直线和圆的位置关系_7

1 / 11 直线和圆的位置关系 教学目的 知识目标 1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，并会求圆的切线方程及与弦长等有关直线与圆的问题。 2.在解决直线与圆的位置关系的问题时 ,常通过 ” 数 ”与 ” 形 ” 的结合 ,充分利用圆心的几何性质、简化运算 .如利用圆心到直线的距离讨论直线与圆的位置关系 ,利用过切点的半径、弦心距及半径构成的三角形去解决与弦长有关的问题 . 能力目标培养数形结合的思想、多方位多渠道解决问题能力。 教学 重点与难点 重点：三种位置关系的判断方法、过一点的圆的切线的求法以及弦长问题的解决方法，即圆心到直线的距离在圆与直线关系问题中的运用。 难点：利用数形结合的思想分析问题、解决问题。 教学过程 : 一、课堂引入： 前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况） 2 / 11 (1)、判断直线 4x-3y=5与圆 x+y=25的位置关系 (2)、求圆 x+y=25 的过点 P(3,4)的切线方程 . (3)、求圆 x+y=25 的过点 P(5,4)的切线方程 . (4)、求圆 x+y=25 被直线 4x-3y-20=0 所截得的弦长。 （这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果） 二、知识梳理 : 提出问题 :直线与圆有几种位置关系 ,用什么方法来判断 ? 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式 来讨论位置关系 . 0，直线和圆相交 . =0 ，直线和圆相切 . 0，直线和圆相离 . 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 . d R，直线和圆相交 . d=R ，直线和圆相切 . d R，直线和圆相离 . 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程 .求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点3 / 11 两种情况 .先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。 1）若点 p（ x， y）在圆上，则圆 x+y=r：的切线方程为xx+yy=r,圆 (x-a)+(y-b)=r的切线方程为（ x-a）（ x-a） +（ y-b）（ y-b） =r 2）若点 p（ x0， y0）在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏） . 3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题 . (师生一起归纳 ,并由教师板书 ) 三、例题解析 : 例 1.(1).设 m0，则直线（ x+y） +1+m=0 与圆x2+y2=m(m 0)的位置关系为 A.相切 B.相交 c.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为 d=，圆半径为 . d r= =（ m 2+1） =（ 1） 20 ， 直线与圆的位置关系是相切或相离 . 答案： c (2).圆 x2 y2 4x+4y+6=0截直线 x y 5=0所得的弦长等于 4 / 11 解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为 2=. 答案： A (进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位 ) 例 2.已知圆满足截 .y 轴所得的弦长为 2; 被 x轴分两段弧 ,其弧长之比为此 3:1; 圆心到直线 :x-2y=0的距离为 .求该圆的方程 . 解 :设圆的方程为 :（ x a） 2（ y b） 2 r 则由条件 得=r(1) 又由 得 a+1=r(2) 又由 得 (3) 联立 (1(2)(3),解方程组得 a=-1,b=-1,r=或 a=1,b=1,r= 所求圆的方程为 :（ x+1） 2（ y+1） 2 2 或（ x-1） 2（ y-1）2 2 (这是早几年的一道高考题 ,在高考复习中经常作为典型例题来用 ,我的学生对第 (2)问的把握可能会有困难 ,因此 ,这一问要结合图形来分析解决 .由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪 ,因此 ,教师板书解题的整个过程 ,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对 ,常规方法入手 ,运算要快而准确 ) 例 3 已知圆 c：（ x 1） 2（ y 2） 2 25，直线 l：（ 2m+1）5 / 11 x+（ m+1） y 7m 4=0（ mR ） （ 1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （ 2）求直线被圆 c 截得的弦长最小时 l 的方程 . 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得 (先由学生思考 ,提出他们的解答方案 ,再由老师补充 :由含有一个参数的直线方程入手思考 ) （ 1）证明： l 的方程（ x+y 4） +m（ 2x+y 7） =0. 得 mR ， 2x+y 7=0， x=3， x+y 4=0， y=1， 即 l 恒过定点 A（ 3， 1） . 圆心 c（ 1， 2）， Ac 5（半径）， 点 A 在圆 c 内，从而直线 l 恒与圆 c 相交于两点 . （ 2）解：弦长最小时， lAc ，由 kAc， l 的方程为 2x y 5=0. 思悟小结 1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交 .判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 . 