《随机信号分析》赵淑清郑薇哈尔滨工业大学出版社课后答案.pdf

第一次作业：练习一之 1、2、3 题 1.1 离散随机变量 X 由 0，1，2，3 四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四 个样本的取值概率顺序为 1/2，1/4，1/8，和 1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875. 0 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 0)( 4 1 =+= = i i i xXPxXE 8 1 ) 8 7 3( 8 1 ) 8 7 2( 4 1 ) 8 7 1 ( 2 1 ) 8 7 0()( 222 4 1 22 += =i ii PXExXD 109. 1 64 71 = 1.2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 + = 21 201)( 2 sin0.5 00 )( x xx x xF 求（1）系数A； （2）X取值在（0.5，1）内的概率) 15 . 0( xP。 解： = 其他0 201)( 2 cos 2 )( )( xxA dx xdF xf 由 1)(= dxxf 得 2A 0 2 1)( 2 Asin1)d( 2 cos 2 = xxxA 2 1 A = 35. 0 4 2 )15 . 0( 2 sin 2 1 )11 ( 2 sin 2 1 )5 . 0(F) 1 (F) 15 . 0(= =xP 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求 其概率密度。 （1） = 00 0e1 )( 2 x x xF x （2） =aaxu a xa xu a x xF 课后答案网 课后答案网 解： （1） = 00 0e1 )( 2 x x xF x 当时，对于，有，是单调非减函数； 0x 12 xx )()( 12 xFxF)(xF 1)(0xF成立； )()(xFxF= + 也成立。 所以，是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF 求得， = 00 0 2 1 )( )( 2 x xe dx xdF xf x （2） =aaxuxu a x xF 上式可改写为0 0 0)()( )( )()( 12 xFxF 所以，不是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF （4）0)()()( =aaxu a xa xu a x xF 0)()()(+=aaxuaxuxu a x 0 1 2 0 1 00 =a xax a axx a x 当xa 时，不满足1)(0xF，所以不是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF 课后答案网 课后答案网 第二次作业：练习一之 4、5、6、7 题 1.4 随机变量 X 在，上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X 在，上均匀分布 = 其他 下 0 1 )(xf + = = 2 dd )(E - x x xxxfX )2( 3 1 dd )(E 22 2 - 22 += = x x xxfxX 222 - 2 )( 12 1 )XE(XEd )()XE(D= xxfxX 1.5 设随机变量 X 的概率密度为，求 Y=5X+1 的概率密度函 数。 = 其他0 101 )( x xfX 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 h(y) = 1/5 1y6 fY (y) = fX (h(y)h(y)= 1 1/5 = 1/5 于是有 = 其他0 615/1 )( y yfY 1.6 设随机变量上均匀分布，且互相独立。若,求 b, a , 21 在 n XXX = = n 1i i XY （1）n=2 时，随机变量 Y 的概率密度。 （2）n=3 时，随机变量 Y 的概率密度。 解：ni bxa ab xf ii , 2 , 1 0 1 )( = = 其它 n=2 时， )()()( 21 yfyfyf XXY = 111 )()()( 21 dxxyfxfyf XXY = = b a dx abab 1 11 ab = 1 课后答案网 课后答案网 同理，n=3 时，)(yfY ab = 1 1.7 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 m 和， 求随机变量的数学期 望、方差及 X 和 Y 的相关矩。 