高中数学等差数列习题课课件新人教B版必修.ppt

习题课等差数列习题课,一,二,一、等差数列的概念【问题思考】填空:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.,一,二,二、等差数列的前n项和公式【问题思考】1.填空:,一,二,2.如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?,只有当c=0时,a1=a+b+c才满足an=2an-a+b.因此,当数列的前n项和公式为Sn=an2+bn时,所确定的数列才是等差数列,这时,等差数列的公差d=2a.,一,二,3.做一做:设an为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=.解析:由S10=S11,得a11=0,即a1+10d=0,由于d=-2,所以a1=20.答案:20,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,等差数列的基本运算【例1】(1)已知数列an中,a1=-7,an+1=an+2,则a1+a2+a17=.(2)已知数列an中,a1=-7,a2=3,an+2=an+2,则S100=.解析:(1)由a1=-7,an+1=an+2,得an+1-an=2,则a1,a2,a17是以-7为首项,公差为2的等差数列,(2)由a1=-7,an+2=an+2,可得an+2-an=2,故a1,a3,a5,a7,a99是以-7为首项,公差为2的等差数列,共50项.,同理,a2,a4,a6,a100是以3为首项,公差为2的等差数列,共50项.,故S100=2100+2600=4700.答案:(1)153(2)4700,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,反思感悟由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”,“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.这种求解思路常称为“基本量法”.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,已知Sn求an【例2】已知数列an中,an0,Sn是数列an的前n项和,且an+=2Sn,求an.思路分析:由条件中的等式赋值n=1,即可求得a1;由an=Sn-Sn-1(n2)这一关系可得出数列中项之间的关系,即可求得an(n2),再验证当n=1时a1是否成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,反思感悟an=Sn-Sn-1并非对所有的nN+都成立,而只对n2的正整数成立.由Sn求通项公式an时,要分n=1和n2两种情况,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,特殊数列的求和问题【例3】已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;,思路分析:(1)设出公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)先由(1)求出bn的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,解:(1)设等差数列an的公差为d,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,反思感悟1.等差数列各项取绝对值后组成的数列|an|的前n项和,可分为以下情形:(1)等差数列an的各项都为非负数,这种情形中数列|an|就等于数列an,可以直接求解.(2)在等差数列an中,a10,d0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列an分成两段处理.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,变式训练3在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,等差数列前n项和中的最值问题【例4】已知在等差数列an中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22.(1)求Sn;(2)这个数列前多少项的和最大?求出这个最大值.解:(1)S10=a1+a2+a10,S22=a1+a2+a22,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,等差数列中的给和求和问题【典例】等差数列an的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28.解法一:设an的公差为d,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,方法点睛解决此类问题最基本的方法是用定义法求出a1和d,此种方法应熟练掌握,但结合题意灵活应用等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路.有时可以省去繁杂的运算,应重点关注解法一和解法四.,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,变式训练已知等差数列an的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=()A.7B.8C.9D.10解析:根据等差数列的性质知,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30构成等差数列.所以(S20-S10)+(S30-S20)=S10+(S40-S30),即S30-S10=S40-S30+S10,所以S40=2S30-2S10=8.答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,1.已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:由已知得a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,a3=35,a4=33,d=-2.a20=a3+17d=35+(-2)17=1.答案:B2.等差数列an的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于()A.12B.18C.24D.42解析:由题意知S2=2,S4-S2=8.因为an是等差数列,所以S6-S4,S4-S2,S2成等差数列.所以S6-S4=14.所以S6=24.答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,3.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,4.等差数列an中,a10,S4=S9,则当Sn取最大时,n=.,答案:6或7,探究一,探究二,探究三,探究四,一题多解,当堂检测,5.已知数列an中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+|a30|=.解析:an+1-an=3为常数,an是等差数列.an=-60+(n-1)3,即an=3n-63.an=0时,n=21;an0时,n21;an0时,n21.S30