函数的奇偶与周期性.ppt

第3讲函数的奇偶与周期性,1了解奇函数、偶函数的定义，会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题2了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题.,基础自查1奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称,f(x)f(x),f(x)f(x),2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称(2)考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数,f(x),f(x),3奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内，两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是；一个奇函数，一个偶函数的积是4函数的周期性对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每个值时，都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期,相反,偶函数,奇函数,f(xT)f(x),奇函数,想一想：1.奇偶函数的定义域有何特点？2是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？答案：1.奇偶函数的定义域关于原点对称2存在该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0.,联动思考,联动体验,1对任意实数x，下列函数为偶函数的是()Ay2x3BysinxCyln5xDy|x|cosx解析：A为非奇非偶函数，B、C为奇函数，D为偶函数，设yf(x)ln5xxln5f(x)xln5f(x)设yg(x)|x|cosx，g(x)|x|cos(x)|x|cosxf(x)答案：D,2若函数f(x)x3(xR)，则函数yf(x)在其定义域上是()A单调递减的偶函数B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数D单调递增的奇函数解析：f(x)x3，f(x)x3f(x)，f(x)在R上是单调递减的奇函数答案：B,3已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1B0C1D2解析：由f(x4)f(x)知函数yf(x)的周期为4，f(8)f(42)f(0)，又f(x)在R上为奇函数，f(0)0.答案：B4若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a()A2B1C1D2解析：y(x1)(xa)x2(1a)xa，当a1时，函数y(x1)(xa)为偶函数答案：C,5(2010江苏卷)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：f(x)f(x)，(x)(exaex)x(exaex)，即(a1)ex(a1)ex0，亦即(a1)(exex)0，a10a1.答案：1,考向一函数奇偶性的判断,反思感悟：善于总结，养成习惯判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：一是定义域关于原点对称，二是判断f(x)与f(x)是否具有等量关系,迁移发散,考向二函数奇偶性的应用,考向三函数的周期性,考向四抽象函数的奇偶性和单调性问题【例4】定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，yR有f(xy)f(x)f(y)；当x0时，f(x)0且f(1)2.(1)求证f(0)0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性；(4)解不等式f(x22x)f(x)8.,解：(1)证明：依题意，令x0、y0得f(00)f(0)f(0)即2f(0)f(0)，f(0)0.(2)f(x)的定义域是R.令yx代入f(xy)f(x)f(y)得f(xx)f(x)f(x)，即f(x)f(x)0.f(x)f(x)，f(x)是奇函数(3)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，即f(x2)f(x1)f(x2x1)当x0时，f(x)0，而x2x10，f(x2x1)0，f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1)f(x)是R上的减函数,(4)f(1)2，f(2)f(11)f(1)f(1)4，f(4)f(22)f(2)f(2)8.而f(x22x)f(x)8.可化为f(x22x)f(x)f(4)f(x4)由f(x)是R上减函数，故x22xx4.即x23x40，解得1x4.不等式的解集为x|1x4,反思感悟：善于总结，养成习惯抽象函数奇偶性的判断关键是合理赋值，从而找到f(x)与f(x)的关系，由定义做出判断，抽象函数不等式的求解，一般通过单调性或奇偶性转化为一般不等式进行求解,迁移发散4已知函数yf(x)的定义域为R，且对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)，且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)3.(1)证明函数yf(x)是R上的减函数；(2)证明函数yf(x)是奇函数；(3)试求函数yf(x)在m，n(m，nZ)上的值域(1)证明：设任意x1，x2R，且x1x2，则f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)，x2x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)，故f(x)是R上的减函数,(2)证明：f(ab)f(a)f(b)恒成立，可令abx，则有f(x)f(x)f(0)，又令ab0，则有f(0)f(0)f(0)，f(0)0.从而任意xR，f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故yf(x)是奇函数(3)解：由于yf(x)是R上的单调递减函数，yf(x)在m，n上也是减函数，故f(x)在m，n上的最大值f(x)maxf(m)，最小值f(x)minf(n)，由于f(n)f1(n1)f(1)f(