23=XY 解：数学期望： 23=mYE 方差： =90)3( 2 YD 23)23( 2 XXEXXEXYERXY= 222 )(mXEXDXE+=+= 相关矩： mmRXY233 2 = 课后答案网 课后答案网 第三次作业：练习一之 9、10、11 题 1.9 随机变量 X 和 Y 分别在0,a和0, 2 上均匀分布，且互相独立。对于，证明： ab a b YbxP 2 )cos(= 证：rv. X 和 Y 分别在0,a和0, 2 上均匀分布 有 = 其它0 0 1 )( ax a Xf 和 = 其它0 2 0 2 )( y Yf 2 0 cos0 cos cos y ybx abyb Ybx Ybxcos ) 2 0 ,cos0()cos( =yybxpybxp = 2/ 0 cos 0 ),( yb dxdyyxfdy = 2/ 0 cos 0 )()( yb dxdyyfxfdy 因为 rv. X 和 Y 相互独立 = 2/ 0 cos 0 21 yb dxdy a dy = 2/ 0 cos 2 ydy a b a b 2 = 命题得证 1.10 已知二维随机变量 （） 的联合概率密度为， 随机变量 （） 与随机变量（）的关系由下式唯一确定 21,X X),( 21 21 xxf XX21,X X 21,Y Y += += 21112 21111 YdYcX YbYaX += += 212 211 dXcXY bXaXY 证明： （）的联合概率密度为 21,Y Y ),( 1 ),( 2111211121 2121 ydycybyaf bcad yyf XXYY + = 课后答案网 课后答案网 证：做由到的二维变换 ),( 21 21 yyf YY ),( 21 21 xxf XX ),( 21 21 xxf XX =J),( 21 21 yyf YY ),( 21 21 yyf YY = J 1 ),( 21 21 xxf XX bcad dc ba x y x y x y x y J= = 2 2 1 2 2 1 1 1 ),( 1 ),( 2111211121 2121 ydycybyaf bcad yyf XXYY + = 1.11 随机变量 X,Y 的联合概率密度为 2 ,0)sin(),( +=yxyxAyxfXY 求： （1）系数 A； （2）X,Y 的数学期望； （3）X,Y 的方差； （4）X,Y 的相关矩及相关 系数。 解： （1） +=+= 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sincoscossin)sin(),( ydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY 12=A 2 1 =A （2）ydyxydyxdyyxdyyxfxf XYX sincos 2 1 cossin 2 1 )sin( 2 1 ),()( 2 0 2 0 2 0 +=+= )cos(sin 2 1 xx += 同理 )cos(sin 2 1 )(yyxfY+= +=+=+= 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 )cos(sin 2 1 yydyydydyyydyydyyyymm YX += 2 0 2 0 sin 2 1 0 2 sin 2 1 cos 2 1 0 2 cos 2 1 ydyyyydyyy 4 = （3） +=+= 2 0 2 0 22 ) 4 cos() 4 ( 2 2 )cos(sin 2 1 ) 4 ( ydydyyyyYDXD 课后答案网 课后答案网 dyyyyy += 2 0 2 ) 4 cos() 4 (2 2 2 0 2 ) 4 cos() 4 ( 2 2 += 2 0 2 ) 4 sin() 4 (2 16 ydy ydyyy += 2 0 2 ) 4 sin(2 0 2 ) 4 sin() 4 (2 16 2 216 2 += （4）相关矩 =+= 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 )sin( 2 1 ),( dxdyyxxydxdyyxxyfXYER XYXY 协方差1 162 2 = YEXERC XYXY 相关系数 328 168 2 2 + + = YX XY XY C r 课后答案网 课后答案网 第四次作业：练习一之 12、13、14、15 题 1.12 求随机变量 X 的特征函数，已知随机变量 X 的概率密度 02)(= xexf x X 解： =dxexf xj XX )()( =dxeetu xjx )(2 利用傅氏变换： j etu t + 1 )( j X = 2 )( 1.13 已知随机变量 X 服从柯西分布 22 1 )( x xfX + = ，求他的特征函数。 解： =dxexf xj XX )()( + =dxe x xj 22 2 2 1 利用傅氏变换： + e x 2 22 = eX)( 1.14 求概率密度为 x X exf = 2 1 )(的随机变量 X 的特征函数。 