数学教案－和圆有关的比例线段.doc

数学教案和圆有关的比例线段 教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论切割线定理和割线定理这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识主要应用与圆有关的计算和证明 难点：正确地写出定理中的等积式因为图形中的线段较多学生容易混淆 2、教学建议 本节内容需要三个课时第1课时介绍相交弦定理及其推论做例1和例2第2课时介绍切割线定理及其推论做例3第3课时是习题课讲例4并做有关的练3 （1）教师通过教学组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题逐步培养学生研究性学习意识激发学生的学习热情； （2）在教学中引导学生“观察猜想证明应用”等学习教师组织下以学生为主体开展教学活动 第1课时：相交弦定理 教学目标： 1理解相交弦定理及其推论并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2学会作两条已知线段的比例中项； 3通过让学生自己发现问题调动学生的思维积极性培养学生发现问题的能力和探索精神； 4通过推论的推导向学生渗透由一般到特殊的思想方法 教学重点： 正确理解相交弦定理及其推论 教学难点： 在定理的叙述和应用时学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混从而导致证明中发生错误因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程了解是两个三角形相似从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理 教学活动设计 （一）设置学习情境 1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动） 引导学生观察图形发现规律：ADCB 进一步得出：APCDPB 如果将图形做些变换去掉AC和BD图中线段PAPBPCPO之间的关系会发生变化?为什么? 组织学生观察并回答 2、证明： 已知：弦AB和CD交于O内一点P 求证：PAPBPCPD （A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成） （证明略） （二）定理及推论 1、相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在O中；弦ABCD相交于点P那么PAPBPCPD 2、从一般到特殊发现结论 对两条相交弦的位置进行适当的调整使其中一条是直径并且它们互相垂直如图AB是直径并且ABCD于P 提问：根据相交弦定理能得到什么结论? 指出：PC2PAPB 请学生用文字语言将这一结论叙述出来如果叙述不完全、不准确教师纠正并板书 推论如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线垂足是P则PC2PAPB 若再连结ACBC则在图中又出现了射影定理的基本图形于是有： PC2PAPB；AC2APAB；CB2BPAB （三）应用、反思 例1已知圆中两条弦相交第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段第二条弦的长为32厘米求第二条弦被交点分成的两段的长 引导学生根据题意列出方程并求出相应的解 例2已知：线段ab 求作：线段c使c2ab 分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆仿照推论即可作出要求作的线段 作法：口述作法 反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题可以当作基本作图加以应用同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图 练习1如图AP2厘米PB25厘米CP1厘米求CD 变式练习：若AP2厘米PB25厘米CPDP的长度皆为整数那么CD的长度是多少? 将条件隐化增加难度提高学生学习兴趣 练习2如图CD是O的直径ABCD垂足为PAP4厘米PD2厘米求PO的长 练习3如图：在O中P是弦AB上一点OPPCPC交O于C求证：PC2PAPB 引导学生分析：由APPB联想到相交弦定理于是想到延长CP交O于D于是有PCPDPAPB又根据条件OPPC易证得PCPD问题得证 （四）小结 知识：相交弦定理及其推论； 能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力； 思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法 （五）作业 教材P132中910；P134中B组4(1) 第2课时切割线定理 教学目标： 1掌握切割线定理及其推论并初步学会运用它们进行计算和证明； 2掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力 3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论培养学生辩证唯物主义的观点 教学重点： 理解切割线定理及其推论它是以后学习中经常用到的重要定理 教学难点： 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点 教学活动设计 （一）提出问题 1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点如果两弦延长交于圆外一点P那么该点到割线与圆交点的四条线段PAPBPCPD的长之间有什么关系(如图1) 当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PAPBPT之间又有什么关系 2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PTPAPB间的关系为PT2=PAPB 3、证明： 让学生根据图2写出已知、求证并进行分析、证明猜想 分析：要证PT2=PAPB可以证明为此可证以PAPT为边的三角形与以PTBP为边的三角形相似于是考虑作辅助线TPPB(图3)容易证明PTA=B又P=P因此BPTTPA于是问题可证 4、引导学生用语言表达上述结论 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 （二）切割线定理的推论 1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时线段PAPBPCPD之间有什么关系? 观察图4提出猜想：PAPB=PCPD 2、组织学生用多种方法证明： 方法一：要证PAPB=PCPD可证此可证以PAPC为边的三角形和以PDPB为边的三角形相似所以考虑作辅助线ACBD容易证明PAC=DP=P因此PACPDB(如图4) 方法二：要证还可考虑证明以PAPD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似所以考虑作辅助线AD、CB容易证明B=D又P=P因此PADPCB(如图5) 方法三：引导学生再次观察图2立即会发现PT2=PAPB同时PT2=PCPD于是可以得出PAPB=PCPDPAPB=PCPD 推论：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（也叫做割线定理） （三）初步应用 例1已知：如图6O的割线PAB交O于点A和BPA=6厘米AB=8厘米PO=10.9厘米求O的半径 分析：由于PO既不是O的切线也不是割线故须将PO延长交O于D构成了圆的一条割线而OD又恰好是O的半径于是运用切割线定理的推论问题得解 （解略）教师示范解题 例2已知如图7线段AB和O交于点CDACBDAEBF分别切O于点EF 求证：AEBF 分析：要证明的两条线段AEBF均与O相切且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上且ACBDADBC因此它们的积相等问题得证 学生自主完成教师随时纠正学生解题过程中出现的错误如AE2ACCD和BF2BDDC等 巩固练习：P128练习1、2题 （四）小结 知识：切割线定理及推论； 能力：结合具体图形时应能写出正确的等积式； 方法：在证明切割线定理和推论时所用的构造相似三角形的方法十分重要应注意很好地掌握 （五）作业教材P132中11、12题 探究活动 最佳射门位置 国际足联规定法国世界杯决赛阶段比赛场地长105米宽68米足蛎趴?.32米高2.44米试确定边锋最佳射门位置(精确到l米) 分析与解如图1所示AB是足球