毕业设计（论文）-拉格朗日乘数法的推广及应用.doc

南 昌 工 程 学 院毕 业 设 计 (论 文) 理学 系（院） 信息与计算科学 专业毕业设计（论文）题目 拉格朗日乘数法的推广及应用 学生姓名 班 级 12信息与计算科学 学 号 指导教师 完成日期 2016 年 5 月 31 日拉格朗日乘数法的推广及应用The generalization and application of the Lagrange multiplier method总计：毕业论文19页 表 格 0 个 插 图 0 幅摘 要拉格朗日乘数法是一种应用广泛的数学方法,探讨条件极值问题和最优选择问题.我们主要讨论拉格朗日乘数法的推广及应用.首先考虑拉格朗日乘数法在泛函空间中的推广,借助隐函数定理给出推广的拉格朗日乘数法.其次,研究拉格朗日乘数法在不等式证明中的应用.问题的关键是构造合适的目标函数和约束函数.我们也考虑拉格朗日乘数法在几何中及偏微分方程中的应用.使用泛函空间中的拉格朗日乘数法,我们得到泛函在某些约束条件下的极值达到函数即为一个椭圆型偏微分方程的弱解.这说明拉格朗日乘数法是寻求椭圆方程弱解的一个有效手段.最后我们探讨拉格朗日乘数法在经济学中,如消费效用、电路分配、温度调节等中的应用.关键词：拉格朗日乘数法 条件极值 不等式 偏微分方程 IAbstractThe Lagrange multiplier method is a widely used means to solve some constrained minimization problems and some optimal selection problems. We mainly discuss the generalization and application of the Lagrange multiplier method. First consider the generalization of the Lagrange multiplier method in functional Spaces via constructing a new function and using the implicit function theorem. Secondly, we study the Lagrange multiplier method to prove some famous inequalities. The key is constructing a suitable objective function and a constrained function. We also consider the application of the Lagrange multiplier method in geometry and partial differential equations. Using the Lagrange multiplier method in functional spaces, we prove the constrained minimize of a functional is a weak solution of an elliptic partial differential equation. This implies that the Lagrange multiplier method is an effective means to seek the weak solutions of the elliptic equations. Finally, we discuss the application of the Lagrange multiplier method in economics, such as consumer utility, distribution circuit, and temperature control, and etc.Key words: Lagrange multiplier method; constrained minimization; Inequality; PDEIII第二章 拉格朗日乘数法在泛函空间中的推广目 录摘 要IABSTRACTII第一章 绪论1 1.1 拉格朗日乘数法历史及发展1 1.2 本文工作3第二章 拉格朗日乘数法在泛函空间中的推广4 2.1 准备知识4 2.2 主要定理4第三章 拉格朗日乘数法在证明不等式中的应用6第四章 拉格朗日乘数法在几何和偏微分中的应用9 4.1 拉格朗日乘数法在几何中的应用9 4.2 拉格朗日乘数法在偏微分方程中的应用11第五章 拉格朗日乘数法在经济中的应用12 5.1 拉格朗日乘数法在消费效用中的应用12 5.2 拉格朗日乘数法在生产实践中的应用13第六章 结论17参考文献18致谢1913第一章 绪论 1.1拉格朗日乘数法简介和发展本文所研究的拉格朗日乘数法（以下简称L方法）主要用于求条件极值,不仅在后续课程如泛函分析、微分几何、数学物理方程中有重要应用,而且在经济学以及工程等实际领域也有着广泛的现实意义。