2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化 【例 4】已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为 A（ 1，6 / 11 2），要使过定点 A（ 1， 2）作圆的切线有两条 ，求 a 的取值范围 . 解：将圆的方程配方得（ x+） 2+（ y+1） 2=，圆心 c 的坐标为（， 1），半径 r=， 条件是 4 3a2 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即 . 化简得 a2+a+9 0. 由 4 3a2 0， a2+a+9 0， 解之得 a， aR. a . 故 a 的取值范围是（，） (确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节 ,此题的选择一方面是巩固本节课的内容 ,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一个分散处理 ) 四课堂小练 1.若圆（ x 3） 2（ y+5） 2 r2上有且只有两个点到直线4x 3y=2的距离等于 1，则半径 r 的范围是 () A.（ 4， 6） B. 4， 6） c.（ 4， 6 D. 4， 6 解析：数形结合法解 . 7 / 11 答案： A 2.（ XX 年春季北京）已知直线 ax+by+c=0（ abc0 ）与圆x2+y2=1 相切，则三条边长分别为 a、 b、 c的三角形 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 c.是钝角三角形 D.不存在 解析：由题意得 =1，即 c2=a2+b2， 由 a、 b、 c构成的三角形为直角三角形 . 答案： B 3.（ XX 年春季北京， 11）若圆 x2+y2+mx =0 与直线 y= 1相切，且其圆心在 y 轴的左侧，则 m 的值为 _. 解析：圆方程配方得（ x+） 2+y2=，圆心为（， 0） . 由条件知 0. 又圆与直线 y= 1 相切，则 0（ 1） =，即 m2=3， m=. 答案： 4.（ XX 年福建， 13）直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2 6x 2y15=0所截得的弦长等于 _. 解析：由 x2+y2 6x 2y 15=0，得（ x 3） 2+（ y 1） 2=25. 知圆心为（ 3， 1）， r=5. 由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0的距离 d=. 可得弦长为 2，弦长为 4. 答案： 4 8 / 11 5.自点 A（ 3， 3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与 圆 x2 y2 4x 4y 7 0 相切，求光线 l 所在直线的方程 . 解：圆（ x 2） 2（ y 2） 2 1 关于 x 轴的对称方程是（ x 2） 2（ y 2） 2 1. 设 l 方程为 y 3 k（ x 3），由于对称圆心（ 2， 2）到 l距离为圆的半径 1，从而可得 k1， k2故所求 l 的方程是 3x 4y 3 0 或 4x 3y 3 0. 6.已知 m（ x0， y0）是圆 x2+y2=r2（ r0）内异于圆心的一点，则直线 x0x+y0y=r2 与此圆有何种位置关系 ? 分析：比较圆心到直线的距离 与圆半径的大小 . 解：圆心 o（ 0， 0）到直线 x0x+y0y=r2的距离为 d=. P （ x0， y0）在圆内， r，故直线和圆相离 . (课堂练习由多媒体投影给出 ,学生练完后 ,打出正确答案和解答过程 ) 五课堂小结 1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定 . 2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与 圆相交时，弦长的计算也要用弦9 / 11 心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形 . 3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用 . 六课后作业 8.（文）求经过点 A（ 2， 4），且与直线 l： x+3y 26=0相切于（ 8， 6）的圆的方程 . 9.已知点 P 到两个定点 m（ 1， 0）、 N（ 1， 0）距离的比为，点 N 到直线 Pm的距离为 1，求直线 PN的方程 . 10.若直线 y=x+k 与曲线 x=恰有一个公共点 ,求 k 的取值范围 直线与圆的位置关系二 .例题解析一 .知识梳理 :例 1 例 41.直线和圆位置关系 :例 2 圆 (x-a)+(y-b)=r,直线 :Ax+By+c=0 方法一 : 方法二 :d=| d R，直线和圆相交 .例 3d=R ，直线和圆相切 . d R，直线和圆相离 .2.直线和圆相切 3.直线和圆相交小结 :二 .方法小结七板书设计 教学设计说明 1.教材分析 :这一章是解析几何的基础部分 ,其内容及方法在各类试题中均要涉及 ,是必须要牢牢掌握的 .试题可能以各种形式出现 .多以选择题形式出现 ,有时也有解答题 .即考查基础知识的应用能力又考查综合运用知识分析问题和解10 / 11 决问题的能力 .利用方程解决直线和圆的位置关系问题是解析几何的重点 ,也是直线与圆锥曲线关系的前奏 ,学好这一部分知识为后面的复习奠定基础扫清障碍 .作为复习课 ,是要在学生原有的基础上 ,通过对直线与圆位置知识的系统化 ,使学生对基础知识基本技能的掌握提高一步 .所以知识点归纳是本节课的一个重要环节 . 2.我所任教的班级是政治普通班 ,班里基本没有数学尖子生 ,班级平均分在多次模拟考试中以 70 到 80 分居多 ,相当一部分学生数学基础薄弱 ,缺乏对数学学习的信心和科学的 学习方法 .概括转化分析归纳等方面的能力比较欠缺 ,但是值得一提的学习优势是笔记认真 ,习惯记忆 ,针对这种特点 ,我在课前让学生阅读教材 ,自己归纳知识点 ,一方面加快上课节奏上课 ,另一方面通过比较使