清北学堂 2014年寒假高一理科精英班导学1-物理学科专题讲解+例题精讲

2014 年寒假 高一理科精英班 导学 （第 一 次） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课 之 前 ，了解授课方向及重难点。 同时 还 附上部分知识点 的详细解读。每个班型导学共由 2 次书面资料构成。此次发布的为第 一 次导学，后面的第 二次导学 ， 将于 2013 年 12 月 25 日发布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 还 会发布 相应班型的详细授课大纲，敬请关注。 自主招生邮箱： 数学竞赛邮箱： 物理竞赛邮箱： 化学竞赛邮箱： 生物竞赛邮箱： 理科精英邮箱： 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014 年寒假集中培训 课程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-3 2013-12-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 1 页 2014 年寒假 高一理科精英班 导学 (物理 部分 ) 目录 知识框架 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 运动学 . 5 1. 运动的合成与分解 . 5 2. 相对运动 . 5 3. 直线运动 . 5 4. 曲线运动 . 5 5. 刚体平动 . 7 6. 刚体绕定轴转动 . 7 二、 静力学 . 7 1. 力的种类与特性 . 7 2. 力的合成与分解 . 8 3. 共点力的平衡 . 8 4. 非共点力的平衡 . 8 5. 液体压强与浮力 . 8 6. 液体表面张力 . 8 三、 动力学 . 8 1. 牛顿运动定律 . 8 2. 质心和质心参考系 . 9 3. 非惯性系 . 9 4. 惯性力 . 9 5. 转动惯量 . 9 6. 刚体转动的牛顿运动定律 . 10 四、 能量、动量和角动量 . 10 1. 机械能守恒定律 . 10 2. 功能原理 . 10 3. 动能定理 . 11 4. 动量守恒 . 11 5. 碰撞问题 . 12 6. 角动量守恒定律 . 12 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 五、 天体运动 . 13 1. 万有引力 . 13 2. 开普勒行星运动定律 . 13 3. 宇宙速度与轨道能量 . 13 六、 经典方法归纳 . 14 1. 微元法 . 14 2. 等效法 . 14 3. 整体法和隔离法 . 14 4. 几何法 . 14 5. 虚功原理 . 14 6. 摩擦角 . 15 例题选讲 . 16 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 知识框架 运动学 基本要求 运动的合成与分解 相对运动 直线运动 曲线运动（平抛、圆周） 拔高内容 曲线运动（斜抛） 刚体平动 和转动 经典方法 微元法、作图法、极限法、等效法、矢量法 静力学 基本要求 力的种类与特性 力的合成与分解 力的平衡（共点力） 液体的静压强与浮力 拔高内容 力矩问题（非共点力） 液体表面张力 经典方法 摩擦角、极限法、微元法、虚功原理 动力学 基本要求 牛顿运动定律 质心和质心参考系 拔高内容 非惯性系 惯性力 转动惯量 刚体转动的牛顿运动定律 经典方法 整体法、隔离法、微元法 能量、动量和角动量 基本要求 机械能守恒定律 功能原理 动能定理 动量守恒 碰撞问题 拔高内容 角动量守恒定律 天体运动 基本要求 万有引力 开普勒行星运动定律 宇宙速度与轨道能量 常用 方法 能量守恒、角动量守恒 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 重点难点 运动学知识是高中物理最为基本的内容，大部分理论内容都列于高考考纲之内，因此需要 熟练掌握 。在学习中重点要训练的是如何变换角度和思路，灵活快速解题。非惯性参照系、斜抛运动以及刚体的知识都不在高考考纲的范围之内，知识点也较有难度。不过在竞赛及自主招生考试中经常容易出现，需要特别注意。 静力学是高中物理力学部分的基础，需要熟练掌握并理解 物理过程 。静力学中的平衡问题是高考乃至竞赛中的重点，受力分析是难点。 动力学中解题的关键在于准确 分析物体的受力 。受力分析的方法在静力学中已经重点训练过，需要在动力学问题中 灵活运用 。在竞赛或自招考试中，较常见对于非惯性系和刚体转动的考查，应该作为难点进行攻克。 能量、动量和角动量部分，如何基于物体的受力分析判断出适用的守恒定律，并列出方程是需要训练的重点。 在守恒定律不能封闭方程组的情况下要从 运动学 角度寻找其他方程。