矩形的判定教案

1 / 7 矩形的判定教案 20 2 矩形的判定 预习导航学案激活思维 1请你画一个矩形，并画出它们的对角线观察图形，你能说出它有哪些性质吗 ?试一试 2 _叫做矩形 3矩形的对边 _；四个角都是 _；对角线 _。 4 _的平行四边形是矩形对角线 _的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是 _形信息鼠标1 (略 )2有一个内角是直 角的平行四边形 3相等直角相等 4有一个角是直角相等矩 互动研学教练教材研学一。、矩形的性质回顾 1矩形的性质（ 1）矩形具有平行四边形的一切性质；（ 2）矩形对角线相等；（ 3）矩形的四个角都是直角；（ 4）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两对角线的交点 2矩形性质的图形说明如图20 2 1，在矩形 ABcD中，从边上看： ABcD ， AB=cD； ADBc ，AD=Bc从对角线上看： Ac=BD且 oA=oB=oc=oD。从角上看：ABc Bc D cDA DAB 90 老师：根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质 ?小弘：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半如：在 RtABc中， o 是斜边 Ac 的中点，则 Ac=2oB二、矩形的判定如图20 2 21利用定义判别平行四边形矩形 2利用对角线判2 / 7 别对角线相等的平行四边形是矩形；对角线平分且相等的四边形是矩形即： 在平行四边形 ABcD中，若 Ac=BD，则平行四边形 ABcD 是矩形； 在四边形 ABcD 中，若 Ac=BD，且oA oc、 oB=oD，则四边形 ABcD 是矩形 3利用角判别四个角是直角的四边形是矩形即：在四边形 ABcD中，若 A B c D 90 ，则四边形 ABcD是矩形实际证明中，只要证明出三个角为直角即可三、矩形的应用（ 1）用以证明线段相等或平分或倍数关系；（ 2）直角三角形两锐角互余；（ 3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（ 4）直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半；（ 5）证明两条直线垂直四、探究活动如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的 “ 友好矩形 ” 如 图 20一 2 3 ，矩形 ABEF即为 ABc的 “ 友好矩形 ” ，显然，当 ABc 是钝角三角形时，其 “ 友好矩形 ” 只有一个问题：仿着上述叙述，画出直角三角形的 “ 友好矩形 ” ，并比较这些矩形面积的大小分析：考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形，当以两条直角边为边作矩形时，这两个矩形重合，即为一个，所以直角三角形的 “ 友好矩形 ” 有两个探究：如图 20一 2 3 ，若 ABc为直角三角形，且 c=90 ，在图 20 2 3 中画出 ABc的所有 “ 友好矩形 ” ，此时共有 2 个矩形，如图 20 2 43 / 7 中的 BcAD、 ABEF；易知，矩 形 BcAD、 ABEF的面积等于 ABc面积的 2 倍， ABc 的 “ 友好矩形 ” 的面积相等结论：直角三角形有两个 “ 友好矩形 ” ，且这两个矩形的面积相等点石成金例 1如图 20 2 5 所示，在矩形 ABcD 中，对角线 Ac、 BD相交于点 o， AEBD 于 E，则（ 1）图中与 BAE相等的角有 _；（ 2）若 AoB=60 ，则 AB： BD_。图中 Doc 是 _三角形（按边分）解析：这是一道直接考查矩形特征的例题，在解答时，我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识，例如在寻找 与BAE 相等的角时，看清 BAE 的形成，即为过 A 作 AEBD所形成，则 BAE+EAD=90 ，而 ADB+EAD=90 ，故BAE=ADB 又因为 ADB=DBc=DAc ，由此找与 BAE相等的角就不难了；至于在第（ 2）问求 AB： BD的方法，可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论答案（ 1）ADB ， DBc ， AcB ， DAc （ 2） 1： 2 等边名师点金：找角时一定要找全，不能漏掉例 2如图 20 2 6 所示，在矩形 ABcD 中，对角线 Ac、 BD 相交于点 o，已知 Ac=6om，Boc=120 求：（ 1） AcB 的度数；（ 2）求 AB、 Bc 的长度分析：本题是对矩形性质的考查（ 1）要求 AcB 的度数，而已知 Boc 120 ， Boc 中，由矩形的性质，知 oB oc，从而 oBc=AcB 由此可求出 AcB （ 2）在 RtAcB 中，对角线 Ac=6cm，第（ 1）问已求出 AcB=30 ，因此 AB即可4 / 7 求出然后利用勾股定理求出 Bc 的长解：（ 1）在矩形 ABcD中，对角线 Ac与 BD互相平分且相等，于是 oB=oc，所以 oBc AcB ，故 AcB （ 180 一 120 ） 30 （ 2）矩形ABcD 中， ABc=90 ，又 AcB=30 ，因此 30 角所对直角边 AB 等于斜边 Ac 的一半，即 AB Ac 3cm， Bc（ cm）名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决例 3已知 ABcD 的对角线 Ac， BD 相交于 o， ABo 是等边三角形， AB 4cm，求这个平行四边形的面积（图 20 一 2 71 )分析：（ 1）先判定 ABcD 为矩形。