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第四节一阶线性微分方程,一、线性微分方程二、伯努利方程三、小结,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,解法二：,原方程所对应的齐次微分方程为：,分离变量得,故其通解为,代入所给的非齐次方程，得,两边积分得,故所求非齐次微分方程的通解为,例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代入即得,代入上式,解,例3,例4用适当的变量代换解微分方程:,解,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,思
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