这部分问题的难点通常在应用 动量守恒定律 方面， 碰撞问题 是 考查 重点。此外，角动量部分也需要熟悉并能在涉及转动的问题中灵活使用动量守恒和 角动量守恒 定律。 天体运动中， 开普勒行星运动定律 是重点，要结合 角动量守恒定律 进行求解。 巧妙地运用经典方法能够很大程度上缩短解题的时间，提高解题的准确度。因此在求解力学 问题时常用的 几种经典 方法也应该作为重点和难点掌握。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 知识梳理 一、 运动学 1. 运动的合成与分解 a) 包括 位移 、 速度 和 加速度 的合成与分解； b) 遵守矢量合成法则 平行四边形法则 ； c) 注意分运动和合运动在 时间上的同一性 ； d) 要根据 实际的运动效果 选择分量的方向 。 2. 相对运动 a) 绝对运动 质点对地或对地面静止物体的运动； b) 相对运动 质点对运动参照系的运动； c) 牵连运动 运动参照系对地的运动； d) 三者的关系（以速度矢量为例） 牵连相对绝对 vvv ； e) 注意三者的方向性关系。 3. 直线运动 （ 1） 匀速直线运动 vts （ 常数v 0a ） （ 2） 匀变速直线运动 1) 匀变速直线运动的一般规律 a) 速度表达式 ： atvvt 0 。 b) 位移表达式 ： 20 21 attvs 。 c) 速度与位移的关系 ： asvvt 2202 。 2) 自由落体运动 gtvt 221gts 3) 竖直抛体运动 1 竖直下抛运动的规律：规定 抛出点为原点 ，竖直 向下为正方向 ，公式为 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 竖直上抛运动的规律：规定 抛出点为原点 ，竖直 向上为正方向 ，公式为 gtvvt 0 20 21 gttvs 4. 曲线运动 （ 1） 抛体运动 1) 平抛运动 a) 分位移： tvx 0 221gty 。消去参数 t ，得 轨迹方程 ： 2202 xvgy。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 位移公式 ： )21()( 22022 gttvyxs 。 位移 s 和 x 轴方向夹角 ：02arctan vgt 。 b) 分速度 ： 0vvx gtvy 。 速度公式 ： 222022 tgvvvv yx 。 速度 v 与 x 轴方向夹角 ：0arctan vgt 。 c) 加速度 ： 0xa gay 。 2) 斜抛运动 整体思路 ： 将 斜抛的 初速度 分解为 水平初速度 和 竖直初速度 ，在水平和竖直方向上分别为 匀速直线运动 和有初速度的 匀变速直线运动 （竖直加速度为 ）。可以说，平抛运动是斜抛运动的一个特例（ 平抛 = 0）。 分速度公式 ： cos0vvx gtvv y sin0 ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 分位移公式 ： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 轨迹方程 ： 2220 c o s2ta n xv gxy ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 斜上抛运动 的几个 特征量 ：飞行时间gvT sin2 0射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圆周运动 1) 匀速圆周运动 线速度、角速度及其关系 ： tsv t rv ，其中 s 为弧长， 为圆心角。 加速度 ：切向加速度 0ra ；法向加速度 rrvan 22 ， 指向圆心 。 2) 变速圆周运动 合加速度的方向 不指向圆心 ，加速度可分解为 向心 加速度 和 切向 加速度 两个分量。 即： rn aaa 22 rn aaa nraatan 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 （ 3） 一般曲线运动 每一 光滑平面曲线 中任何一个 无限小部分 均可属于某一 圆 ，此圆称为曲线在该部位的 曲率圆 ，其半径称为 曲率半径 ，常记为 ，运动速度 v 及向心加速度 na 与曲率半径 间有关系式： 2n va 5. 刚体平动 在任何情况下都 不发生形变 的物体称为 刚体 。 刚体平动的 特点 是：刚体上 各点 在空间运动的轨迹通过平移可以 完全重合 ，同一时刻刚体上各点的运动速度都相同。因此， 整个刚体的运动可以视为一个质点的运动 。 6. 刚体绕定轴转动 刚体绕定轴转动 特点 是：刚体上的 各点 都在 与转轴垂直的平面内做圆周运动 ，各点做圆周运动的 半径可以不相等 ，但各点的 转过的角度都相同 。 