直线与平面垂直

1 / 9 直线与平面垂直 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第三课时直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 （一）教学目标 1知识与技能 （ 1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （ 2）能运用性质定理解决一些简单问题； （ 3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系 . 2过程与方法 （ 1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； 3情感、态度与价值观 通过 “ 直观感知、操作确认、推理证明 ” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力 . （二）教学重点、难点 两个性质定理的证明 . （三）教学方法 学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化 . 教学过程教学内容师生互动设计意图 2 / 9 新课导入问题 1：判定直线和平面垂直的方法有几种？ 问题 2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？师投影问题 .学生思考、讨论问题，教师点出主题复习巩固以旧带新 探索新知一、直线与平面垂直的性质定理 1问题：已知直线 a、 b 和平面，如果，那么直 线 a、 b 一定平行吗？ 已知 求证： ba. 证明：假定 b 不平行于 a，设 =0 b 是经过 o 与直线 a 平行的直线 ab ， ba 即经过同一点 o 的两线 b、 b 都与垂直这是不可能的， 因此 ba. 2直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 简化为：线面垂直线线平行生：借助长方体模型 AA 、 BB 、cc 、 DD 所在直线都垂直于平面 ABcD，它们之间相互平行，所以结论成立 . 师：怎么证明呢？由于无法把两条直线 a、 b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也 无法应用公理 4，3 / 9 有这种情况下，我们采用 “ 反证法 ” 师生边分析边板书 . 借助模型教学，培养几何直观能力 .，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率 . 探索新知二、平面与平面平行的性质定理 1问题 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 2例 1 设， =cD， ABcD ， ABcD=B 求证 AB 证明：在内引直线 BEcD ，垂足为 B，则 ABE 是二面角的平面角 .由知， ABBE, 又 ABcD,BE 与 cD 是内的两条相交直线，所以 AB 3平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 简记为：面面垂直线面垂直 .教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题 生：借助长方体模型，在长方体 ABcD ABcD 中，面 AADD 面 ABcD， AAAD ， ABAA 4 / 9 AA 面 ABcD 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可 . 师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现 ABcD ，需找一条直线与 AB 垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与 AB垂直呢？ 生：在面内过 B 作 BEcD 即可 . 师：为什么呢？ 学生分析，教师板书 本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题 . 典例分析例 2 如图，已知平面，直线 a 满足，试判断直线a 与平面的位置关系 . 解：在内作垂直于与交线的直线 b， 因为，所以 因为，所以 ab. 又因为，所以 a. 即直线 a 与平面平行 . 例 3 设平面 平面，点 P 作平面的垂线 a，试判断直线 a 与平面的位置关系？ 证明：如图，设 =c，过点 P 在平面内作直线 bc ，根据平面与平面垂直的性质定理有 . 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线 a 与直5 / 9 线 b 垂合，因此 .师投影例 2 并读题 生：平行 师：证明线面平行一般策略是什么？ 生：转证线线平行 师：假设内一条直线 ba 则 b 与的位置关系如何？ 生：垂直 师：已知，怎样作直线 b？ 生：在内作 b 垂直于、的交线即可 . 学生写出证明过程，教师投影 . 师投影例 3 并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注 . 师：利用 “ 同一法 ” 证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点 .一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线 b 与直线 a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用 .巩固所学知识，训练化归能力 . 巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性 . 随堂练习 1判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“” 错误的画 “”. （ 1） a垂直于同一条直线的两个平面互相平行 .（ ） b垂直于同一个平面的两条直线互相平行 .（ ） 6 / 9 c一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直 .（ ） （ 2）已知直线 a， b 和平面，且 ab ， a ，则 b 与的位置关系是 . 答案： b 或 b. 2（ 1）下列命题中错误的是（ A） A如果平面 平面，那么平面内所有直线垂直于平面 . B如果平面 平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 . c如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 . D如果平面 平面，平面 平面，那么 . （ 2）已知两个平面垂直，下列命题（ B） 一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线 . 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 . 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 . 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 . 其中正确命题的个数是（） A 3B 2c 1D 0 3设直线 a， b 分别在正方体 ABcD ABcD 中两个7 / 9 不同的面所在平面内，欲使 ab ， a， b 应满足什么条件？ 答案：不相交，不异面 4已知平面，直线 a，且， a ， aAB ，试判断直线 a与直线的位置关系 . 答案：平行、相交或在平面内学生独立完成 巩固、所学知识 归纳总结 1直线和平面垂直的性质 2平面和平面垂直的性质 3面面垂直线面垂直线线垂 直学生归纳总结，教材再补充完善 .回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力 . 课后作业第三课时习案学生独立完成固化知识 提升能力 备选例题 例 1 把直角三角板 ABc 的直角边 Bc 放置桌面，另一条直角边 Ac 与桌面所在的平面垂直， a 是内一条直线，若斜边 AB与 a 垂直，则 Bc 是否与 a 垂直？ 【解析】 【评析】若 Bc与垂直，同理可得 AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “ 线线垂直 线面垂直 线线垂直 ” 8 / 9 例 2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线 垂直于第三个平面已知 r ， r ， =l ，求证： lr 【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面、垂直或由面面垂直的性质易在、内作出平面 r 的垂线，再设法证明 l 与其平行即可 【证明】法一：如图，设 r=a ， r=b ，在 r 内任取一点 P过点 P 在 r 内作直线 ma ， nb r ， r ， ma ， n （面面垂直的性质） 又 =l ， lm ， ln 又 mn=P ， m， nr lr 法二：如图，设 r=a ， r=b ，在内作 ma ，在内作 nb r ， r， mr ， n