正概率论与数理统计练习册及其答案介绍.pdf

概率论与数理统计 练习册答案 第 1 页东华理工大学 20102011 学年第 2 学期期末（B）试题 - 1 - 第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念 一、选择题一、选择题 1将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A（正，正），（反，反），（一正一反） B.(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反） C一次正面，两次正面，没有正面 D.先得正面，先得反面 2.设 A，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(-AB)表示（ ） A必然事件BA 与 B 恰有一个发生 C不可能事件DA 与 B 不同时发生 3设 A，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)P(B) C.)()(BAPBAP=D.P(A+B)=P(A)+P(B) 4.设 A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(). A.P(AB)=P(A)P(AB)B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中 P(B)0 C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A)=1 5.若AB，则下列各式中错误的是（）. A0)(ABPB.1)(ABP C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A-B)P(A) 6.若AB,则(). A. A,B 为对立事件B.BA= C.=BAD.P(A-B)P(A) 7.若,BA则下面答案错误的是(). A.( )BPAP)(B.()0A-BP C.B 未发生 A 可能发生D.B 发生 A 可能不发生 1 第 2 页东华理工大学 20102011 学年第 2 学期期末（B）试题 - 2 - 8.(1,2, ) i A in=?为一列随机事件,且 12 ()0 n P A AA?,则下列叙述中错误的是(). A.若诸 i A两两互斥,则 = = n i i n i i APAP 11 )()( B.若诸 i A相互独立,则 11 ()1(1() nn ii ii PAP A = = C.若诸 i A相互独立,则 11 ()() nn ii ii PAP A = = D.)|()|()|()()( 123121 1 = = nn n i i AAPAAPAAPAPAP? 9.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是(). A. 2 1 B. ba + 1 C. ba a + D. ba b + 10.设有r个人,365r,并设每个人的生日在一年 365 天中的每一天的可能性为均等的, 则此r个人中至少有某两个人生日相同的概率为(). A. r r P 365 1 365 B. r r rC 365 ! 365 C. 365 ! 1 r D. r r 365 ! 1 11.设 A,B,C 是三个相互独立的事件,且, 1)(0CP则下列给定的四对 事件中,不独立的是(). A.CAUB与B.BA与 C C.CAC与D.CAB与 12.当事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 也随之发生,则(). A.1)()()(+BPAPCPB.1)()()(+BPAPCP C.P(C)=P(AB)D.( )()P CP AB= 13.设, 1)()|(, 1)(0 , 1)(0=+，则下列结论正确的 是(). A.P(A|B)=0B.(|)( )P A BP A=C.()( ) ( )P ABP A P B=D.P(B|A)0 15.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为 6 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 则密码最终能被译 出的概率为(). A.1B. 2 1 C. 5 2 D. 3 2 16.已知 11 ( )( )( ), ()0, ()(), 416 P AP BP CP ABP ACP BC=则事件 A,B,C 全不 发生的概率为(). A. 8 1 B. 8 3 C. 8 5 D. 8 7 17.三个箱子,第一箱中有 4 个黑球 1 个白球,第二箱中有 3 个黑球 3 个白球,第三个箱中有 3 个黑球 5 个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是 (). A. 120 53 B. 19 9 C. 120 67 D. 19 10 18.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为 , 2:3, 2:1, 1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2， 现随机取一个箱子， 再从中随机取 出一个球，则取到白球的概率为（）. A. 13 5 B. 45 19 C. 15 7 D. 30 19 19.