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文档简介

第四章矩阵分析,1矩阵序列与矩阵级数2矩阵函数3函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用,主要内容矩阵序列及其收敛性2矩阵级数的收敛性3矩阵幂级数的收敛性,第一节矩阵序列第二节矩阵级数,矩阵序列Ak收敛于A当且仅当相应的元素序列是收敛的。,即设,例1、,矩阵序列的极限,设矩阵序列Ak,使得对于矩阵A的任一范数有,如果存在矩阵,则称矩阵序列Ak收敛于A，或称矩阵A是矩阵序列Ak的极限,记作,如果矩阵序列Ak不收敛，则称它是发散的。,等价定义,定理：设矩阵序列Ak,若,则对于任一范数矩阵有,提示：利用矩阵范数的性质,及矩阵序列的收敛性即可。,说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2,收敛的矩阵序列的性质,设矩阵序列Ak,Bk分别收敛于A，B；则,说明：在性质（3）中Ak与A必须都可逆。反例见P96例,在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。,定义：设,如果有,则称A为收敛矩阵。,则的充分必要条件为,定理：设,证明由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得,其中,则,因此,而,则,推论设,如果存在上的相容矩阵范数使,则有,例2、判断矩阵是否为收敛矩阵,提示：由知A为收敛矩阵。,注意：是矩阵A为收敛矩阵的充分条件，不是必要条件。,即：矩阵A的范数都大于1，该矩阵也有可能是收敛矩阵。,第二节矩阵级数,设矩阵序列Ak,定义矩阵级数为,定义矩阵级数的部分和为,因此，可构成部分和序列,矩阵级数的收敛性,如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即,则称矩阵级数收敛于A，记做,矩阵级数收敛的等价定义,矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。,即设,则,例1、已知,研究矩阵级数的收敛性,提示：由,故有,收敛矩阵级数的性质：,（2）若矩阵级数则,（3）设,若矩阵级数收敛，则,收敛，且,（1）若矩阵级数收敛，则,绝对收敛,如果矩阵级数相应的每个数项级数是绝对收敛的，则称该矩阵级数是绝对收敛的。,性质2：矩阵级数是绝对收敛的充要条件为,利用数学分析中的相应结果，可得到：,性质1：若矩阵级数绝对收敛，则该矩阵级数一定收敛。,方阵幂级数,矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理：,定理：设,并且幂级数的收敛半径为R，如果,则矩阵幂级数绝对收敛；如果,则矩阵幂级数发散。,推论：设,如果上的某种相容矩阵范数使得,在幂级数,的收敛域内，则矩阵幂级数绝对收敛。,定理：,设则矩阵幂级数收敛的充分必要条件是,（即矩阵A为收敛矩阵）,若矩阵幂级数收敛，其和为，即,例2、求的和，其中,提示：由知A为收敛矩阵，从而,特别地，对于幂级数有下面的收敛定理：,例
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