2014年寒假自主招生班型导学4物理-电路 电场 磁场等

2014年寒假自主招生班型导学 （第 四 次） （物理） 资料说明 本 导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。每个班型导学共由 4 次书面资料构成。此次发布的为第四次导学。 4 次导学的相应关联以及课程详细授课内容，请参见相应班型的详细授课大纲。寒假授课即将开始，除现场授课及答疑外，欢迎大家参加寒假之后的在线答疑活动。祝大家在寒假中收获良多，学习进步！ 自主招生邮箱： 数学竞赛邮箱： 物理竞赛邮箱： 化学竞赛邮箱： 生物竞赛邮箱： 理科精英邮箱： 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014年寒假集中培训 课程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-4-1A 2013-12-25发布 清北学堂教学研究部 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 1 页 2014年寒假自主招生班型导学（物理 2） 导学内容大纲 . 3 重点与难点 . 5 导学知识点 . 6 9. 电路 . 6 9.1 欧姆定律 . 6 9.2 复杂电路计算 . 6 10. 电场 . 7 10.1 库仑定律 . 7 10.2 电场强度 . 8 10.3 电势和电势能 . 8 10.4 静电场中的导体和电介质 . 9 10.5 电容和电容器 . 10 11. 磁场 . 10 11.1 磁感应强度 . 10 11.2 安培力 . 11 11.3 洛伦兹力 . 12 12. 电磁感应 . 12 12.1 楞次定律 . 12 12.2 法拉第电磁感应定律 . 13 12.3 动生、感生电动势 . 13 13. 交流电 . 14 13.1 交流电的最大值、平均值和有效值 . 14 13.2 电阻、电感、电容对交变电流的作用 . 14 14. 几何光学 . 14 14.1 几何光学理论基础 . 14 14.2 成像基本公式 . 15 15. 波动光学 . 19 15.1 光的干涉 . 19 15.2 光的衍射 . 20 15.3 光的偏振 . 20 16. 近代物理 . 20 16.1 光的量子性 . 20 16.2 不确定关系 . 21 16.3 原子结构 . 21 16.4 原子核 . 22 16.5 狭义相对论 . 23 16.6 时间膨胀与长度收缩 . 23 16.7 洛伦兹变换 . 24 16.8 同时的相对性 . 25 16.9 相对论力学 . 25 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 导学习题 . 26 9. 电路 . 26 10. 磁场 . 27 11. 电磁感应 . 30 12. 交流电 . 32 13. 几何光学 . 33 14. 波动光学 . 35 15. 近代物理 . 36 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 导学 内容大纲 9.电路 无限电阻网络等效电阻 闭合电路的欧姆定律 (多电源 )、一段含源电路的欧姆定律 欧姆定律的微观解释 基尔霍夫定律 10.电场 电荷守恒定律 库仑定律 静电力常量、真空介电常量、相对介电常量 点电荷的场强、电势 场强叠加原理 无限大均匀带电面的场强 均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式 电场中的导体、静电屏蔽 电场、电势叠加原理 电容 平行板电容器的电容公式 电容器的连接 电容器充电后的电能 11.磁场 无限长直导线中电流的磁场的表示式 圆线圈中电流的磁场在轴线上表示式 无限长螺线管中的电流的磁场的表示式 真空磁导率 霍尔效应 12.电磁感应 感生电动势与动生电动势 感应电场 (涡旋电场 ) 自感系数 带电粒子在电磁场中运动 导体棒在双导轨电磁场中综合问题 13.交流电 交流电的最大值、平均值和有效值 电阻、电感、电容对交变电流的作用 变压器和原理、原幅线圈电压电流的关系 14.几何光学 折射、全反射 光的色散、折射率与光速的关系 平面镜成像 球面镜成像公式及作图法 薄透镜成像公式及作图法 15.