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为(). A. 2 1 B. 3 1 C. 7 5 D. 7 1 答： 1答案：（B） 2. 答案：（B） 解：AUB 表示 A 与 B 至少有一个发生,-AB 表示 A 与 B 不能同 3 第 4 页东华理工大学 20102011 学年第 2 学期期末（B）试题 - 4 - 时发生,因此(AUB)(-AB)表示 A 与 B 恰有一个发生 3答案：（C） 4. 答案：（C）注:C 成立的条件:A 与 B 互不相容. 5. 答案：（C）注:C 成立的条件:A 与 B 互不相容,即AB=. 6. 答案：（D）注:由 C 得出 A+B=. 7. 答案：（C） 8. 答案：（D） 注：选项 B 由于 11111 ()1()1()1() 1(1() nnnnn iiiii iiiii PAPAPAP AP A = = = = = ? 9.答案： （C）注： 古典概型中事件A发生的概率为 ( ) ( ) ( ) N A P A N = . 10.答案：（A） 解：用 A 来表示事件“此r个人中至少有某两个人生日相同”，考虑 A 的对立事件A“此r个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知 365365 ! ( ) 365365 rr rr CrP P A =，故 365 ( )1 365 r r P P A = . 11.答案：（C） 12.答案：（B） 解：“事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 也随之发生”，说明ABC， 4 第 5 页东华理工大学 20102011 学年第 2 学期期末（B）试题 - 5 - 故()( )P ABP C；而()( )( )()1,P ABP AP BP AB=+ 故( )( ) 1()( )P AP BP ABP C+ . 13.答案：（D） 解：由(|)()1P A BP A B+=可知 2 ()()()1() ( )( )1( )( ) ()(1( )( )(1( )( )() 1 ( )(1( ) ()(1( )( )(1( )( )()( )(1( ) ()() ( )( )( ) ( )( ( )( ) ()( ) P ABP ABP ABP AB P BP BP BP B P ABP BP BP AP BP AB P BP B P ABP BP BP AP BP ABP BP B P ABP AB P BP BP A P BP BP B P ABP B +=+ + = += += 2 ( ( ) ()( ) ( ) P B P ABP A P B = 故 A 与 B 独立. 14.答案：（A） 解：由于事件 A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此 P(A|B)= ()0 0 ( )( ) P AB P BP B =. 15.答案：（D） 解：用 A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能 译出密码，则密码最终能被译出，因此事件 A 包含的情况有“恰有 一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”， “四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑 A 的对立 5 第 6 页东华理工大学 20102011 学年第 2 学期期末（B）试题 - 6 - 事件A“密码最终没能被译出”，事件A只包含一种情况，即“四人 都没有译出密码”，故 111112 ( )(1)(1)(1)(1)( ) 543633 P AP A=. 16.答案：（B） 解：所求的概率为 ()1() 1( )( )( )()()()() 11111 100 4441616 3 8 P ABCP ABC P AP BP CP ABP BCP ACP ABC = = + = + = 注：0()()0()0ABCABP ABCP ABP ABC=. 17.答案：（A） 解： 用 A 表示事件 “取到白球” ， 用 i B表示事件 “取到第 i 箱”1.2.3i =， 则由全概率公式知 112233 ( )() (|)() (|)() (|) 1 11 31 553 3 53 63 8120 P AP B P A BP B P A BP B P A B=+ =+= . 18.答案：（C） 解：用 A 表示事件“取到白球”，用 i B表示事件“取到第 i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知 112233 ( )() (|)() (|)() (|) 2 13 21 27 6 56 36 515 P AP B P A BP B P A BP B P A B=+ =+= . 19.答案：（C） 6 第 7 页东华理工大学 20102011 学年第 2 学期期末（B）试题 - 7 - 解：即求条件概率 2 (|)P BA.由 Bayes 公式知 3 2 6 322 2 7 11223315 () (|)5 (|) () (|)() (|)() (|)7 P B P A B P BA P B P A BP B P A BP B P A B = + . 二、填空题二、填空题 1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间= . 