转动涉及的运动学变量为 角位移 、 角速度 、 角加速度 ，这些概念可以分别与直线运动中的 位移 、 速度 、 加速度 类比。 当 为常量时，为匀变速转动。类似于匀变速直线运动，有： = 0 + = 0 +0 +122 2 02 = 2(0) 对于定轴转动的刚体上的某点，以 R 表示该点到转轴的距离，则该点作圆周运动的 线速度 v、 切向加速度 和 法向加速度 ，分别表示为： = = = 2 二、 静力学 1. 力的种类与特性 （ 1） 重力 a) 重力由 地球引力 引起； b) 在计算中一般认为重力方向 竖直向下 ，作用在物体 重心 上； c) 重力为 非接触力 。 （ 2） 弹力 a) 弹力产生必要条件为 相互接触且有形变 ； b) 弹力为 接触力 ； c) 判断 形变 是否存在：可采用 假设法 判断物体间是否具有 相对运动趋势 或 相对运动 。 1) 轻绳、轻杆、轻弹簧 a) 轻绳 受力， 只能产生 拉力 ，方向 沿绳子且指向绳子收缩的方向 。 b) 轻杆 受力，有 拉伸 、 压缩 、 弯曲 、 扭转 形变，相应的杆的弹力 方向具有多向性 。 c) 轻弹簧 受力，有 压缩 和 拉伸 形变，能产生 拉力 和 压力 ，方向 沿弹簧的轴线方向 。 2) 面与面、点与面接触 面与面、点与面接触时，弹力方向 垂直于面 （若是曲面则 垂直于切面 ）， 指向受力物体 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 （ 3） 摩擦力 a) 摩擦力产生的 必要条件 为 有相互作用弹力及相对运动趋势或相对运动 ； b) 摩擦力为 接触力 ； c) 判断 相对运动或相对运动趋势 是否存在：通过 假设法 判断； d) 滑动摩擦力 Nf ， 为滑动摩擦系数； e) 静摩擦力 满足 sms ff 0 ，其中 Nfsm 0 为最大静摩擦力， 0 为静摩擦系数。实际上 0 ，但一般认为 0 。 2. 力的合成与分解 a) 力的合成与分解遵循 平行四边形法则 。 b) 力的分解可根据其 作用效果 分解为两个或多个 效果单一 的力。 3. 共点力的平衡 a) 平衡条件： 合力为零 ，即 0i iF ，分量形式为 0i ixF ， 0i iyF 。 b) 共点力性质：当 物体受三个 不平行 的力作用平衡时， 三力必为共点力 。 4. 非共点力的平衡 a) 平衡的一般条件： 合力为零且合力矩为零 ，即 0i iF ， 0i iM 。 b) 力矩：表征作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，由径向矢量与作用力叉积得到。 5. 液体压强与浮力 a) 液体静压：与 液体密度和深度成正比 ，即 ghP ， 为液体密度， h为深度。 b) 浮力：浸在静止液体中物体受到液体对它各个方向总压力的 合力 ，其大小就等于被物体所 排开的液体受的重力 。 gVF ，式中 V 为物体浸没在液体部分的体积， 为液体密度。浮力的方向是 竖直向上 的，浮力的大小 与物体的重量无关 ， 与物体在液体中 深度无关 。 6. 液体表面张力 液体与其他相物体 交界面 处会产生表面张力， LF ， 为表面张力系数， L为交界面长度。表面张力 垂直于交界面 。 三、 动力学 1. 牛顿运动定律 a) 牛顿第一定律： 惯性定律 ，不受力物体保持静止或匀速直线运动状态。 b) 牛顿第二定律：物理的 加速度与合外力成正比 ， 跟质量成反比 ， 即： amF 。 c) 牛顿第三定律：作用力与反作用力 等大反向 ，在同一条直线上。 三大定律中 第二定律 使用最多，也最为重要。第二定律同样 适用于质点组 。质点组某一时刻各质点 受外力 x 方向分量为 xF1 ， xF2 ， ， kxF ，加速度 x 方向分量为 xa1 ， xa2 ， ，kxa ，则： 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 kxxxx FFFF 21 为质点系 x 方向上所受的 合外力 ，进而有： kxkxxx amamamF 2211 上式为 质点组的牛顿第二定律 。 2. 质心和质心参考系 对 n个质点组成的系统， 1m ， 2m ， ， nm 和 1r ， 2r ， ， nr 分别为质量和位置矢量，系统 质心的位置矢量 为： mrmmmmrmrmrmrni iinnnc 1212211，其中 ni imm 1。 质心位置矢量在 直角坐标系 三个方向上的 投影分量 为： mxmxni iic 1， mymyni iic 1， mzmzni iic 1 对质心的牛顿第二定律 为 camF ， F 为 系统所受合外力 ， ca 为 质心加速度 。 质心运动定律 ：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此点、外力作用于此点的运动。 