波动光学 光的干涉 光的衍射 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 光的偏振 16.量子论初步 能量量子化，普朗克常数 光电效应、爱因斯坦光电效应方程 能级 康普顿效应 光子的能量与动量 光的波粒子二象性、粒子的波粒二象性、物质波、概率波 17.原子核 粒子散射实验、原子的核式结构 氢原子的能级结构、光子的发射和吸收 原子核的组成、天然放射现象、衰变、半衰期 核能，质量亏损，爱因斯坦的质能方程 18.狭义相对论 爱因斯坦假设 时间和长度的相对论效应 相对论动量 0221mvp mvvc 相对论能量 22 0221mcE m cvc 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 重点 与 难点 本次导学主要涉及模块为 电磁 学 、光 学 和近代物理 。 电磁 学部分按照研究内容划分，主要包括 电路 、 电场 、 磁场以及电磁感应 等内容，是历次自主招生考试以及高考中的重点 ， 对2013 年华约、北约、卓越三个联盟的自主招生真题分析显示， 电磁 学部分所占比例分别为30%、 25%、 40%， 光 学部分所占比例分别为 15%、 4%、 4%，近代物理部分所占比例分别为 10%、 4%、 4%。这些比例表明 电磁 学部分 在自主招生考试中占据相当大的比例，而 光 学以及近代物理部分 肯定有所涉及。 电路部分， 在历年自招考试中并未出现单独考察 复杂电路计算 的题目 ， 但不排除以后考察的可能性， 需要 学生 掌握 基尔霍夫定律 ，灵活运用电路 对称性 、 叠加原理 化简电路并求解。 静电场部分， 库仑定律 是静电场基本定律，此外电场强度还可用 高斯定理 计算。静电场中的导体涉及 静电屏蔽 ，该部分理解容易，但应用中变化较多。 磁场部分，主要题型是通过 安培力 或 洛伦兹力 将题目与运动学、动力学结合，也是电磁学的重点和难点。此外，对磁场还要求能使用 比奥 -萨法尔定律 计算磁感应强度。 电磁感应部分，经常将感应电动势通过的安培力与运动学、动力学结合，重点在于掌握法拉第电磁感应定律 ，理解 动生、感生电动势 。 几何光学部分，需要掌握大量的 成像公式 ，从基本成像公式出发可解决绝大部分几何光学题目。此外掌握一定的 光路作图 技巧在解决几何光学问题时也十分有益。 波动光学部分，需要理解与 光的波动性 相关的 干涉 、 衍射 现象及相关公式，波动光学题目在 自招考试中 中所占比例不高，理解现象并掌握公式即可解决绝大部分问题。 原子和原子核部分，需要掌握原子结构及 核反应 相关知识。光谱规律要掌握 氢原子光谱波长公式。 狭义相对论部分，需要掌握 洛伦兹变换 、 时间膨胀 和 长度收缩 变换公式，理解 “固有 ”概念并在解题中正确使用变换公式。由于狭义相对论理论性较强，理解颇有难度。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 导学 知识点 9. 电路 9.1 欧姆定律 (1) 电阻定律 导体的电阻跟它的长度 l 成正比，跟它的横截面积 S 成反比，即 SlR ，式中， 是导体的电阻率，它与导体的温度 T 有如下关系： )1(0 T ，其中 0 为导体在 0 时的电阻率， 为导体的电阻温度系数。 某些金属、合金及化合物，当温度降到某一特定温度时，电阻率趋于零，这种现象叫做超导现象。 (2) 欧姆定律 电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路元件上电势降的代数和。这里需要注意电势降的正负号。在电路的任意一个闭合回路上，电势降的代数和为零。 闭合电路的欧姆定律： rRI ， 为电源电动势， R 为外电阻， r 为电源内阻。注意，欧姆定律只对纯电阻电路 适用。 9.2 复杂电路计算 不能通过电阻串并联公式求解的电路为复杂电路，如电桥电路等，求解复杂电路的基本原理是 基尔霍夫定律 。对复杂电路还可通过基尔霍夫定律推得一些变换规律从而 化简 电路。 （ 1） 基尔霍夫定律 第一定律：稳恒电流电路中电荷分布不随时间改变，对电路中任一节点（三条或三条以上支路汇合点）， 流进的电流等于流出的电流 。