2设A，B，C表示三个随机事件，试通过A，B，C表示随机事件A发生而B，C都不发生 为；随机事件A，B，C不多于一个发生. 3.设 P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，若事件 A 与 B 互斥，则 P（B）=；若事件 A 与 B 独立，则 P（B）=. 4.已知随机事件 A 的概率 P（A）=0.5，随机事件 B 的概率 P（B）=0.6 及条件概率 P（B|A） =0.8，则 P（AUB）=. 5.设随机事件 A、B 及和事件 AUB 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6，则 P（AB）=. 6.设 A、B 为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则 P（AB）=. 7.已知 8 1 )()(, 0)(, 4 1 )()()(=BCpACpABpCpBpAp ，则CBA,全不发生 的概率为. 8设两两相互独立的三事件A、 B 和C满足条件：=ABC， 2 1 )()()(=CpBpAp， 且已知 16 9 )(=CBAp，则_)(=Ap. 9.一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回， 则 第二次抽出的是次品的概率为. 10将 C、C、E、E、I、N、S 这 7 个字母随机地排成一行，恰好排成 SCIENCE 的概率 为. 11设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 7 第 8 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 8 - 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于 A 生产的概率是. 12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5.现已知目标被命 中，则它是甲射中的概率是. 答： 1.（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反， 反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正， 反，正） 2.;ABC ABCABCABCABC或ABBCAC 30.3，0.5 解：若 A 与 B 互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若 A 与 B 独立，则 P（AB）=P（A）P（B），于是 由 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）， 得 ()( )0.70.4 ( )0.5 1( )1 0.4 P ABP A P B P A + = . 4.0.7 解：由题设 P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3 解：因为 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又()()( )P ABP ABP A+=， 所以()()( )0.60.30.3P ABP ABP B=. 8 第 9 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 9 - 6.0.6 解：由题设 P（A）=0.7，P（AB）=0.3，利用公式ABABA+=知 ()( )()P ABP AP AB=0.7-0.3=0.4，故()1()1 0.40.6P ABP AB= = =. 7.7/12 解：因为 P（AB）=0，所以 P（ABC）=0，于是 ()()1() 1 ( )( )( )()()()() 1 3/42/67/12 P ABCP ABCP ABC P AP BP CP ABP BCP ACP ABC = = + = += . 8.1/4 解： 因为()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC=+ 由题设 22 ( )( )( ), ()( ) ( )( ), ()( ) ( )( )P AP BP CP ACP A P CPA P ABP A P BPA=， 2 ()( ) ( )( ), ()0P BCP B P CPA P ABC=，因此有 2 9 3 ( )3( ) 16 P APA=，解得 P（A）=3/4 或 P（A）=1/4，又题设 P（A）XP的值为 (）. A. 2 eB. 2 5 1 e C. 2 4 1 e D. 2 2 1 e . 3.设 X 服从5 , 1 上的均匀分布,则(). A. 4 ab bXaP =B. 4 3 63= XP C.140=为(). A. 7 8 B. 1 4 3 2 xdx + C. 1 4 3 1 2 xdx D. 3 2 11.设(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332 ,| 2XNPX=则为(). A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.8664 12.设 X 服从参数的指数分布,则下列叙述中错误的是(). A. = 0, 0 0,1 )( x xe xF x B.对任意的 x exXPx =, 0 有 C.