在经济学中,消费者购买商品效用最大化问题及生产厂家利润最大化问题往往都要涉及求条件极值,往往运用到L方法。本章我们主要介绍单一约束条件下二元函数的极值问题和多约束条件下多元函数的极值问题。定理1.1（单约束条件下二元函数的与极值问题）5 考虑在约束条件下的极值, 其中与在区域上连续可微。若是上述问题的极值点,且或,则存在,使得为的驻点,即满足方程 我们简述证明思路, 不妨设,由隐函数定理,约束条件确定一个一元可微函数, 且. 由的内点为在条件下的极值点可知为的极值点, 故,3第一章 绪论所以 .令,则由上式，得：.从而由约束条件,.证毕. 对于多约束条件下多元函数的条件极值问题，我们也有类似的结论。定理1.2（一般约束条件下多元函数的极值问题）5设在的限制下,求的极值问题，其中在区域上连续可导.若是上述问题的极值点，且 , 则有,使得为L函数的驻点，即满足下列南昌工程学院本科毕业论文 1.2本文工作 本文主要从三个方面讨论L方法。第一章主要介绍L方法的发展和传统的L方法。第二章则是探讨L方法在泛函空间的推广。通过引入B*空间、Frechet导数及Gateaux导数等泛函知识借助隐函数定理给出泛函空间中的L方法.第三章研究L方法在不等式证明中的应用.通过合理地的选取目标函数及约束条件,我们给出了一些常用不等式,如Young不等式, Cauchy不等式, Holder不等式的L方法证明。第四章探究其在几何和偏微分方程中的应用。首先借助L方法讨论点到直线的距离及截面面积,然后借助第二章中推广的L方法证明一个约束泛函的极值点实际上是某个椭圆型偏微分方程的弱解。第五章主要考虑L方法在经济学及生产实践中的应用。15第二章 拉格朗日乘数法在泛函空间中的推广 2.1准备知识定义2.13（空间定义）给定线性空间.若映射满足： （1） （2） （3）我们称为上的一个范数, 定义了范数的称为B*空间, 记为.定义2.2（泛函定义）3给定空间,映射称为实数域上的泛函。定义2.3（Gateaux导数）3 设开集,。如果对于, 极限存在且属于, 则称在点。2.2主要定理定理2.13设是B*空间。给定.均为定义在上的实泛函, 在处可微,上连续可微.,条件下的极值点。则存在,使。 证明：存在, 使,构造新的函数.容易看到,且其在处的导数故由隐函数定理,存在使且,即.由已知,下列函数在处取极值,所以.另外, 我们也可以得到于是, 存在,使得.证完. 对于多条件约束下的泛函极值问题,也有类似的结论。定理2.23设是B*空间,.再设（1）；（2）连续可微；（3）是线性无关的；（4）在约束条件 限制下,在处达到极值, 则存在实数,使.南昌工程学院本科毕业论文第三章 拉格朗日乘数法在不等式证明中的应用 有时候我们可以把不等式考虑为一个条件极值问题,因此L方法在这种情况下就十分有用。我们首先考虑不等式：,其中 现增设约束条件：.即证明在的情况下,函数的最小值为。运用L方法,令.考虑解得.将上式代入目标函数得到最小值,即证。 再考虑不等式：，其中，且。 即证明函数的最大值为，运用L方法令考虑解得.将上式代入目标函数得到最大值，即证。 接下来,我们考虑著名的Young不等式5：,其中,.假设存在,当时,由可得.即证.增设约束条件,即在条件下,函数的最大值为. 我们用L方法,令.考虑解得.代入函数得最大值为,此时不等式成立。最后我们考虑著名的Cauchy不等式5：.将不等式假设为,考虑在条件下最大值.我们用L方法,令.通过求该函数的驻点,即解.所以，我们有代入约束条件得 ，于是。代入。即证。 第五章 拉格朗日乘数法在经济中的应用南昌工程学院本科毕业论文第四章 拉格朗日乘数法在几何和偏微分方程中的应用拉格朗日乘数法在几何当中的应用非常广泛，对于点到直线距离，截面的面积以及一些椭圆的面积都有涉及。在偏微分方程中拉格朗日乘数法也有其作用。4.1拉格朗日乘数法在几何中的应用10L方法在几何上也有很多应用,如可用于求点到直线的距离或截面的面积。在解析几何中,点到直线的距离可用公式,用L方法也可以解决此类问题。比如求到的距离.设 ,该问题等价于在条件下的极小值.构造,求驻点,即,解得驻点为.由此求得.即. L方法也可以求一些截面的面积,如椭球截面的面积.设椭球面为,平面为,显然平面与椭球面的交线为一椭圆，要求此椭圆的面积。设其长短半轴分别为,。则.所以现在要求在和下的极值。作辅助函数.南昌工程学院本科毕业论文解方程组 整理得故有 .即是函数在上述条件下的极值.所以=0.计算得.根据根与系数的关系有.于是,我们有.南昌工程学院本科毕业论文4.2拉格朗日乘数法在偏微分方程中的应用设是光滑有界区域,定义能量泛函,记。定理4.13 设,若满足,则存在实数使得对任意均成立。证明：由Frechet导数定义,对,我们有及对,泛函的导数为 由定理3.1即得结论.