两人合作几天天完成 3 某项工程，甲单独完成要45 天，乙独做要 30 天，若乙先单干 22天，余下的由甲 完成，问甲、乙一共用几天可全部完成任务? 4 某车间计划生产a 个零件，原计划每天生产x 个，按计划要天完成；提 高效率后， 实际每天比原计划多生产10 个零件，实际要天完成；若实际比原 计划提前 m天完成生产计划，则按此条件列出的方程是 5 甲、乙二人合做一项工作，8 天可以完成，若乙单独做要12 天才能完成，问甲独 做，几天才能完成 ? 6 修一条路甲队要10 天完成，乙队要 15 天完成，先由甲乙两队合修，中途乙队因 事调走，余下任务由甲队继续干5 天才完成，问甲、乙队各干了多少天? 7 某车间每天装配6 台机床，预计若干天装配完成一批机床，在装配了这批机床的 以后，改进了工艺水平，工效提高到原来的4 倍，结果比预期提前10 天完成，求这批 机床的台数为多少 ? 1 、甲、乙两班共 90 人，期中考试后，由甲班转入乙班4 人，这时甲班人数是乙班人 数的 80% ，问期中考试前两班各有多少人？ 2、某套书分上、中、下三册，印上册用了全部印刷时间的40% ，印中册用了全部印刷 时间的 36% ，印下册用 24 天，印完全套书共用了多少天？ 3、学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31 棵，其中甲班植树数比乙班植树数的2 倍多一棵，求两班各植树多少棵？ 4、红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每 3 米长的布料可做上衣2 件或裤子 3 条， 一件上衣和一条裤子为一套， 计划用 600 米长的这种布料生产学生服， 应分别用多少布 料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？ 5、某车间 100 个工人，每人平均每天可加螺栓18 个或螺母 24 个，要使每天加工的螺 栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？ 6、我校数学活动小组，女生的人数比男生的人数的少 2 人，如果女生增加 3 人，男生 减少 1 人，那么女生的人数比全组人数的多 3 人，求原来男女生的人数。 7、甲、乙、丙三个粮仓共存粮80 吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：2，乙、丙两 仓存粮数之比是 1：2.5 ，求甲、乙、丙三个粮仓各存粮多少吨？ 8、在全国足球甲 A联赛的前 11 轮比赛中，某队保持连续不败（不败含取胜和打平）共 积 23 分，按比赛规则，胜一场得3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，求该队在这 11 场比赛中共胜了多少场？ 9、甲、乙、丙三位同学向贫困地区的希望小学捐赠图书，已知他们捐赠的图书数之比 为 7：5：8，且共捐书 200 本，问三位同学各捐书多少本？ 18 10、某校七年级举行数学竞赛， 80 人参加，总平均成绩63 分，及格学生平均成绩为72 分，不及格学生平均48 分，问及格学生有多少人？ 11、某校组织活动，共有 100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比 第二组人数的 2 倍少 8 人，问这两组人数各有多少人？ 12、在全国足球甲级 A组的前 11轮（场）比赛中， W队保持连续不败，共积23 分，按 比赛规则，胜一场得3 分，平场得 1 分，那么该队共胜了多少场？ 13、一批宿舍，若每间住1 人，有 10 人无处住，若每间住3 人，则有 10 间无人住，那 么这批宿舍有多少间，人有多少个？ 14、师生共 100 人去植树，教师每人栽2 棵树，学生平均每2