对任意的|, 0, 0tXPsXtsXPts=+有 D.为任意实数 13.设),( 2 NX则下列叙述中错误的是(). A.) 1 , 0( 2 N X B.)()( = x xF C.( , )()() ab P Xa b = D.)0( , 1)(2|=kkkXP 14.设随机变量 X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程01 2 =+ Xxx有实根的概率是(). 13 第 14 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 14 - A.0.7B.0.8C.0.6D.0.5 答：答：1.答案：（B） 注：对于连续型随机变量 X 来说，它取任一指定实数值 a 的概率均 为 0，但事件X=a未必是不可能事件. 2.答案：（B） 解：由于 X 服从参数为的泊松分布，故,0,1,2, ! ke P Xkk k =?. 又,21=XPXP故 12 2 1!2! ee =，因此 021222 2 212 1012 2225 11 0!1!2! P XP X P XP XP X eee e = = = = = . 3.答案：（D） 解：由于 X 服从5 , 1 上的均匀分布,故随机变量 X 的概率密度为 1 4, 1,5 ( ) 0,1,5 x f x x = .因此，若点,1,5a b，则 4 ab bXaP =. 2 3635 4 PXPX=， 3 0414 4 PXPX=， 21 1313 42 PXPX += += = 正态分布中的参数只要求0，对没有要求. 5.答案：（A） 解：由于(2, )XBp，故 00222 2 111101(1)1 (1)2P XP XP XC ppppp= = = = =， 而 5 1 9 P X =，故 2 515 2 933 pppp=或（舍）； 由于(3, )YBp，故 0033 3 11219 11Y1101( ) (1)1 ( ) 33327 P YPP YC= = = = =. 6.答案：（B） 解：这里( )23g xx= +，( )g x处处可导且恒有( )20g x= ，其反函数 为 3 ( ) 2 y xh y = ，直接套用教材 64 页的公式（5.2），得出 Y 的密 度函数为 3113 ( )()() 2222 YXX yy fyff =. 7.答案：（D） 注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材 51 页. 8.答案：（C） 解：因为) 1 , 1 ( NX，所以 2 (1) 2 1 ( ) 2 xt F xedt = ， 2 (1) 2 1 ( ) 2 x f xe =. 15 第 16 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 16 - 10 1 0( 1)1(1)1 0.84310.1569, 11 010101( 1)(1)0.8431; X P XP P XP XP X = = = = = = = = = 11 1 1(0)0.5, 11 111111(0)0.5; X P XP P XP XP X = = = = . 11.答案：（B） 解： 2 112 1 2121 221 222 X P XP XPXP = = = = = = =；选 项 C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数 分布而言，要求参数0. 13.答案：（A） 解：选项 A 改为(0,1) X N ，才是正确的； ( , )( )( )()() ab P Xa bF bF a = ； | ( )()2 ( ) 1,(0) PXkPkXkPkXk kXk Pkkkk =+ + = = . 14.答案：（B） 解：由于随机变量 X 服从(1,6)上的均匀分布,所以 X 的概率密度函 数 为 1 5, 1,6 ( ) 0,1,6 x f x x = . 而 方 程01 2 =+ Xxx有 实 根 ， 当 且 仅 当 2 4022XXX = 或，因此方程01 2 =+ Xxx有实根的概率为 62 220.8 6 1 pP XP X =+ = . 二、填空题二、填空题 1随机变量X的分布函数)(xF是事件的概率. 2已知随机变量X只能取-1，0，1，2 四个数值，其相应的概率依次是 cccc16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 ， 则=c 17 第 18 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 18 - 3当a的值为时，?, 2 , 1,) 3 2 ()(=kakXp k 才能成为随机变量X的分布列. 4设离散型随机变量X的分布函数为： + = 2, 21, 3 2 11, 1,0 )( xba xa xa x xF 且 2 1 )2(=Xp，则_,_ab=. 5设5 , 1 UX，当51 21 xx时，)( 21 xXxp=. 6设随机变量),( 2 NX，则X的分布密度=)(xf.若 = X Y， 则Y的分布密度=)(yf. 7设)4 , 3(NX，则=72Xp. 8设)2 , 3( 2 NX，若)()(cXpcXp=，则=c. 9.若随机变量X的分布列为 5 . 05 . 0 11 ，则12+=XY的分布列为. 10.设随机变量服从（，）上的均匀分布，则随机变量 2 X在（，）内的概 率密度为( ) Y fy. 答答1.Xx. 2.