例说平面图形的重心位置第一期.pdf

g 貂 ； 中学数学杂志2 0 1 2 年第 1 1 期 _ 例 说平面 图形酌重心 位置 安徽省太和县宫集镇 中心学校 2 3 6 6 5 2 王伟 民 “ 重力在物体上的作用点叫做物体 的重心” ， 这 是物理学对物体重心的定义 任何一个物体都可看作由很多个质点( 物理学中 所讲的质点 ， 指的是有一定质量但不占有空间的几何 点) 所组成 ， 而每个质点都会受到地球吸引力( 即重 力)的作用， 这些质点所受的重力， 其效果可 以用一 个力来代替 ， 即这些力 的合力 ， 合力的作用点即为该 物体的重心 所 以， 要确定一个物体重心 的位置 ，只 需确定组成该物体的所有质点所受重力的合力即可 合力 的作用点便是我们需要确定的点 对于平面状的物体来说 ， 假设它由 n个质点所组 成， 并设这 n个质点的质量分别为 m ， m ， ， m ， 将 物体置于横轴与水平面平行的铅直平面直角坐标系 中， 设 这 几个 质点 的坐标 分 别 是：( 。 ， Y 。 ) 、( ， Y ) ( ， Y ) ， 与地球相比， 若物体的尺度不大 ， 组成 物体的各质点所受地球 的引力 ( 即质点重力) ， 方向 可认为是互相平行的 由物理学平行力的合成法则可 知， 这些质点所受重力之合力 的作用点， 坐标 ( ， y ) 满 足 ： = ( m ) m ， i = I f ；1 Y=( m i ) m Y = 1 f =1 该坐标点实际上是物体的质心( 即物体的质量中 心) ， 由上式可知， 质心横坐标和纵坐标分别是组成物 体各质点的横坐标及纵坐标相对于各质点质量的加 权平均数 当各质点所受重力相互平行时， 物体的重 心与质心重合 若离地球较近的物体尺度很大， 比如 像月亮那么大 ， 虽然组成物体的各质点所受重力仍竖 直向下， 但这些均“ 竖直 向下”的力 ， 其方向已不再平 行 ， 此时物体的重心与质心通常不再重合 而数学中 所讲的几何体的重心， 指的是质量分布均匀 的物体 ， 各部分所受重力方向均平行的情形 ， 即物体的质心 一 个物体分成再多的部分， 每一小部分仍然会 占 有一定的几何空间， 所以， 质点只能是一种理想化的 物理模型 求一个几何体 的重心， 通常是将该物体分 成有限的几部分 ， 并将这几部分看作重力集中在各部 分重心的质点， 再利用上述坐标公式确定出整个几何 体的重心 1 8 利用物体的重心坐标公式 ， 我们探讨一下几种常 见平面图形的重心位置 1 轴对称图形及中心对称图形的重心 利用轴对称图形的性质及重心坐标公式， 可以证 明轴对称图形的重心一定在其对称轴上 如图 1 ， E F是某任意 一 个 轴对称图形的对称 轴 ， 由于对称轴两侧的部 分是全等形， 而几何图形 的重心相对于该 图形 的 位置是确定 的， 所以， 这 两部分的重心 P与 Q也 J ， E 一 i F 图 1 关于直线 E F对称 以P为坐标原点 ， P Q为 轴正方向 建立平面直角坐标系 ， 设这两部分的质量均为 m， 并 设 P Q=f ， 则 Q点的坐标为( 1 , 0 ) ， 所以， 整个轴对称 图形的重心坐标( ， Y )满足： = ( m ) m = ( 2 m ) ( m 0 + m 1 ) = 丢 ， Y=( m ) m iY =( 2 m ) ( 0 + 0 )= 0 所以， 点 ( ， Y )在 P Q的中点 ， 即该点在对称轴 EF 。 利用“ 轴对称图形的重心在其对称轴上”这一重 要结论， 我们很容易确定一些轴对称 图形的重心位 置 ， 比如， 线段的重心在线段的中点 ， 矩形的重心在矩 形两对角线的交点， 圆的重心在该圆的圆心等 用同样的方法我们可以证明， 中心对称 图形的重 心， 在该图形 的对称中心 例如 ， 平行四边形 的重心 ， 在两条对角线的交点 2 三角形的重 心 如图2 ， 对于任意 A B C， 以顶点 为坐标原点， A C 边的 高所在 的直线为 轴建立平 面直角坐标系， 则 、 C两点的 横坐标相等 设两点的坐标分 别为 A( ， Y )和 C ( 。 ， Y ) ， 则 A C=Y l Y 2 ( Y lY 2 ) tY 一 i J B 。 一 j 图 2 中学数学杂志2 0 1 2年第 1 1 期 己 4 臻 医 琵 舅 器 毛 g 己 痈 9 从坐标原点起 ， 用( n一 1 ) 条间距相等且与y 轴平 行的直线 ， 将 AA B C分成 n个小梯形( 其 中第一个为 三角形 ， 可视为上底为 0的“ 梯形” ) 当 n足够大时 ， 各小梯形可看作“ 矩形” ， 易知每个小 “ 矩形”的宽为 ，第 i 个小“ 矩形”的长是 ( y 。 一Y ) ， 设 AA B C的 I I , ， 质量为 m， 则其面密度( 即单位面积的图形的质量) ： m 2m Y i Y 2 o 一 一 0( Y 1 一Y 2 ) 故 ， i + l 、 “ 矩 形 ” 的 质 量 = 音 ( )，- 一 y ) x_ Eo 。 - -f 2 m； 第 个小“ 矩形” 的重心横坐 标 航 ： x o ( 一 1) 所以， AA B C重心横坐标为 = l i m ( m) 2 m ( 1一 1)+ 2 m ( 2 一 1 ) + 砉 2 m ( 3 一 号 ) + + 2 m ( n 一 ) = l i m ( m ) 2 m - 1 ( 1 一 1 ) + 2 ( 2 一 1 ) + 3 ( 3一 1)+ +n ( n 一 1) ： l i m 2 _ X o 1 z + 2 ： + + tt 2 一 ( 1 + 2 + + n ) = 一l im n 业一 ： l i m n _ + n 工二 = 。 2 o 这就是说 ， AA B C的重心到A C边的距离 ， 等于该 边 高 的 同 理 ，重 心 到 c 边 的 距 离 ， 将 等 于 c 边 高 的了1 ，而在三角形 的内部 ， 到两边 的距离分别等于两 边上高三分之一的点， 只有唯一的一个 又因为三角 形两边中线 的交点刚好具有上述性质 到三边的 距离 ， 分别等于三边高的三分之一， 所 以， 三角形三边 中线的交点 ， 即为该三角形的重心 宴 际 卜 丌 。 何 中 = 角 形 雷 r 宗 =角 形 = 条中线的交点叫做三角形的重心 就是为了使平 面物体的几何重心与物理重心相统一而下 的 当然 ， 对于质量分布均匀的三角形薄片， 其几何重心一定与 物理重心相重合， 否则 ， 如果三角形薄片的质量分布 不均匀 ， 其几何重心与物理重心一般情况下不再合 一 3 梯形 的重 心 利用物体重心坐标公式 ， 容易推 出下面的结论： 若将物体分成两部分 ， 则整个物体的重心在这两部分 重心的连线上( 图 1的轴对称图形的坐标便是其中的 一 个特例 ) 梯形 可看作 是 由与三 角形一边平行 的直线将 三 角形截去一角而得到 如图 3 ， AA B C中，任 作 一 条 与 B C 平 行 的 直 线 E F，将 AA B C分成两部分 ： AA E F 和梯形 E F C B， 用细线将质 C 量分布均匀 的 AA B C薄片 图3 从 点吊起， 并在A点挂一铅锤线A H， 设P 、 P 和P分 别是 AA E F、 梯形 E F C B和 AA B C的重心( 梯形重心 P ： 图中未标 出) ， 由物理学 中的二力平衡条件可知， AA B C薄片静止时 ， 其重心 P一定位于过悬挂点A的 铅直直线 A H上 ， 则铅垂线 A H与边 B C的交点将为 该边的中点 因为 E F B C， N B =N C， 所以 ME =MF ( M是铅垂线 