北京工业大学线性代数第一章第五节.ppt

第五节行列式按一行（列）展开,一、余子式、代数余子式的概念二、行列式按行（列）展开法则,2,三阶行列式与二阶行列式的关系,3,数余子式的乘积之和。,3阶行列式等于它的第一行元素与自己的代,说明：,上述结论对于n阶行列式的任意一行也成立。,猜想：,4,阶行列式中,把元素,称为,而,的代数余子式,在,所在的第,行和第,列划去后,留下来的,阶行列式称,的余子式,记作,如：,一、余子式与代数余子式,定义：,为元素,5,式和一个代数余子式。,行列式的每个元素分别对应着一个余子,注：,6,一个n阶行列式,如果其中第,例如,引理,行所有,元素除,外都为零，那末这个行列式等于,与它的代数余子式的乘积，即,二、行列式按行（列）展开法则,7,当aij位于第一行第一列时,又,从而,证明,8,把D的第i行依次与第i-1行,i-2行,1行对调,得,若aij位于第i行第j列,9,把D的第j列依次与第j-1列,j-2列,1列对调,得,10,11,中的余子式,在,中的余子式,也是,在,12,于是有,13,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,定理,14,15,用行列式按行（列）展开法则可将行列式降阶。,将计算1个三阶行列式转换为计算3个二阶行列式。一个n阶行列式按行（列）展开后，得到n个n-1阶行列式，可以减少计算量。,如,说明：,16,计算行列式的基本方法之二,先利用行列式的性质将行列式的某一行(列)许多元素化成0，然后再按这一行(列)展开。这样继续下去，总可以将一个高阶行列式的求值问题转化成2阶行列式的求值问题,从而大大简化了计算。,为了尽量避免分数运算，尽可能选择1或-1所在的行(或列)把该行(或列)的许多元素化成0，然后按该行(或列)展开。,说明,17,例1,18,例2,计算行列式,（书P22例152）,解,19,例3,证明,证,按行列式第一行展开,左端,20,用数学归纳法可以证明：,21,例4,计算阶行列式,解：,22,问题：,把下述3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式相乘再相加，结果如何呢？,说明：3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式乘积之和等于0。,猜想：n阶行列式也有类似结论.,=0,把D中的第2行元素换成第1行元素,得下述行列式,按第二行展开,=,23,行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,定理,设,把D中的第j行元素换成第i行元素，得下述行列式,24,0,由于行列式的行与列的地位对称，因此也有,将该行列式按第j行展开,得,25,如上两个定理可以写成,26,证,用数学归纳法,例5,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,27,看n阶范德蒙行列式，,假设（1）对于n-1阶范德蒙行列式成立，,，,按第1列展开，并把每列的公因子,提出，就有,28,n-1阶范德蒙德行列式,说明：范德蒙行列式在许多实际问题中出现，我们可以用公式(1)立即写出它的值。,29,例6：计算行列式,解：,30,例7,设n阶行列式,求第一行各元素的代数余子式之和,解：,第一行各元素的代数余子