解：由规范性知 11111515 1 248161616 c ccccc =+=. 3.解：由规范性知 1 22/31 1( )2 312/32 k k aaaa = = . 4.解：因为( )(0)P XxP XxP XxF xF x=，所以只有在 F （X）的不连续点（x=-1,1,2）上 PX=x不为 0,且 P（X=-1）=F（-1） 18 第 19 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 19 - -F（-1-0）=a，PX=1=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，PX=2=F（2） -F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知 1=a+2/3-2a+2a+b-2/3 得 a+b=1, 又 1/2=PX=2=2a+b-2/3，故 a=1/6，b=5/6. 5.解：由于5 , 1 UX，所以 X 的概率密度为 1 ,15 ( )4 0, x f x = 其它 ， 故 2 122 1 11 ()( )(1) 44 x p xXxf x dxdxx = . 6. 2 2 () 2 1 ( ), 2 x f xex = ； 2 2 1 ( ), 2 y f yey = 7.解： 23373 27 222 (2)( 2.5)(2)(2.5) 10.99720.9938 10.9910 X PXP = = = + =+ = . 8.解:由 ()()()1() 1333 (0)()()() 2222 3 03 2 p Xcp Xcp Xcp Xc Xcc p Xcp c c = = = . 9 13 0.50.5 0解： 0 11 ( ),(04) 22 y Y FyP YyP Xydxyy= 故 1 ( )( )(04) 4 YY fyFyy y =. 三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取 出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律 解：X可以取值3，4，5，分布律为 19 第 20 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 20 - 10 6 1 )4 , 3 , 2 , 1,5()5( 10 3 1 )3 , 2 , 1,4()4( 10 1 1 )2 , 1,3()3( 3 5 2 4 3 5 2 3 3 5 2 2 = = = = = = C C PXP C C PXP C C PXP 中任取两球再在号一球为 中任取两球再在号一球为 号两球为号一球为 也可列为下表 X：3，4，5 P： 10 6 , 10 3 , 10 1 四、 设随机变量X的分布函数为 = ., 1 ,1 ,ln , 1, 0 )( ex exx x xFX， 求（1）P (X2), P 0X3, P (2X 2 5 )；（2）求概率密度fX(x). 解：（1）P (X2)=FX(2)= ln2，P (0X3)= FX(3)FX(0)=1， 4 5 ln2ln 2 5 ln)2() 2 5 ( 2 5 2(= XX FFXP （2） = 其它, 0 ,1 , 1 )( )( ex x xFxf 五、设随机变量X的概率密度)(xf为 = 其他0 212 10 )(xx xx xf 求X的分布函数F (x)。 解： = x dttfxXPxF)()()( =+= =+= =+= = 1 02 2 1 0 2 1 1 0 0 2 0 0 10)2(0)(,2 1 2 2)2(0)(,21 2 0)(,10 00)(,0 x x x x dtdttdttdtxFx x xdttdttdtxFx x dttdtxFx dtxFx 时当 时当 时当 时当 故分布函数为 20 第 21 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 21 - = x x x x x x x xF 21 211 2 2 10 2 00 )( 2 2 六、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程0244 2 =+KxKx有实根的概率 K的分布密度为： = 其他0 50 05 1 )( K Kf 要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。 解不等式，得K2时，方程有实根。 5 3 0 5 1 )()2( 5 5 22 =+= + dxdxdxxfKP 七、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度为： = 为其他x x xf 0 101 )( Y=g (X) =eX是单调增函数 又X=h (Y)=lnY，反函数存在 且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 =maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为： = = 为其他y ey y yhyhf y 0 1 1 1| )( |)( )( 八、设X的概率密度为 = 为其他x x x xf 0 0 2 )( 2 求Y=sin X的概率密度。 