解： =dxexf xj XX )()( =dxee xj x 2 1 利用傅氏变换： x e + 2 22 2 1 1 )( + = X 1.15 已知相互独立的随机变量X1，X2，X3，Xn的特征函数，求X1，X2，X3， Xn线性组合的特征函数。a = += n i ii cXaY 1 i和c是常数。 解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。 )(exp)( 11 = =+= n i Xajcj n i iiY ii eEecXajE 课后答案网 课后答案网 第五次作业：练习二之 1、2、3、4、5 题 2.1 随机过程tBtAtXsincos)(+=，其中为常数，A、B 是两个相互独立的高斯变量，并且 ，。求 X(t)的数学期望和自相关函数。 0=BEAE 222 =BEAE 解： sincossincos)(tBEtAEtBtAEtXE+=+= tBEtAEsincos+= 0= （0=BEAE） )sincos)(sincos()()(),( 22112121 tBtAtBtAEtXtXEttRX+= sinsincossinsincoscoscos 21 2 212121 2 ttBttABttABttAE+= 21 2 212121 2 sinsincossinsincoscoscosttBEttBEAEttBEAEttAE+= 21 2 21 2 sinsincoscosttBEttAE+= （） 22 )(XEXDXE+= )(cos 12 2 tt = )(cos 2 = （ 12 tt =） 2.2 若随机过程 X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。 证： 由均方连续的定义0)()(lim 2 0 =+ tXttXE t ， 展开左式为： )()()()()()(lim 22 0 tXtXttXtXttXttXE t + =0)()()()()()(lim 0 =+ tXttXtXEtXttXttXE t 固有，证得数学期望连续。 0)()(lim 0 =+ tXEttXE t 2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数 21 21 21 2 ),( tt tt ttR = 。 证： 1 21211 0 1 21211 0 1 21 )()()()( lim ),(),( lim ),( 11t tXtXEtXttXE t ttRtttR t ttR t X t + = + = 1 1112 0 1 21211 0 )()()( lim )()()()( lim 11t tXttXtXE t tXtXtXttXE tt + = + = 21 111211122 0, 0 21 21 2 )()()()()()( lim ),( 21tt tXttXtXEtXttXttXE tt ttR tt + = )()()()( lim 21 111222 0, 0 21tt tXttXtXttX E tt + = 在 21 tt =时存在， 也就是 )()( lim 2 0 t tXttX E t + 存在。 2.4 判断随机过程)cos()(tAtX+=是否平稳？其中为常数，A、分别为均匀分布和瑞利分 布的随机变量，且相互独立。 20 2 1 )(= ae a af a A 课后答案网 课后答案网 解： 0 2 1 )cos()cos( 2 0 =+=+ dttE 0)cos()cos()(=+=+=tEAEtAEtXE cos)22cos( 2 1 )(cos)cos(),( 22 +=+=+tEAEttAEttRX cos 2 1 2 AE= 与时间的起点无关，且 )( 2 tXE 因此，是广义平稳的随机过程。 2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A、B 构成的随机过程 tBtAtX 00 sincos)(+= 是宽平稳而不一定是严平稳的。其中t 0 为常数，A、B 的数学期望为零，方差相同。 2 证：0sincos)( 00 =+=tBEtAEtXE )(sin)(cos)(sincos(),( 0000 +=+tBtAtBtAEttRX )(sinsin)(cossin)(sincos)(coscos 00 2 000000 2 +=ttBttABttABttAE 200 2 000000 2 )(sinsin )(cossin)(sincos)(coscos + += ttBE ttBEAEttBEAEttAE )(sinsin)(coscos 00 2 00 2 +=ttBEttAE （） 22 )(XEXDXE+= 0 2 cos= )( 2 tXE 因此，是广义平稳的随机过程。 )sincos)(sincos)(sincos(),( 303020201010321 tBtAtBtAtBtAEtttRX+= )sincos)(sinsincossinsincoscoscos( 30302010 2 201020102010 2 tBtAttBttABttABttAE+= sin)sinsincossinsincoscoscos( cos)sinsincossinsincoscoscos( 302010 3 2010 2 2010 2 2010 2 302010 2 2010 2 2010 2 2010 3 tttBttABttABttBAE tttABttBAttBAttAE + += sinsinsincoscoscos 302010 3 302010 3 tttBEtttAE+= 可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 课后答案网 课后答案网 第六次作业：练习二之 6、7、8、9、10 题 2.6 有三个样本函数ttxttxtxsin3)(,cos2)(, 2)( 321 =组成的随机过程，每个样 本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？ )(tX 解：sin3 ,cos2 , 2)(),(),()( 321 tttxtxtxtX= 3 1 321 =PPP = += 3 1 )sin3cos22( 3 1 )()( i ii ttPtxtXE 由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳 或宽平稳的条件。 2.7 已知随机过程)cos()(tAtX+=，为在2 , 0内均匀分布的随机变量，A 可能 是常数、时间函数或随机变量。A 满足什么条件时，是各态历经过程？ )(tX 解： （1）考查为平稳过程的条件 )(tX 在 A 为常数或与不相关的随机变量时，满足 )(cos)cos()()(),( 0)( 2 ttAEtXtXEttR tXE X +=+=+ = cos)22cos( 2 1 2 EtEAE+= cos 2 1 2 AE= )( X R= （2）考查为各态历经过程的条件 )(tX 在 A 为常数或与不相关的随机变量时，满足 )(coslim)cos( 2 1 lim)( 2 1 lim)(tXE0Tsin T A dttA T dttX T tX T T T T T T T =+= 而 +=+=+ T T T T T T dtttA T dttXtX T tXtX)(cos)cos( 2 1 lim)()( 2 1 lim)()( 2 += T T T dtt A T cos)22cos( 22 1 lim 2 cos 2 2 A = 只有在 A 为常数时，满足=+ )()(tXtX)( X R。 欲使是各态历经过程，A 必为常数。 )(tX 2.8 设和是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？ )(tX)(tY 解：令)()()(tYtXtZ= YXm mtYEtXEtYtXEtZE=)()()()()( )()()()()()()( )()()()(),( ZYX Z RRRtYtYEtXtXE tYtXtYtXEttR =+= +=+ 又 =)()()( 222 tYtXEtZE 课后答案网 课后答案网 )(tX和的乘积是平稳的。 )(tY 2.9 求用自相关函数及功率谱密度表示的)(tX)cos()()( 0 ttXtY+=的自相关函数及 功率谱密度。其中，为在2 , 0内均匀分布的随机变量，是与相互独立的随 机过程。 )(tX 解：)(cos)()cos()()()(),( 00 ttXttXEtYtYEttRY+=+=+ )(cos)cos()()( 00 ttEtXtXE+= 0 cos)( 2 1 X R= )( Y R= )()( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 cos)( 2 1 )()( 00 )()( 0 00 00 += += += = + XX jj X jjj X j X j YY SS deeR deeeR deRdeRS 2.10 平稳高斯过程的自相关函数为)(tX =eRX 2 1 )(，求的一维和二维概率密 度。 )(tX 解：0 2 1 lim)(lim)( 2 = eRRm XXX 0= X m 2 1 )()0( 2 = XXX RR （1）的一维概率密度： )(tX 2 2 1 2 1 2 1 ),( 2 1 2 x x X eetxf = = （2）平稳高斯过程 n 维概率密度等于 n 个以为概率密度的乘积。 2 2 2121 1 ),;,( x X ettxxf = 课后答案网 课后答案网 第七次作业：练习二之 11、12、13、14、15 题 2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程和，已知，说明下列 函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。 )(tX)(tY10, 5 22 = YX 3 3 )(5)()5( 46)()3( )6cos()() 1 ( 2 = += = euR eR eR X Y Y = = = eR R R X X Y 5)()6( )5sin(5)()4( 3 )3sin( 5)()2( 2 解： （a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b）)()0( XX RR， （a）中仅有(2)、(3)、(6)满足； （c）对于非周期平稳过程有， （b）中仅有(6)满足。 )()0( 2 = XXX RR 因此，(6)是自相关函数。 2.12 求随机相位正弦信号)cos()( 0 ttX+=的功率谱密度，为在2 , 0内均匀分布 的随机变量， 0 是常数。 解： 0 00 cos 2 1 )(cos)cos()()(),( = +=+=+ttEtXtXEttRX )()( 2 cos 2 1 )()( 00 0 += = dedeRS jj XX 2.13 已知随机过程，式中是常数，是平稳过程，并且相互之 间是正交的，若 = = n i ii tXatX 1 )()( i a)(tXi )( Xi S表示的功率普密度，证明功率谱密度为 )(tXi)(tX )()( 1 2 Xi n i iX SaS = = 证：因是平稳过程，并且相互之间是正交的，)(tXijiRij= , 0)(。 )()()()()( 11 = +=+= n i ii n i iiX tXatXaEtXtXER )()()( 1 2 1 2 Xi n i iii n i i RatXtXEa = =+= )()()()( 1 2 1 2 Xi n i i j Xi n i i j XX SadeRadeRS = = = 2.14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程)(tX)(tYttYttXtV 00 sin)(cos)()(+= （1）和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程。 )(tX)(tY)(tV （2） 将 （1） 的结果用到， 求以和的功率谱密度和互谱密度表示的的 功率谱密度。 )(tV)(tX)(tY)(tV （3）如果和不相关，那么的功率谱密度是什么？ )(tX)(tY)(tV 课后答案网 课后答案网 解： （1）ttYEttXEttYttXEtVE 0000 sin)(cos)(sin)(cos)()(+=+= 欲使与时间无关，不随时间函数)(tVEt 0 cos、 0 sint变化，和的数学 期望必须是 )(tX)(tY 0)(, 0)(=tYEtXE； )(sinsin)()(cossin)( )(sincos)()(coscos)( )(sinsin)()()(cossin)()( )(sincos)()()(coscos)()( )(sin)()(cos)(sin)(cos)( )()(),( 0000 0000 0000 0000 0000 + += + += += +=+ ttRttR ttRttR tttYtYEtttXtYE tttYtXEtttXtXE ttYttXttYttXE tVtVEttR YYX XYX V 在)()(),()( YXXYYX RRRR=时，上式可写作与时间起点无关的表达式： 00 sin)(cos)()( XYXV RRR+= 因此，当0)(, 0)(=tYEtXE，)()(),()( YXXYYX RRRR=时，是平稳 过程。 )(tV （2）对 00 sin)(cos)()( XYXV RRR+=两边同时作傅氏变换： )()( 2 1 )()( 2 1 sin)(cos)()()( 0000 00 += += XYXYXX j XYX j VV SSSS deRRdeRS （3）和不相关，的互功率谱密度为零。 )(tX)(tY)(tV )()( 2 1 )( 00 += XXV SSS 2.15 设两个随机过程和各是平稳的，且联合平稳 )(tX)(tY )sin()( )cos()( 0 0 ttY ttX += += 式中，为在2 , 0内均匀分布的随机变量， 0 是常数。他们是否不相关、正交、统 计独立。 解：0)()(=tYEtXE 0 cos 2 1 )()(= YX RR 000 sin 2 1 sin(cos()()()(=+=+=)t)tEtYtXERXY 0sin 2 1 )()()()( 0 =tYEtXERC XYXY )(tX和是相关的，不是统计独立的； )(tY 又0)( XY R，和是非正交的。 )(tX)(tY 课后答案网 课后答案网 第八次作业：练习三之 1、2、3、4、5 题 3.1 RC 积分电路的输入电压为)cos()( 00 +=tXtX，其中和分别是在0，1 和0， 0 X 2上均匀分布的随机变量，且相互独立。求输出电压 Y(t)的自相关函数。 