证完.此定理说明该泛函在约束条件下的条件极值点为椭圆方程的解,如果我们能够证明极值点存在,我们实际上也就给出了一种寻求椭圆偏微分方程解的方法。第五章 拉格朗日乘数法在经济中的应用经济学中存在着许多最优问题,同时这些问题实际上也存在着很多约束限制。在求效用等问题上运用L方法可以给我们带来很大的方面，因此L方法是一种研究此类问题比较合适的方法。在工业上也同样运用得到L方法，以此解决一些工业用电、生产等方面问题。 5.1拉格朗日乘数法在消费效用中的应用6效用是指消费者在消费过程中的满意程度。通常用来评判消费者的理性程度。由于消费者的购买力总是有限的,因此效用最大化是一个有约束的问题。假设消费者可支配收入为元,购买啤酒和香烟的数量分别为和,啤酒每瓶元, 香烟每盒元。设效用为,则预算约束为。构造L函数 .最佳选择满足解此方程组带入目标函数即得结论.假定：工厂的生产函数为，为铜的投入量，为铁的投入量，既定的商品的价格为50元，铜的价格为3元，铁的价格为3元，表示利润。当产量为120的情况下求厂商利润最大化的条件。 在的限制条件下，求使有最小值的最优生产组合。相应的拉格朗日方程为：成本最小化的一阶条件为：解得为厂商利润最大化的条件。5.2拉格朗日乘数法在生产实践上的应用在生产实践中,很多企业为了降低成本,提高生产利用率,往往需要作一些最优化的选择。而做出这些选择的理论依据就是L方法。因为L方法特别适合解决具有一些特定条件的问题。此节简要单介绍L方法在电路及温度调节上的运用。应用L方法,将空闲时间合理地安排在数据道路的每个控制节点上,从而使整个电路的能耗得到有效的减少。在安排和调配过程中,这种方法可以有效识别重要节点和次要节点。我们想要得到的结果是在有限资源的前提下,应用L方法,得到总能耗的最小值。首先应用L方法来确定有向无环图,故：其中： 经过简单计算,.这等价于.故有.一般而言下,输入电压和临界电压的关系为：,基于此,可整理为：.我们又知道能耗公式为：我们现在考虑在时间约束下,电路能耗最小化问题：所以.当初始电压在各节点相同时,.从而.所以,在临界电压相同的情况下,高的节点应该安排较低的输入电压,低的节点应该安排较高的输入电压。在温度控制系统中往往需要做出一个最优温度调节模型。考虑一个搅拌机,连续运转,初始温度为度,均匀地将温度为的酒精倒入.在出口处流出相同容量的酒精.在机器运转下,酒精完全混合均匀从而温度处处相等.设温度在时间为.我们想知道的是,如何选, 使温度在时间内由变为,并且使和都与的偏差够小. 构造温度差,设,. 由热力学第二定律可知,与满足如下关系选择刻画模型与实际偏差的函数：.其中刻画偏差的关键程度.因此问题化为目标函数取最小值。构造L函数：.取,.令,则有,从而.解方程组 结合条件可得：即.由常微分方程理论,通解为.将初始条件：,代入,解得于是因此最优安排为 .南昌工程学院本科毕业论文第六章 结论 本文详细介绍了L方法的发展及运用。着重考虑L方法在泛函空间中的推广、格朗日乘数法在证明不等式中的运用、及L方法在偏微分方程中的重要体现。在解决常用L方法时,运用隐函数定理,在已知的约束条件下确定一个一元可微函数,之后找出极值点从而算出极值。在运用L方法在泛函空间的推广时,先介绍一些基本定义和定理,借助隐函数定理给出相应的L方法。在运用L方法证明不等式的时,通过适当选取目标函数和约束函数通过一定的转化,使原问题变为条件极值问题。我们也运用L方法来解决偏微分方程和几何中的一些问题。最后我们考虑L方法在经济和生产实践中的应用。17参考文献1Rogerson, W. The First-Order Approach to Principal-agent Problems. Econometric, 1985,53:13571368.2 Levikson, B. (2006) Optimal pricing of a heterogeneous portfolio for a given risk level. Astin Bulletin 36, 161185.3Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Volume 19, American Mathematical Society.4Mirrlees, J. Notes on Welfare Economics, Information and Uncertainty. In: Michael Balch、Daniel、McFadden and Shif-yen Wu. Essays on Economics Behavior under Uncertainty. Amsterdam: North -Holland, 1974.5华东师范大学数学系.数学分析.M.北京:高等教育出版社，2010.6高鸿业.西方经济学.M.北京:中国人民大学出版社，2011.7丁尚文、丁成钢.多维资源分配问题的拉格朗日乘数法.J.佳木斯