高中数学等比数列习题课课件新人教B版必修.ppt

习题课等比数列习题课,一,二,一、等比数列的定义【问题思考】1.填空:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.定义表达式为_.2.做一做:已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1,试证明an+1是等比数列.证明:由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),一,二,二、等比数列的前n项和公式【问题思考】1.填空:,一,二,2.除了教材中推导等比数列前n项和的方法,你还能想到什么方法?提示:除了书上用到的错位相减法之外,还有以下方法可以求等比数列的前n项和.,一,二,(3)拆项法Sn=a1+a2+a3+an=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2)=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1),Sn=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+q(Sn-an),一,二,3.做一做:等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(),解析:设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.,答案:C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,等比数列的基本运算【例1】已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.思路分析:根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个数,然后求解.解:设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练1已知Sn为等比数列an的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n=.解析:由题意得=93,a1qn-1=48,又因为q=2,可解得n=5.答案:5,探究一,探究二,探究三,当堂检测,错位相减法求和【例2】已知数列an的前n项和Sn=-n2+2kn(kN+),且Sn的最大值为4.(1)确定常数k的值,并求数列an的通项公式an;,思路分析:(1)利用二次函数的性质及配方法来研究最值;(2)利用错位相减法求Tn,然后利用作差法比较大小.解:(1)因为Sn=-(n-k)2+k2(kN+),所以当n=k时,Sn取得最大值k2.依题意得k2=4,又kN+,所以k=2.从而Sn=-n2+4n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+4n)-(n-1)2+4(n-1)=5-2n.又a1=S1=3也适合上式,所以an=5-2n(nN+).,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟错位相减法求和是近些年高考的一大热点,对于形如Cn=anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)形式的求和均可用错位相减法.运用此法时,一定要明确谁与谁对应以及项数、角标等问题,该方法虽不难理解,但对运算能力要求较高,并且最后要注意检验,简单的操作方法是赋特殊值法.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,构造等比数列求通项公式,思路分析:(1)配常数;(2)取倒数;(3)取对数.,解:(1)由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),an+1是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.an+1=(a1+1)2n-1=2n,即an=2n-1.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案:C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,2.已知等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4,2n-1lgan,的前n项和Sn等于()A.n2nB.(n-1)2n-1-1C.(n-1)2n+1D.2n+1解析:等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,=102n,即an=10n,2n-1lgan=2n-1lg10n=n2n-1,Sn=1+22+322+n2n-1,2Sn=12+222+323+n2n,-,得1-Sn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n-1)2n+1.答案:C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,3.设等比数列an的前n项和为Sn,且a5=S5,则S2018=.解析:根据数列前n项和的定义知S5=a1+a2+a3+a4