解：)cos()cos()()()( 00000 +=+=tXtXEtXtXERX )cos()cos()cos()cos( 00000000 2 0 +=tttXtXXE )sin()sin()cos()cos()cos()cos(00 000000 2 0 +=ttttEXE )sin(0sin)(2sin 2 1 )cos(0cos)(2cos 2 1 0000 2 0 +=tEtEXE 0cos 2 1 3 1 += RC 积分电路的 RCj H 1 ,)(= + = d eRS j XX =)()( =)()( 2 1 )( 3 2 00 + )()( 2 1 )( 3 2 )()()( 00 22 2 2 + + = XY SHS d eSR j YY =)( 2 1 )( 00 2 0 2 2 2 0 2 2 4 1 4 1 3 1 jj ee + + + += 0 2 0 2 2 cos 2 1 3 1 + += 3.2 若图示系统的输入 X(t)为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。 解：)()()()()()()(+=+=TtXtXTtXtXEtYtYERY )()()(2TRTRR XXX += deTRTRRdeRS j XXX j YY +=)()()(2)()( Tj X Tj XX eSeSS )()()(2+= )()cos1 (2 X ST+= 3.3 冲激响应为和的两个系统并联，求、和 X(t)的自相关函数表示 的和的互相关函数。 )( 1 th)( 2 th)( 1 th)( 2 th )( 1 tY)( 2 tY 解：设 X(t)为平稳过程，和为线性时不变系统，有 )( 1 th)( 2 th )()()()()()(),( 212221112121 ddhtXhtXEtYtYEttR YY +=+=+ 21221121 )()()(ddhhRX += 课后答案网 课后答案网 )()()( 21 hhRX= 3.4 随机过程 X(t)作用到脉冲响应为和的串联系统。求、和 X(t)的 自相关函数表示的和的互相关函数。 )( 1 th)( 2 th)( 1 th)( 2 th )( 1 tY)( 2 tY 解：设 X(t)为平稳过程，和为线性时不变系统，有 )( 1 th)( 2 th )()()()( 111 hhRR XY = )()()()()()()( 2112121 hhhRhRR XYYY = 3.5 功率谱密度为的白噪声作用到2/ 0 N2)0(=H的低通网络，它的等效噪声带宽为 2MHz。若在 1 欧姆电阻上噪声输出平均功率是 0.1W，是多少？ 0 N 解：设为 e 等效噪声带宽，低通系统输出的平均功率为 0 6 0 6 2 0 104 4 2 102 )0( 2 )0(N N H N R e Y = = = = = HzWN/10 4104 1 . 0 7 6 0 课后答案网 课后答案网 1.1 离散随机变量 X 由 0，1，2，3 四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概 率顺序为 1/2，1/4，1/8，和 1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875. 0 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 0)( 4 1 =+= = i i i xXPxXE 8 1 ) 8 7 3( 8 1 ) 8 7 2( 4 1 ) 8 7 1 ( 2 1 ) 8 7 0()( 222 4 1 22 += =i ii PXExXD 109. 1 64 71 = 1.2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 + = 21 201)( 2 sin0.5 00 )( x xx x xF 求（1）系数A； （2）X取值在（0.5，1）内的概率) 15 . 0( xP。 解： = 其他0 201)( 2 cos 2 )( )( xxA dx xdF xf 由 1)(= dxxf 得 2A 0 2 1)( 2 Asin1)d( 2 cos 2 = xxxA 2 1 A = 35. 0 4 2 )15 . 0( 2 sin 2 1 )11 ( 2 sin 2 1 )5 . 0(F) 1 (F) 15 . 0(= =xP 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。 （1） = 00 0e1 )( 2 x x xF x （2） =aaxu a xa xu a x xF 解： （1） = 00 0e1 )( 2 x x xF x 当时，对于，有，是单调非减函数； 0x 12 xx )()( 12 xFxF)(xF 1)(0xF成立； )()(xFxF= + 也成立。 