以 质心作参照 的参考系为质心系，多质点系统 不受外力 时 质心运动状态不变 ，结合质心定义可确定各质点运动状态。 3. 非惯性系 牛顿第一定律不成立 的参考系叫非惯性参考系，简称 非惯性系 ，如加速运动的小车、考虑自转时地球等。选取非惯性系作为参考系时由于牛顿第一定律不成立，牛顿运动定律的形式将发生改变。 4. 惯性力 非惯性系相对惯性系有加速度，因此相对惯性系没有加速度的物体对非惯性系有加速度，因此在非惯性系看来认为物体受到了一种 方向与非惯性系相对于惯性系的加速度相反 的力，这种力叫惯性力： amF 惯 ， m 为物体质量， a 为非惯性系相对于惯性系的加速度。 惯性力 不是真实存在 的，因此 没有反 作用力 。引入惯性力后非惯性系中动力学方程与惯性系 形式相同 。 5. 转动惯量 对饶定轴转动的刚体，描述其转动运动的运动学量为刚体对转轴的 角位移 、刚体旋转的 角速度 和刚体旋转的 角加速度 ，动力学量为刚体受外力对转轴的 合外力矩 M ，刚体对转轴的 转动惯量 I 。 刚体对轴的转动惯量定义为 12i iirmI。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 计算转动惯量有三个定理，即平行轴定理、垂直轴定理和伸展定则。 a) 平行轴定理 ：刚体对 过质心的轴 的转动惯量为 I ，则刚体对 与该轴平行 且相距为 d的轴的转动惯量 2mdII 。 b) 垂直轴定理 ：设三维直角坐标系 xy 平面内有一 平板状刚体 ，对 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 xI 和 yI ，则刚体对 z 轴的转动惯量 yxz III 。 c) 伸展定则 ：刚体上任一点 平行的沿一直轴 移动一段距离，刚体 对该轴 的转动惯量不变。 6. 刚体转动的牛顿运动定律 类比质点牛顿运动定律， 刚体转动运动定律 为 IM 。由此可总结 转动与平动 各物理量之间的 对应关系 ： 平动 转动 位移 s 角位移 速度 v 角速度 加速度 a 角加速度 力 F 力矩 M 质量 m 转动惯量 I 根据上面的对应关系可直接将各平动定律的形式 改写 为转动定律。 四、 能量、动量和角动量 1. 机械能守恒定律 （ 1） 势能 高中 涉及到的势能可大致分为两类，一类是由引力场（电场）产生的 引力势能（电势能） ，另一类是由弹簧或其他弹性体弹性形变产生的 弹性势能 。 以引力势能为例，取无穷远为势能零点，则其形式为 rGMmEp ，其中 r 为两物体之间的距离。 以弹簧弹性势能为例，进度系数为 k 的弹簧储存的弹性势能为 221kxEp ，其中 x 为弹簧的伸长量（压缩量）。 （ 2） 机械能守恒定律 系统内 只有保守力做功 ，其他非保守内力和外力做功之和为零，系统的机械能守恒。 2. 功能原理 （ 1） 矢量标积 矢量是既有大小又有方向且加减运算遵循平行四边形定则的一种量，矢量的大小也称为清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 绝对值。 设矢量 A 、 B 的夹角为 ，其标积用 BA 表示，定义为 cosAB ，即 cosABBA 。 “标 ”指结果为一般标量， “积 ”指 BA 是一种乘积运算。这种乘法用其间的一个点表示，故又称为点乘或点积。标积的正负与 的取值有关。 （ 2） 变力的功 一般情况下，力是变力，而物体的运动轨迹可能是曲线。这时，必须将恒力做功公式的结果进行推广。 设质点从 A 点沿曲线运动到 B 点，现在来确定变力 F 在这段过程中所做的功。为此，将此过程分成许多小段，取其中任意一小段 is ，当 is 很小时， is 可看作直线，其方向沿曲线的切线，而在这小段上力可视为恒力，以 iF 表示，设力 iF 与 is 夹角为 i ，则两者的标积即为 iF 在 is 段对质点所做的功，称为元功，记为 iiiiii sFsFW c o s 。变力 F 从 A 到 B 对质点做的功，就等于所有元功的代数和，即 BA iiBA i sFWW。 变力在曲线运动中的功也可由 F -s 图像和 s 轴包围的 “面积 ”求解。 在一些特定情况下，例如：已知恒定功率和时间可用 PtW 求解；若知物体的动能变化，可用动能定理求解；若作用力的大小随位移作线性变化，可用平均力作为恒力按功的定义求解。 （ 3） 功能原理 系统 机械能的变化量 等于 外力 对系统所做 总功 与系统内 耗散力做功 的代数和。耗散力指的是 非保守力 ，即 做功与路径有关 的力。目前接触到的力除重力、库仑 力外其他力均为非保守力。 这里要注意， 弹簧弹力做功可用初末位置的弹性势能变化来求解 ，乍看起来弹簧做功做功只与初末位置有关，与路径无关，但实际上弹簧系统是一个 一维系统 ，一维系统的运动路径只能是一条直线，且由初末位置唯一确定，因此 弹簧弹力不是保守力 ，但仍可用计算保守力做功的方法计算弹簧弹力做功。 3. 