若规定流进电流为负，流出电流为正，则各支路电流代数和为零，即 0iI 。 第二定律：稳恒电流电路中任一闭合回路，电势增量的代数和为零，即0 iii RI 。式中规定 i 和 Ii 的符号按如下规则选取：选定闭合回路的绕行方向后，与绕行方向一致的 Ii 为正，相反为负；沿绕行方向从负极到正极 i 为负，从正极到负极 i 为正。 （ 2） 叠加原理 若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于 各个电源单独存 在且 其他电源短路 时，在该支路产生的电流之和。 利用叠加原理，计算一个多电源电路时，可以分别考虑各电源的单独作用，然后再叠加起来，常用来解决电路中含多个电源导致电阻连接不易判断的问题。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 （ 3） 无源二端网络等效电阻 任何电阻网络不管是简单或是复杂的，只要有 两个引出端 ， 内部无电源 ，则称为无源二端网络。若网络两端之间电压为 U，从一端流进另一端流出的电流为 I，则 IUR 称为二端网络的电阻。 i. 对称性化简法 一个复杂网络，若能找到一些完全对称的点，在网络两端加上电压后，其电势相等，因而把这些点 “短路 ”或 “断路 ”均不影响网络中的电流分布， 从而不影响网络的等效电阻。 ii. 电流分布法 设电流 I 从二端网络的 A 端流入， B 端流出，根据基尔霍夫第一定律解出网络各支路电流（与电流 I 的比例关系），任选 A 到 B 的一条支路计算电势差，由 IUR ABAB确定 RAB。 iii. Y-变换法 将三个支路连接成具有三个节点的回路，称为三角形（ ）连接；若将三个电阻的一端连接，则只有一个节点，称为星形（ Y）连接。为简化电路结构，两种连接可相互转换。 用 Y 连接替代 连接：312312312333123122312231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR 用 连接替代 Y 连接：132133132132232132112RRRRRRRRRRRRRRRRRR （ 4） 无限多 电阻元件构成的二端网络 对无限多电阻元件构成的二端网络求解，一种方法是用归纳法并令归纳结果中 k ；另一种方法是根据无限网络的对称性求解；还有一种方法是利用 “ 11 ”的极限思想列写方程求解。 10. 电场 10.1 库仑定律 库伦定律是电磁场理论的基本定律之一。其内容是： 真空 中两个静止的点 电荷 之间的作用力与这两个电荷所带 电量 的乘积成 正比 ，与它们 距离 的平方成 反比 ，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同名电荷相斥，异名电荷相吸。即221rqqkF 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 10.2 电场强度 （ 1） 电场强度 电场的客观存在可由电场对处于其中的任意电荷的作用力来体现，为了从力的角度描绘这个客观存在的场，引入电场强度这一物理量，其定义为qFE 。 其中， q 为试验电荷。为了确定空间每点的电场性质，试验电荷必须是点电荷。电场强度在电场确定后就已经确定了，与试验电荷无关。 （ 2） 叠加原理 电场强度是矢量，方向与该点正电荷受力方向相同。当空间有多个电荷产生的场强时，空间某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点场强的矢量和，这叫做场强的叠加原理。 （ 3） 高斯定理 通过一个任意闭合曲面的电通量 e 等于该面包围的所有电荷电量的代数和的 K4 倍（或 01 倍）。 高斯定理说明静电场是有源场。利用高斯定理可以求出某些具有对称性电场的电场强度。 （ 4） 几种特殊带电体的场强 i. 点电荷：2rQKE ii. 均匀带电球壳：RrrQKRrE,02， r 为空间点到球心距离， R 为球壳半径。 iii. 均匀带电球体：RrrQKRrr rqKE,)(22 ， r 为空间点到球心距离， R 为球壳半径，q(r)为半径 r 的球体内带电荷量。 iv. 无限大带电薄板：02E ， 为电荷密度。 v. 无限大带电厚板：0E ， 为电荷密度。 