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文档简介

主要内容,二重积分,定义,几何意义,性质,计算法,应用,二重积分的定义,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,二重积分的性质,性质,当k为常数时，,性质,性质,对区域具有可加性,性质,若为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,二重积分的计算,X型,（）直角坐标系下,Y型,（）极坐标系下,D:,D:,D:,注意：,当被积函数为,积分区域是圆或,圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，常可简化计算。,二重积分的应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积,(3)重心,当薄片是均匀的，重心称为形心.,薄片对z轴上单位质点的引力,G为引力常数,(4)引力,思考与练习,1.,2.改变下列二次积分的积分次序：,1.,解,D是Y型。,将D向y轴投影。,求交点：,于是，,D是X型。,将D向x轴投影。,得,求交点：,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,于是，,在极坐标系中，D可表示为,2.改变下列二次积分的积分次序：,解,(1)积分区域为,将D向y轴投影。,积分区域为,将D向x轴投影,3.,4.,5.,6.,7.,3.,解,D是X型。,将D向x轴投影。,解,先去掉绝对值符号，,4.,5.,解,积分区域为,将D向y轴投影。,解,6.,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,证,7.,积分区域为,将D向y轴投影。,8.,10.,9.,8.,解,所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,底为,于是，,9.,解,平面方程,所求面积,所求面积,10.,解,所求表面分成和，如图。,第一块（）在半球面,第一块（）在锥面,记为A。,记为A。,由,由,因此，曲面和在xoy面上的投影区域均为圆域：,A的曲面方程为,Dxy极坐标系
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