动能定理 系统 所有外力 与 所有内力 对系统做功的代数和等于系统 总动能的变化量 ，即： 12 kk EEWW 内外 需要注意，考虑质点系时要考虑内力做功。 类比质点运动动能，刚体 转动动能 为 221 IEk ，对转动刚体动能定理仍然成立，即 202 2121 IIW 动能定理常用于计算 变加速运动速度 。 4. 动量守恒 （ 1） 冲量 冲量是表示力对时间的累积效应量。一般情况下，将质点从 1t 时刻到 2t 的一段运动时间清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 分割成一系列用 i 标记的无限小时间间隔 it ，质点在 it 时间内受力为 iF ，则将 iii tFII 称为力 F 在该段时间内的冲量。其中 iii tFI ，称为元冲量。若力 F 在时间 t 内是恒定的，则冲量 tFI 。力的冲量方向与该力方向一致。 若力 F 是变化的，则先求元冲量，再求和。可以证明，分力对质点的冲量之和等于合力对质点的冲量。 冲量是矢量，恒力情况下，冲量的方向与力的方向相同，变力的冲量方向由其作用效果来判断。冲量是过程量，说冲量时，要指明是哪个力在哪个过程或哪段时间内的冲量。 （ 2） 动量定理 系统所有 外力 对系统的冲量和等于系统总动量的变化量，即： 0)( pptF 外 （ 3） 动量守恒定律 由动量定理可知，如果 0外F ，则 0pp 。因此，系统 不受外力或者受外力之和为零 ，系统的总动量保持不变，即质点系的总动量是守恒的。 若系统在 某一方向上 不受外力（或外力分量之和为零），则系统在该方向上的动量守恒。 在处理碰撞或爆炸问题时，系统 内力作用远强于外力作用 ，可近似认为无外力作用于系统， 动量守恒仍然成立 。 5. 碰撞 问题 碰撞过程满足动量守恒。碰撞前后物体速度在同一直线为 正碰 ，否则为 斜碰 。碰撞中无机械能损失为 弹性碰撞 ，有机械能损失为 非弹性碰撞 。当碰撞后两物体速度相同时，为 完全非弹性碰撞 。 描述碰撞非弹性程度的量为 恢复系数 ，定义为碰撞后分离速度与碰撞前接近速度的比 值，即1212 vv vve 。对弹性碰撞， 1e ，完全非弹性碰撞 0e ，一般非弹性碰撞 10 e 。对斜碰，取 沿碰撞接触面法线方向 的相对速度为接近速度和分离速度即可。 对弹性碰撞，使用 1e 及动量守恒计算碰撞后速度，比使用机械能守恒方便得多。 6. 角动量 守恒定律 （ 1） 角动量 角动量定义为动量对转轴（支点）的矩，也称为 动量矩 ，即 sinm v rvmrL 。 角动量是刚体转动中的物理量，类比质点运动动量的定义，质量对应转动惯量，速度对应角速度，有 IL 。 类比动量定理，角动量定理的形式为 )( ItM 。 对 刚体 ，绕定轴 转动惯量 I 为常数 ，角动量定理为 ItM 。 对 非刚体 ， 转动惯量 I 不为常数 ，角动量定理为 1122 IItM 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 （ 2） 角动量守恒定律 由角动量定理可知，当物体所受 合外力矩为零 时，角动量守恒。合外力矩为零的一种特殊情况是物体受到 有心力场 作用，如行星绕恒星转动。当然，物体所受合外力为零时角动量必然守恒。 五、 天体运动 1. 万有引力 质量为 M 的 球对称分布 球体，半径为 R ，则与另一个质量为 m 的质点 B 间的万有引力为 Rrr mrMGRrrMmGF22)( ，其中 )(rM 表示半径 r 内的部分球的质量。 如果 A 、 B 都是质量球对称分布的球形物体， 相距很远 ，则万有引力为将其质量集中于球心处的 质点 间的万有引力，即2rMmGF 两个相距为 r 的质点 M 、 m ，其间 引力势能 为 rGMmEp 。若 M 为质量均匀半径为 R 的球壳，则引力势能RrRG M mRrrG M mE p 。 2. 开普勒行星运动定律 开普勒第一定律 ：行星围绕太阳的运动 轨道为椭圆 ，太阳在椭圆的一个 焦点 上。 开普勒第二定律 ：行星与太阳的 连线 在相等的时间内 扫过相等的面积 。 开普勒第三定律 ：各行星椭圆轨道半长轴 a 的三次方与轨道运动周期 T 的平方之比值为相同的常量，即 CTa 23 其中，开普勒第二定律与行星运动中角动量守恒等价。 3. 宇宙速度与轨道能量 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物体 绕地球公转 的最小速度，又称 环绕速度 ，即万有引力恰好提供物体公转所需的向心力，得 RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物体 脱离地球引力 的最小速度，又称 脱离速度 。物体恰好脱离地球引力 即 物 体 到 达 无 穷 远 处 时 速 度 为 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物体 脱离太阳系 的最小速度，又称 逃逸速度 。