10.3 电势和电势能 类比重力场中重力做功，静电场中静电力做功等于电势能的减少，有 BAAB WWA 。要确定电势能的大小，还需要选择一个零势能参考点。通常，如果带电体系局限在有限大小的空间里，选择无穷远处的电势能为零。那么10rqqKWQ 。 电势能除了与电场有关，还与 q0 有关。因此，用 Wp 与 q0 的比值描绘电场，称之为电清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 势。电势为标量0qWU 。 对点电荷电场，电势 rqKU 。点电荷组 qi(i=1,2,n) ，空间任一点的电势 U 等于各点电荷单独存在时该点的电势 Ui 的代数和，即 ni iini i rqKUU11。 10.4 静电场中的导体和电介质 （ 1） 静电平衡 以金属导体为例，当其置于静电场时，自由电子发生定向运动，导体的两端面出现 等量异性电荷 ，这个现象称为静电感应。当静电感应电荷产生的电场与外电场叠加使得 导体内部场强为零 时 ，电荷分布不再变化，场强分布不再变化，这种状态称为静电平衡。 静电平衡的条件是：导体内部场强处处为零。 静电平衡的导体具有以下特点： i. 导体是 等势体 ，导体表面是 等势面 。 ii. 净电荷 只分布在导体 表面 ，表面 曲率大 处表面 电荷密度也大 。 iii. 导体表面附近场强与导体表面垂直，其大小与导体表面对应点的电荷面密度 的关系为 )(40 EKE 。 （ 2） 静电屏蔽 导体的 外壳 对它的 内部 起到 “保护 ”作用，使它的内部不受 外部电场 的影响，这种现象称为静电屏蔽。根据静电平衡导体的特性我们可以很容易得到静电屏蔽这一结论。 （ 3） 电偶极子 两个带 电量相等 ，但 符号相反 且 相隔很近 的点电荷组成的系统称为电偶极子，电偶极子用 电偶极矩 矢量来描绘，其大小等于一个点电荷的电量与相隔距离的乘积，方向由 负电荷指向正电荷 。 （ 4） 静电场中的电介质 电介质就是绝缘体。电介质根据分子结构分为两类，一类介质分子的 正负电荷中心重合 ，称为 无极分子 ，另一类介质分子的 正负电荷中心不重合 ，形成电偶极子。无外电场时无极分子介质对外不显电性，有极分子电偶极子由于热运动排列杂乱无章，对外也不显电性。当外加静电场时，无极分子正负电荷中心沿电场线方向错开，形成电偶极子；有极分子电偶极子收到电场力力矩，转向电场方向。两种介质都会顺着电场方向形成电偶极子，从而在介质 表面 甚至 内部 产生 净电荷 ，这种现象称为电介质的 极化 。极化产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷。 极化电荷也会产生电场，且与外电场方向相反，从而削弱原电场，引入电介质的相对介电常数 r 这一物理量描绘电介质削弱原 电场的性质。设真空中场强 E0，均匀电介质充满这清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 一空间时场强rEE 0 ，从而得到 EEr 0 。 10.5 电容和电容器 （ 1） 孤立导体电容 孤立导体电容定义为 UqC 。注意，电容是导体的固有属性，与是否带电无关。对球形导体， RqKU ，所以球形导体电容为 KRC 。 （ 2） 常见电容器及其电容 当一导体被另一导体 完全屏蔽 ，则这两个导体组成电容器。电容器电容的定义为UqC ， U 为两导体间电势差。常见的电容器有 平行板电容器 、 球形电容器 和圆 柱形电容器 。它们的电容为： 平行板电容器： KdSC 4 ， S 为平板面积， d 为两平板间距。 球形电容器：)( 12 21 RRK RRC ， R1为内球半径， R2为外球壳内半径。 圆柱形电容器： )ln(2 12RRKLC ， R1为内柱半径， R2为外筒内半径。 （ 3） 静电场的能量 对 n 个点电荷组成的点电荷组，电场的能量 ni iinn UqUqUqW 111 21)(21 ，其中 Ui为 除 qi外 其他点电荷在 i 点处的电势之和。 对电容器，其储存的能量为CQW 22，单位体积的能量（能量密度） 2021 Ee 。 11. 磁场 11.1 磁感应强度 （ 1） 磁场 磁铁和磁铁，电流和磁铁以及电流和电流间的相互作用是通过场的形式产生的，这种场叫做磁场。