A H与 E F的交点) ， 即 M是 E F的中点 ， 所 以， A E F的重心 P 也在 铅垂线 A H上 因为 AA B C的重心尸一定在 AA E F与 梯形 E F C B重心 P 、 P 2 的连线上 ， 所以， 梯形 E F C B的 重心 P ： 在直线 P P上 这就是说 ， 梯形重心在梯形两 底中点的连线上 我们再探究一下梯形重心到两底 的距离与两底 的长及梯形高的关系 如图4， 梯形 A B C D中， A B C D， 以 为坐标原点 建立如图所示的坐标系， 作 A E BC ， 交 C D于 E， 取 D E的中点 F ， 连结 A F， 设 尸 。 、 P 2 分别是 E z T A B C E和 AA D E 的重 心 ， 设梯形 A B C D的质量为 m， A B =a ， C D =b ， 梯形高为 h ， 则梯形 的面密度为： ， n m 了 l C E ： F 图 4 1 9 中学数学杂志2 0 1 2年第 1 1 期 一 一 ( a+b ) h c 3 A B C E和 Z A D E的质量分别为 ： ， 2 m 2口 m 砒。 m ， m ：= 吉 ( 6 _ 口 ) = m 易知 P 、 P ：两点 的横坐标 。 、 ：分别 为： 。= 了 1 ， ： 争 ， 所以 ， 梯 形A c D 重 心P 的 横 坐标 为： = ( m ) m =m ( m1 l +m 2 2 ) = m - I ( m + 糍m 3 h ) a +2 b ， 几 对 于 梯 形 而 言， 重 心 横 坐 标 公 式 = ( 即重心到较短底的距离)中， 当。=6 时 ， 梯形“ 演变”为平行四边形， 此时 ： = ， 这恰为平行四边形的重心位置； 当口： 0 时， 梯形 “ 演变”成三角形 ， 有 = = 2 ，这正是三 角形的重心位置 4 梯形重心 的应 用 我们看梯形重心的一个应用 例 1 如图5 ， 质量分布 均匀的三棱柱， 截面是边长 为 a的正三角形， 置于水平 桌面上， 现从三棱柱的左下 角切 去一块截面也 为正三 角形的三棱柱 若截去部分 B E N C 较小 ， 比如沿图中的 D E线 图5 切去 ， 则剩余部分可“ 稳立”于桌面上； 若切掉部分过 大， 比如 ， 沿图中的 MN线切去左下角， 则剩余部分将 向左倾倒。 试问， 切去部分的三角形截面 ， 边长满足什 么条件时， 剩余部分不倾倒? 解析 如图 6 ， 设切去 左下角之后 ， 剩余部分的重 心为 P， 剩余部分的重力作 用线交桌 面于 欲使剩余 部分不倾倒 ， 必使其重力作 用线 P M落在支撑面 E C上， 而不能在 E C的左侧 ， 否则， 2 0 图 6 剩 余 晋 Is 分 将 同 左倾 倒 ， 返 就 有 B M BE 设切去部分截面正三角形边长为 ， 则 C E =a ，所 以 梯 形 肋 A c 的 高 = 譬 ( 一 ) ，利 用 上 面 推 出的梯形重心公式可得： P = 譬 ( n 所 以 JP = P + N B = 譬 ( ) + ： + 2 3 ( +a ) 。 所 以 删= 铷 = 训 由 M B E得 ： 3 训 整理并化简得( 利用 +a0 ) ： + 0 一a 0 解得：一 。 a 取 。 ( 因为 0 ) 这个临界点恰为棱 梓截面 4 BC 长 BC的一个莆会 分割 点f 中学数学教学 全国优秀科技期刊 中国期刊方阵双效期刊 邮发代号 2 6 7 全国各地邮局均可订阅 中学数学教学 始终坚持质量第一， 坚持 全心全意为推动教学改革， 为提高中学数学教 学质量服务 的办刊 方针 紧扣 中学数学教 学实 际， 突出“ 新颖 、 实用 、 指导、 资料” 八 字特色， 主 要栏 目有聚焦新课程 、 教 学参考、 解题方法、 复 习考