物体脱离太阳系的过程分为两步，第一步脱离地球引力，第二步脱离太阳引力。设脱离地球引力后相对太阳速度为xv ，类似第二宇宙速度的求法，脱离太阳引力需满足 021 2 日地太阳R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太阳RGMv x 。地球绕太阳公转速度为 skm8.29 ，由伽利略速度变化公式，物体相对地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球参考系中由机械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx （ 4） 轨道能量与轨道形状 将行星绕太阳运动的 机械能 记为 E ， E 与三种轨道的对应关系为： 双曲线轨道抛物线轨道椭圆轨道圆00/0EEE 六、 经典方法归纳 1. 微元法 微元法本质上是 从部分 出发 求解整体 的思维方式。即将复杂问题分解为 无限小 的 “微元体” 或 “元过程” ，在这样的“微元体”或“元过程”上可使用较简单的物理规律，而每一“微元体”或“元过程”上 遵从相同的物理规律 ，通过一定的数学或物理方法将“微元体”或“元过程” 叠加合成 为待求解问题的解。 由于 分解的微元无限小 ，因而在“微元体”或“元过程”中 变化的量可以视为常数 ，例如匀加速直线运动中的“元过程”可视为匀速直线运动。 2. 等效法 若某物理过程中 一些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同 ，则前一些因素与后一些因素是 等效的 ，可以 互相代替并不影响最后结果 ，这种方法就是等效法。等效思维的实质是在效果相同的情况下，将 较为复杂的实际问题 变换为 简单的熟悉问题 。 3. 整体法和隔离法 在研究过程中选取合适的研究对象十分重要，当选取所求力的物体不能作出解答时，应选取与它相互作用的物体为对象 ，即 转移对 象，或把它 与周围的物体当做一个整体 来考虑，即考虑隔离法或整体法去进行分析。 4. 几何法 有些平衡问题中采用正交分解法求解，数学运算过于复杂，常常带来不便，如能利用一些几何知识，则能使运算简便。常用的数学知识有 三角形相似 、 正弦定理 等。 5. 虚功原理 假设平衡物体偏离平衡位置移动 无限小位移 ，该过程中物体所受作用力对其做功，虚功清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 原理得到的结论是 外力做功代数和为零 ，即 0i ii sF。 6. 摩擦角 设静摩擦力因数为 s ，则摩擦角定义为 s arctan 。 摩擦角 几何意义 ：最大静摩擦力 smf 与支持力 N 的合力 mR 与接触面法线间的夹角。 全反力 ：物体受到的摩擦力 f 与支持力 N 的合力 R 叫 支持面对物体 的全反力。当 R 与法线夹角 时，静摩擦力不超过最大静摩擦力。因此在 的范围内斜向下推物体，无论力多大物体都不会滑动，这就是 “自锁现象” 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 16 页 例题选讲 例 1. 炮弹从具有倾角为 的平斜顶的掩蔽所下向外发射，炮位与斜顶的顶点 A 相距为 d，炮弹发射的初速度为 0v ，求炮弹能发射的最远距离。 解： 以炮位为坐标原点，平行和垂直于斜顶分别为 x 和 y 轴，炮弹运动的加速度cosxag sinyag 。在此坐标系中，斜顶的 y 坐标 siny h d 。 若要 炮弹射程最远，则炮弹轨道要与斜顶相切，应满足 220 s in ( )s in2 c o svhd g ，即 220 s in ( ) s in 2v g d 若 20 sin 2v gd ，则轨道不可能与斜顶相切，最大射程只需取 4 ，最大射程20max vL g。 若 20 sinv gd ，则轨道要与斜顶相切，应取 10si n 2si n gd v 。 （ i） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此时最大射程只需应取 4 ，最大射程20max vL g。 （ ii） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此时最大射程需使炮弹轨道与斜顶相切，即应取 10sin 2sin gd v ，此时最大射程为 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 17 页 22 100m a x 0si n 2si n 2 si n 2( si n )gdvvL g g v 简析： 本题需根据炮弹轨道特性建立合适的坐标系，使计算化简。