湖南大学机械振动习题课.ppt

1.求图1所示系统中均匀刚性杆AB在A点对坐标x的等效质量。杆的质量为m，A端弹簧的刚度为k。铰C点到A点的距离为al（0a1），试求C点铰支座放置何处时系统的固有频率达到最大值。,图1,解：取x为广义坐标，根据等效系统与原系统的动能相等得：,由于固有频率与质量的平方根成反比，欲得到最高固有频率，必须使me为极小：,得：,代入：,是为极小值，故铰链应放在离A端处。,故,2.一弹簧k与阻尼器c并联于无质量的水平板上。今将一质量m轻放在板上后立即松手，系统即作衰减振动。问质量m的最大振幅是多少？发生在何时？最大速度是多少？发生在何时？设阻尼比01。,图2,解：系统自由振动的微分方程为：,在t=0，x=x0，的初始条件下的响应为：,式中：,对（1）式取一次导数：,最大振幅应发生在时，由（2）式可知：,时质量m振幅最大，代入（1）式得：,最大速度发生在时，由（2）式可得：,或,时速度最大，代入（2）式得：,应注意最大速度并不发生在质量m过静平衡位置时，这是和无阻尼自由振动不同之处。,3.一飞机升降舵的控制板铰接于升降舵的轴上，如图3所示O点，另有一相当于扭簧k的联动装置控制其转动。已知控制板绕O点的转动惯量为IO。为计算控制板系统的固有频率，用图示试验方法测定k。将升降舵固定，而在控制板的自由端联接两个弹簧k1，k2。使k2的一端有简谐支承运动y=asin。调节激振频率至系统共振，测定共振频率为0。试计算k及控制板的固有频率。,图3,控制板；升降舵,当我们需要操纵飞机抬头或低头时，水平尾翼中的升降舵就会发生作用。升降舵是水平尾翼中可操纵的翼面部分，其作用是对飞机进行俯仰操纵。,红线表示气流方向(也就是飞机机头方向吹过来的风的方向），黑线表示平尾，蓝线表示升降舵舵面。图1-飞机起飞时升降舵舵面的情况，飞机往前飞，气流就往后吹，气流遇到升降舵上翘的舵面产生阻力，阻力产生压力，压力把升降舵舵面往下压，飞机机头就会自然向上了，飞机就往上飞。图2-飞机下降时候升降舵舵面的情况。图3-飞机就是平飞状态。,图1,图2,图3,控制板的固有圆频率为：,图3,解：取广义坐标如图，系统的振动微分方程为：,故：,共振频率为：,1.求图1所示系统的固有频率。AB为刚性杆，杆本身质量忽略不计。,图1,图b,解：方法（1）：能量法取广义坐标如图，利用等效质量和等效刚度的概念，可把原系统等效成为图b所示等效系统。,根据等效前后动能相等：,Ie,Ke,me,得转动惯量：,等效转动刚度：,根据等效前后势能相等：,固有频率为：,取m1,m2,K1,K2处的竖向位移为广义坐标，如何等效？,方法（2）：定义法设使系统绕A点产生单位角加速度需要施加弯矩M，则在m1、m2上产生绕A点的惯性矩：,设使系统产生单位转角需要施加弯矩M，则在K1、K2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：,固有频率为：,2.一质量m=2000kg，以匀速度v=3cm/s运动，与弹簧K、阻尼器C相撞后一起作自由振动，如图所示。已知K=48020N/m，C=1960N-s/m。问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多大？,图2,解：系统自由振动的微分方程为：,在t=0,x=0,的初始条件下的响应为：,由，得最大振幅发生在,令,代入得tm=0.3s，最大振幅为：,应注意最大振幅并不发生在，即时，此时：,3.求图3所示系统在支撑运动为ys=y0sint时的振动微分方程。AB为刚性杆。,图3,解：方法（1）按原系统列振动微分方程。,设为AB杆的相对转角，y为m上下运动时的绝对位移，AB杆的静平衡位置为水平，由运动学知识有：,y,故：,由动量矩或牛顿定律建立方程,将（1）代入（2）式，经化简可得系统的振动微分方程为：,代入,得：,所以：,方法（