所以，是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF 求得， = 00 0 2 1 )( )( 2 x xe dx xdF xf x 课后答案网 课后答案网 （2） =aaxuxu a x xF 上式可改写为0 0 0)()( )( )()( 12 xFxF 所以，不是连续随机变量的概率分布函数。 )(xF （4）0)()()( =aaxu a xa xu a x xF 0)()()(+=aaxuaxuxu a x 0 1 2 0 1 00 =a xax a axx a x 当xa 时，不满足，所以不是连续随机变量的概率分布函数。 1)(0xF)(xF 1.4 随机变量X在，上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X在，上均匀分布 = 其他 下 0 1 )(xf + = = 2 dd )(E - x x xxxfX )2( 3 1 dd )(E 22 2 - 22 += = x x xxfxX 222 - 2 )( 12 1 )XE(XEd )()XE(D= xxfxX 课后答案网 课后答案网 1.5 设随机变量 X 的概率密度为，求 Y=5X+1 的概率密度函数。 = 其他0 101 )( x xfX 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 h(y) = 1/5 1y6 fY (y) = fX (h(y)h(y)= 1 1/5 = 1/5 于是有 = 其他0 615/1 )( y yfY 1.7 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 m 和，求随机变量23=XY的数学期望、方差及 X 和 Y 的相关矩。 解：数学期望： 23=mYE 方差： =90)3( 2 YD 23)23( 2 XXEXXEXYERXY= 222 )(mXEXDXE+=+= 相关矩： mmRXY233 2 = 1.11 随机变量X,Y的联合概率密度为 2 ,0)sin(),( +=yxyxAyxfXY 求： （1）系数A； （2）X,Y的数学期望； （3）X,Y的方差； （4）X,Y的相关矩及相关系数。 解： （1） +=+= 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sincoscossin)sin(),( ydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY 12=A 2 1 =A （2）ydyxydyxdyyxdyyxfxf XYX sincos 2 1 cossin 2 1 )sin( 2 1 ),()( 2 0 2 0 2 0 +=+= )cos(sin 2 1 xx += 同理 )cos(sin 2 1 )(yyxfY+= +=+=+= 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 )cos(sin 2 1 yydyydydyyydyydyyyymm YX += 2 0 2 0 sin 2 1 0 2 sin 2 1 cos 2 1 0 2 cos 2 1 ydyyyydyyy 4 = （3） +=+= 2 0 2 0 22 ) 4 cos() 4 ( 2 2 )cos(sin 2 1 ) 4 ( ydydyyyyYDXD 课后答案网 课后答案网 dyyyyy += 2 0 2 ) 4 cos() 4 (2 2 2 0 2 ) 4 cos() 4 ( 2 2 += 2 0 2 ) 4 sin() 4 (2 16 ydy ydyyy += 2 0 2 ) 4 sin(2 0 2 ) 4 sin() 4 (2 16 2 216 2 += （4）相关矩 =+= 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 )sin( 2 1 ),( dxdyyxxydxdyyxxyfXYER XYXY 协方差1 162 2 = YEXERC XYXY 相关系数 328 168 2 2 + + = YX XY XY C r 1.14 求概率密度为 x X exf = 2 1 )(的随机变量X的特征函数。 解： =dxexf xj XX )()( =dxee xj x 2 1 利用傅氏变换： x e + 2 22 2 1 1 )( + = X 2.1 随机过程tBtAtXsincos)(+=，其中为常数，A、B是两个相互独立的高斯变量，并且 ，。求X(t)的数学期望和自相关函数。 0=BEAE 222 =BEAE 解： sincossincos)(tBEtAEtBtAEtXE+=+= tBEtAEsincos+= 0= （） 0=BEAE )sincos)(sincos()()(),( 22112121 tBtAtBtAEtXtXEttRX+= sinsincossins