若建立水平竖直坐标系则本题计算繁琐求解困难。 例 2. 两个质量分布均匀的球，半径为 r ，重为 P ，置于两端开口的圆筒内，圆筒半径为 R （ rRr 2 ） ， 并竖直放在水平面上（如图 1）。设所有接触面均光滑，为使圆筒不致于倾倒，圆筒的最小重量 Q 为多少 ？ 如果换成有底的圆筒，情况又如何？ 解： 球 2Q 受力如图 2，由共点力平衡条件得 22 )22()2(22c o t rRr rRPPN 球 1Q 受到向右的支持力 NN ，两力构成力偶， 对圆筒 有 22 )22()2( rRrNQR 可得 PR rRQ )(2 若 换成 有底 的筒 ，则不会翻。 简析 ： 本题受力分析中使用到了力偶的概念。 等大、反向不在一直线上的两个力 构成力偶 ，力偶矩为力与力偶臂（两平行力之间的距离）的乘积，因而 力偶矩与转轴的具体位置无关 。 图 1 图 2 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 18 页 例 3. 如图半径为 R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球 A、 B 质量分别为 m、 m（ 为待定系数）。 A 球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的 B 球相撞，碰撞后 A、 B 球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为 g。试求： （ 1）待定系数 ； （ 2）第一次碰撞刚结束时小球 A、 B 各自的速度和 B 球对轨道的压力； 解 ： （ 1）碰撞后两球能上升的最大高度对应的重力势能分别等于两球的总能量，由于碰撞中无能量损失，由机械能守恒定律得 44m g R m g Rm g R ，解得 3。 （ 2）设 A、 B 第一次碰撞后的速度分别为 v1、 v2，取方向水平向右为正，对 A、 B 两球组成的系统，有 22121122m g R m v m v 122m gR mv mv 解得1 12v gR，方向水平向左；2 12v gR，方向水平向右。 设第一次碰撞刚结束时轨道对 B 球的支持力为 N，方向竖直向上为正，则 22vN m g m R B 球对轨道的压力 4.5N N mg 方向竖直向下。 简析： 本题是能量和动量守恒与圆周运动的结合。把握能量守恒和动量守恒即可求解本题。 例 4. 如图所示， B是质量为 mB、半径为 R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。 A是质量为 mA的细长直杆，被固定的光滑套管 C约束在竖直方向， A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为： mB 2mA。初始时， A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放 A， A、 B便开始运动。设 A杆的位置用 表示， 为碗面的球心 O至 A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求 A与 B速度的大小（表示成 的函数） 解： 14R清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 19 页 解法一： 由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻， A沿竖直方向运动，设其速度为 vA，B沿水平方向运动，设其速度为 vB。若以 B为参考系，从 B观测，则 A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为 R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为 VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得 AA vV sin （ 1） BA vV cos （ 2） 因而 cotAB vv （ 3） 又由能量守恒 22 2121c o s BBAAA vmvmgRm （ 4） 由（ 3）（ 4）两式及 mB 2mA得 2c o s1 c o s2s in gRv A （ 5） 2c o s1 c o s2c o s gRv B （ 6） 解法二： 从地面上看， A始终紧贴 B运动，因而 A与 B在圆弧面的法线方向上没有相对运动，即 sincos BA vv ，再由能量守恒 22 2121c o s BBAAA vmvmgRm 及 mB 2mA得 2c o s1 c o s2s in gRv A 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 20 页 2c o s1 c o s2c o s gRv B 简析： 本题关键在于分析 A、 B两物体的运动状态，在确定其运动关系时，可以使用速度合成及伽利略速度变化关系进行分析，也可通过运动效果，即 A、 B不分离来进行分析。