FY( y)=P (Yy) = P (sinXy) 当y0时：FY( y)=0 当0y1时：FY( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) 21 第 22 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 22 - = + y y dx x dx x arcsin 2 arcsin 0 2 22 当1y时：FY( y)=1 Y的概率密度( y )为： y0时，( y )= FY( y) = (0 ) = 0 0y1时，( y )= FY( y) = + y y dx x dx x arcsin 2 arcsin 0 2 22 = 2 1 2 y 1y时，( y )= FY( y) = ) 1 ( = 0 第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 一、选择题一、选择题 1.设)( 1 xF与)( 2 xF分别是随机变量 X 与 Y 的分布函数,为使)()( 21 xbFxaF是某个随机 变量的分布函数,则ba,的值可取为(). A. 5 2 , 5 3 =baB. 3 2 , 3 2 =baC. 2 3 , 2 1 =baD. 2 3 , 2 1 =ba 2. 设 随 机 变 量 i X的 分 布 为 12 101 (1,2)01, 111 424 i XiX X = 且P则 12 P XX=(). A.0B. 4 1 C. 2 1 D.1 3.下列叙述中错误的是(). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 4.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则(). A. 1 , ,1,2,6 36 P Xi Yji j=?B. 36 1 = YXP 22 第 23 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 23 - C. 2 1 = YXPD. 2 1 = YXP 5.设(X,Y)服从二维正态分布),( 2 2 2 121 N,则以下错误的是(). A.),( 2 11 NXB),( 2 21 NXC.若0=,则 X,Y 独立 D.若随机变量),(),( 2 22 2 11 NTNS则( , )S T不一定服从二维正态分布 6.若),(),( 2 22 2 11 NYNX,且 X,Y 相互独立,则(). A.)( ,( 2 2121 +NYXB.),( 2 2 2 121 NYX C.)4,2(2 2 2 2 121 +NYXD.)2 ,2(2 2 2 2 121 +NYX 7.已知( 3,1)XN ，(2,1)YN，且,X Y相互独立,记27,ZXY=+ Z则(). A.)5 , 0(NB.)12, 0(NC.)54, 0(ND.)2 , 1(N 8.已知 sin(),0, (, ) ( , )4 0, Cxyx y X Yf x y + = 其他 则 C 的值为(). A. 2 1 B. 2 2 C.12 D.12 + 9.设 + = 其他, 0 20 , 10 , 3 1 ),(),( 2 yx xyx yxfYX,则1+YXP=() A. 72 65 B. 72 7 C. 72 1 D. 72 71 10.为使 = + 其他, 0 0, ),( )32( yxAe yxf yx 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则 A 必为 (). A.0B.6C.10D.16 23 第 24 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 24 - 12.设 = 其他, 0 10 , 20, 2 3 ),(),( 2 yxxy yxfYX,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1) 为顶点的三角形内取值的概率为(). A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.8 13.设 12 , n XXX?相独立且都服从),( 2 N,则(). A. 12n XXX=?B. 2 12 1 () ( ,) n XXXN nn +? C.)34 , 32(32 2 1 +NXD.), 0( 2 2 2 121 NXX 答： 1.答案：（A） 解：要使 12 ( )( )( )F xaF xbF x=是某个随机变量的分布函数,该函数必须 满足分布函数的性质，在这里利用( )1F =这一性质可以得到 12 ( )( )1aFbFab =，只有选型 A 满足条件. 2.答案：（A） 解：由 12 01X X =P可知 1212 0100X XP X X= =P，故 12121212 12121212 1,11,11,11,10 1,11,11,11,10 P XXP XXP XXP XX P XXP XXP XXP XX = = += =+= += = = = = = 又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知： 1121212 12 1 11,11,01,1 4 1 1,0 4 P XP XXP XXP XX P XX = = = += =+= = = = 24 第 25 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 25 - 1121212 12 1 11,11,01,1 4 1 1,0 4 P XP XXP XXP XX P XX = +=+= = 2121212 121212 1 01,00,01,0 2 1 0,01,01,00 2 P XP XXP XXP XX P XXP XXP XX = =+=+= = = 故 12121212 1,11,10,00P XXP XXP XXP XX= = +=+=. 