（ 2）求出 RtABc 的直角边 Bc 的长。（ 3）计算 S ABBc解： 四边形 ABcD是平行四边形。 ABoDco 又 ABo是等边三角形 Dco 也是等边三角形，即 Ao Bo coDoAc BDABcD 为矩形。在 RtABc 中， BAc 60 ，ABc 90Bc AB，即 Bc 4cmSABcD ABAc 16cm2名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算例 4 (1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的 “ 友好平行四边形 ” (2)若 ABc 为锐角三角形，且 BcAcAB，在图 20一 2 8中画出 ABc 的所有 “ 友好矩形 ” ，指出其中周长最小的矩形并加以证明 .分析：用类比联想的方法先构造出每一种情况下三角 形的 “ 友好矩形 ” ，根据矩形的边和面积与其三角形的边和面积之间的关系，寻找其周长与面积解： (1)如果一个三角形和一个平5 / 7 行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的 “ 友好平行四边形 ” (2)此时共有 3 个 “ 友好矩形 ” ，如图 20 2 9 中矩形 BcDE，cAFG及 ABHk，其中矩形 ABHk的周长最小证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为 s设矩形 BcDE、 cAFG 及ABHk的周长分别为 L1、 L2、 L3， ABc 的边长 Bc a， cAb， AB c，则 L1 2aL2 2b， L3 2c。 2（ a b）而 a b， L1 L2 0，即 L1 L2。同理可得 L2 L3L3的周长最小，即矩形 ABHk 的周长最小。名师点金：在阅读理解的基础上，先画出图形，确定好每一种情形，利于进一步求解。 同步升级演练基础巩固题 1下列命题中错误的是（） A有三个角是直角的四边形是矩形 B两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 c对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形2如图 20 2 10，在矩形 ABcD 中， E 是 Bc 上的点，且AED=90 ， BAE=30 ， AE 4，则矩形 ABcD 的周长为()A 8+2B 16+4c 8+4D 16+23下列条件： 已知矩形的边和一条对角线长； 已知矩形一条对角线长和对角线的夹角； 已知矩形一边的长和对角线的夹角； 已知矩形的周 长 能 确 定 矩 形 的 形 状 和 大 小 的 条 件 是()A B c D 4 矩形的两条对角线6 / 7 所夹的钝角为 120 ，短边长为 5cm，则其对角线长为_ 5如图 20 2 11，在矩形 ABcD中，作 AEBD于 E，且 DAE ： BAE =3： 1，求 cAE 的度数探究提高题6把矩形 ABcD 绕顶点 A 旋转 90 后得到矩形 AEFG(如图19 2 12)，连接 AF、 Ac、 cF，则 AFc _。 7现有一张长为 40cm，宽为 20cm 的长方形纸片，要从中剪出长为 18cm，宽为 12cm的长方形纸片，则最多能剪拼 _张 8如图 20 2 13，工人师傅做铝合金窗框分下面 j 个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗 (如图 ) 使AB=cD、 EF=GH； (2)摆放成 (如图 ) 的四边形，则这时窗框的形状是 _，根据的数 学道理是 _； (3)将直角尺靠紧窗框的一个角 (如图 ) 调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时 (如图 ) ，说明窗框合格这时窗框是 _，根据的数学道理是： _9已知：如图 20 2 14，正方形 ABcD的边长 8， m 在 Dc上，且Dm=2， N 是 Ac 上的一动点，则 DN+mN 的最小值为_ 10如图 20 2 15a，正方形 ABcD 和正方形BEFc操作： m是线段 AB上一动点，从 A点至 B点移动， DmmN ，交对角线 BF于点 m 求： (1)线段 Dm和 mN之间的关系，并加以证明； (2)如图 b，当 m 是线段 AE延长线上一动点， DmmN ，交对角线 BF延长线于点 N，探究线段 Dm和 mN之间的关系，直接写出结果不必证明拓展延伸题 11如图 20一 2 16，7 / 7 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图 形式，使点 B、 F、 c、 D 在同一条直线上 (1)求证： ABED ； (2)若 PB Bc，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明中考模拟题12（ XX 黑龙江鸡西）如图 20 2 17，在矩形 A