最后使用动能定理确定速度。 例 5 如图所示的系统中滑轮与细绳的质量可忽略不计，细绳不可伸长，且与滑轮间无摩擦，三个物体的质量分别为 m1、 m2、 m3,它们的加速度方向按图示设定。试求这三个加速度量 a1、 a2和 a3。 解： 系统中各段绳子的张力如图 ， 三个物体的动力学方程为 ： 1 1 1m g T m a （ 1） 2 2 22T m g T m a （ 2） 3 3 32T m g m a （ 3） 确定三物体的加速度的关联关系： 1 先假定 2m 不动，当 1m 下降 1h 时， 3m 将上升 12h 2 再假定 1m 不动，当 2m 下降 2h 时， 3m 将上升 22h 综合以上两种情况，则实际上 1m 下降 1h ， 2m 下降 2h 时， 3m 将上升 123 22hhh 于是得到 123 22aaa （ 4） 解方程组得： 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 21 页 1 2 1 3 2 311 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 321 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 331 2 1 3 2 344 m m m m m magm m m m m m 简析： 本题主要难点在确定复杂滑轮系统的位移关系，定滑轮两端物体位移直接对应，动滑轮移动距离等于绳子伸缩距离的一半。把握好这一关系则本题可轻易求解。 例 6. 嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高 22.05 10nH km ，远地点离地面高45.09 30 10fH k m，周期约为 16 小时，称为 16 小时轨道（如图中曲线 1 所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线 2 所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入 24 小时轨道、 48 小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线 3、 4、 5 所示）。已知卫星质量 32.350 10m kg，地球半径 36.378 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半径 31.738 10r km。 1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 Hm约为 200km，周期 Tm=127 分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 解： 1、 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离） nr 与 fr 的算术平均值，即有 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 22 页 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入数据得 43.1946 10a km (2) 椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 nfb rr (3) 代入数据得 41.942 10 kmb (4) 椭圆的偏心率 为 a bae22 (5) 代入数据即得 0.7941e (6) 2、 当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 nv 和 fv 分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球质量， G 是万有引力常量 。 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据 角动量守恒 ，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 有 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 23 页 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10