河北大学生数学竞赛试题及答案.pdf

2010 年河北省大学生数学竞赛试卷答案年河北省大学生数学竞赛试卷答案 （非数学类，（非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分 一 、(本题满分 10 分) 求极限 22222 2 1 lim(12(1) ) n nnnn n +?. 解 22222 2 1 (12(1) ) n Snnnn n = +? 222 1121 1 ( )1 ( )1 () n nnnn =+? 222 10111 1 ( )1 ( )1 () n nnnnn =+? 1 2 0 11 1 ( ) n i i nnn = = ， 7 分 1 2 0 11 limlim1 ( ) n n nn i i S nnn = = . 因 2 1x在0,1上连续，故 1 2 0 1x dx 存在，且 1 1 22 0 0 1 1lim1 ( ) n n i i x dx nn = = ， 所以 11 22 00 1 lim1lim1 4 n nn Sx dxx dx n = . 10 分 二、(本题满分 10 分) 请问, ,a b c为何值时下式成立 2 20 1 lim sin 1 x bx t dt c xax t = + . 解 注意到左边得极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0b =，当0b =时使用洛必达法则得到 22 22000 1 limlim sin 1(cos) 1 x xx t dtx xax txax = + ， 5 分 由上式可知：当0 x 时，若1a ，则此极限存在，且其值为0；若1a =，则 22 22000 1 limlim2 sin 1(cos1) 1 x xx t dtx xx txx = + .综上所述，得到如下结论： 1,0,0abc=；或1,0,2abc= . 10 分 _ 共共 5 页页 第第 1 页页 三 、(本题满分 10 分) 计算定积分 2 2010 0 1tan dx I x = + . 解 作变换 2 xt =，则 2010 0 2 20102010 0 2 tan 1cot1tan dtt Idt tt = + 5 分 22 2010 00 1 (1) 1tan dtdtI t = + 所以 2 0 1 24 Idt = . 10 分 四、(本题满分 10 分) 求数列 1 n n 中的最小项. 解 因为所给数列是函数 1 x yx =当x分别取1,2,3,n?时的数列. 又 1 2 (ln1) x yxx = 且令0y =xe=， 容易看出当0 xe. 所以 1 x yx =有唯一极小值 1 ( ) e y ee =. 7 分 而 3 11 23 23 e中，求一条曲 线L，使沿该曲线从O到A的积分 3 (1)(2) L y dxxy dy+ 的值最小. _ 共共 5 页页 第第 3 页页 解 333 0 ( )(1)(2)1sin(2sin ) cos L I ay dxxy dyaxxax ax dx =+=+ 3 4 4 3 aa=+ 5 分 令 2 ( )440I aa= +=，得1a =(1a = 舍去)；又(1)80 I =，则( )I a在1a = 处取极小值，且1a =是( )I a在(0,)+内的唯一极值点，故1a =时( )I a取最小值， 则所求曲线为sinyx=(0)x. 10 分 八、(本题满分 10 分) 设)(xf在 1 , 1上有二阶导数，且 2 1 ) 1 () 1(=ff， 2 1 | )( |xf. 证明 1, 2 1 | )( |xf.1 , 1x 2)(xfx=在 1 , 1上有且只有一个实根. 证明 1. 由泰勒公式 ), 1(,)1( 2 )( )1)( )() 1( 2 xx f xxfxff+= ) 1 ,(,)1 ( 2 )( )1)( )() 1 ( 2 xx f xxfxff+= 两式相减并整理得 () )( 2 )1 ( )( 2 1 )( 2 22 f x f x xf + = 于是, )( xf ()() 8 )1 (1 | )( | 4 )1 ( | )( | 4 1 2222 xx f x f x+ + + 由于 11 max x () 2 1 8 )1 (1 22 = +xx 因此, 2 1 | )( |xf.1 , 1x 5 分 2. 令( )xFxxf=)(，.1 , 1x 则()() 2 3 111=+=fF，( )( ) 2 1 111= fF. 但( )xF在 1 , 1上连续，由介值定理知，( )xF在 1 , 1上至少有一个零点. 又由 1 可知( )xF1)( =xf0，故( )xF在 1 , 1上严格单调，从而至多有一个零点. 这样( )xF在 1 , 1上有且只有一个零点，即)(xfx=在 1 , 1 上有且只有一个实 根. 10 分 _ 共共 5 页页 第第 4 页页 九、(本题满分 10 分) 设( )xf在()+,为连续函数,则( )( )dxxxfdxxfx aa = 2 0 2 0 3 2 1 证明：令( )( )dttftx x 2 0 3 =,则( )( ) 23 xfxx = ( )( )dtttfx x = 2 0 2 1 ,则( )( )( ) 2322 2 2 1 xfxxfxxx= 5 分 所以( )( )xx = 即( )( )cxx+= c为常数 而( )( )000= ( )( )xx= 特别地( )( )aa= 即( )( )dxxxfdxxfx aa = 2 0 2 0 3 2 1 . 10 分 十、(本题满分 10 分) 设( )f x是0,1上的连续函数，证明 11 ( )( ) 00 1 f xfy edxedy 。 证法一 设( , )|01,01Dx yxy=。由于 ( )( ) 1( )( ) f xfy ef xf x +，所以 4 分 11 ( )( )( )( ) 00 f xfyf xfy D edxedyedxdy = 11 001 ( )( )dxf xf y dy+ 111111 000000 ( )( )1dxdyf x dxdydxf y dy=+= . 10 分 证法二 11 ( )( )( )( )