3.答案：（D） 解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联 合分布，但如果已知随机变量 X 与 Y 是相互独立的，则由 X 与 Y 的 边缘分布可以唯一确定 X 与 Y 的联合分布. 4.答案：（A） 解：由问题的实际意义可知，随机事件Xi=与Yj=相互独立， 故 11 66 111 , , ,1,2,6 36 P Xi YjP Xi P Yji j C C =?； 66 11 11 ,6 366 kk XYXk YkP XYP Xk Yk = = ； 15 11 66 P XYP XY= = =； XYXYXY=， 而事件XY又可以分解为 15 个两两不相容的事件之和，即 ,1,2,6,1,2,3,4,5XYXk YkXk YkXk Yk=+=+=? 25 第 26 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 26 - 故 151517 3636612 P XYP XYP XYP XY=+=. 5.答案：（B） 解：当 22 1212 (, )(,)X YN时，),( 2 11 NX， 2 22 (,)YN ，且 X 和 Y 相互独立的充要条件是0=； 单由关于 S 和关于 T 的边缘分布， 一般来说是不能确定随机变量 S 和 T 的联合分布的. 6.答案：（C） 解： （方法 1） 首先证明一个结论， 若 2 ( ,)TN ， 则 2 (,)STN = . 证明过程如下（这里采用分布函数法来求ST= 的概率密度函数， 也 可以直接套用教材 64 页的定理结论（5.2）式）：由于 ( )111(), ST F sP SsPTsP TsP TsP TsFs= = = = 故 22 22 ()() 22 11 ( )() ( 1)(), 22 ss STT fsfsfsee = =这表明T 也服从正态分布，且 2 (,)STN = . 所以这里 2 22 (,)YN .再利用结论：若 1 X与 2 X相互独立，且 2 (,),1,2 iii XNi =，则 22 121212 (,)XXN +.便可得出 22 1212 (,)XYN +； 22 1212 (,)XYN +； 22 1212 2()(2,4)XYXYYN =+; 22 1212 2() (2,4)XYXXYN=+. （方法 2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的 线性组合仍然服从正态分布，且若 2 (,),1,2, iii XNin =?，则 26 第 27 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 27 - 22 111 (,) nnn iiiiii iii Yk XNkk = = 故 22 1212 (,)XYN +； 22 1212 (,)XYN +； )4,2(2 2 2 2 121 +NYX; 22 1212 2(2,4)XYN+. 7.答案：（A） 解：由于( 3,1)XN ，(2,1)YN，所以 1 3 (3) (0,1) 1 X ZXN + =+， 2 2 (2)(0,1) 1 Y ZYN =， 故 2 32 22(2)(0,( 2)1)(0,4)ZZYNN= = =， 而 13 ZZZ=+，所以(0,5)ZN. 8.答案：（D） 解：由联合概率密度函数的规范性知 444 000 4 0 1( , )sin()coscos() 4 sinsin()2121 4 f x y dxdyC dxxy dy Cxxdx CxxC =+=+ =+= =+ . 9.答案：（A） 解： 1 1( , ) x y P XYf x y dxdy + += 121 232 010 154165 ()() 363272 x dxxxy dyxxx dx =+=+= . 10.答案：（） 解：由联合概率密度函数的规范性知 (23 )23 0000 1( , )( 2 )( 3 )6. 66 xyxy AA f x y dxdyAdxedyedxedyA + + = 27 第 28 页东华理工大学20102011学年第2学期期末（B）试题 - 28 - 12.答案：（C） 解：用 D 表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域， 用 G 表示矩形域02,01xy，则所求的概率为 . 13.答案：（B） 解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服 从正态分布，且若 2 (,),1,2, iii XNin =?，则 22 111 (,). nnn iiiiii iii Yk XNkk = = 因此 2 22 12 11 111 () (,( )( ,) nn n ii XXXNN nnnn = += ?； 222 12 (,)(0,2)XXNN +=. 令 1 23ZX=+，由教材 64 页定理结论中的（5.2）式可知，Z 的 概 率 密 度 函 数 为 2 2 2 2 3 () (23) 2 2(2) 2 111 ( ). 222 (2 ) z z Z fzee +