磁场是 无源场 ，磁感线无头无尾，对任意封闭曲面有多少磁感线穿入必有多少穿出，即 封闭曲面磁通量为零（磁场高斯定理） 。自然界中没有单独存在的 N 极或 S 极。 （ 2） 磁感应强度 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 将一称为 电流元 的、长度为 L 的载流导线放在磁场中某一点，电流元所受到的力与 L、载流 I 及其 方位 有关。当电流元在某一方位时所受力最大，这个最大力为 Fm与 IL 之比为一定值，这一比值即为该点的磁感应强度，即 LIFB m 。磁感应强度 B 的方向由受力为零且稳定平衡时的电流方向 I 给出。 （ 3） 毕 -萨定律 一个电流元 IL 在相对电流元的位置矢量 r 的 P 点所产生的磁感应强度 B 的大小为2sinrLIK ， 为电流元 IL 的方向与 r 的夹角。 B 的方向由右手螺旋法则确定。若令40K ， 170 AmT104 为真空磁导率，则毕萨定律可写为 20 sin4 rLIB 载流回路是由许多个电流元组成，求出每个电流元在 P 点产生的磁感应强度， 求和叠加 后得到整个回路在 P 点的磁感应强度。 （ 4） 几种特殊载流体的磁感应强度 i. 圆电流轴线：2/32220)(2 Rx IRB ， x 为轴线上点到圆心距离， R 为圆电流半径。 ii. 无限长直导线： rIB 20 ， r 为所求点到直导线距离。 iii. 无限长均匀载流圆柱体：RrrIRrrjB,2,200， j 为电流密度， R 为圆柱半径。 iv. 无限长直螺线管内： nIB 0 ， n 为单位长度绕线匝数。 11.2 安培力 （ 1） 安培力 长为 L，电流强度为 I 的载流导线处磁感应强度为 B ，电流元与磁感应强度夹角为 ，则电流元受的安培力 sinLIBF ，方向由 左手定则 确定。 任意长度、任意形状的载流导线可 分解 为若干小段直导线，各段受的安培力的 矢量和 即为整个导线所受的安培力。 （ 2） 磁偶极子 称面积很小的载流线圈为 磁偶极子 ，用 磁偶极矩 Pm来描绘它。磁偶极矩的大小为平面清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 线圈的面积与所载电流强度的乘积，即 ISPm ，方向满足右手螺旋法则。线圈所受力矩为sinBPM m ， 为线圈法线与磁感应强度的夹角。 11.3 洛伦兹力 （ 1） 洛伦兹力 带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力为 sinqvBF ， 为带电粒子速度与磁感应强度的夹角。洛伦兹力方向与粒子 速度方向垂直 ，洛伦兹力不做功，不能改变电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。 （ 2） 带电粒子在匀强磁场中的运动 若 Bv / ，匀速直线运动。 若 Bv ，匀速圆周运动。圆周半径qBmvR，运动周期qBmT 2。 若 v 和 B 成夹角 ，把速度 分解 为 平行 与磁感应强度的分量 cosv 和 垂直 于磁感应强度的分量 sinv ，粒子运动为两种运动的叠加，即 螺旋运动 。螺旋半径qBmvR sin，每个螺旋的周期qBmT 2，螺距qBmvvTh 2c o sc o s 。 （ 3） 磁聚焦 设从磁场 A 点射出一束很窄的带电粒子流，其速率 v 相差无几，与 B 的夹角 都很小，则 vvv cos/ ， vvv sin 。由于速度的垂直分量不相等，粒子将在磁场作用下沿不同半径做螺旋运动。由于水平分量近似相等，运动周期与速度无关亦相等，故经历时间 T 后，它们又都在前进qBmvh 2后相遇于 A 点，这与光经过透镜后聚焦的现象相似，所以叫磁聚焦。 12. 电磁感应 12.1 楞次定律 闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场 阻止 引起感应电流的磁通量的变化，这个结论就是楞次定律。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 在使用楞次定律判断感应电流方向时，首先判断穿过闭合回路 磁感线沿什么方向 ， 磁通量 如何变化（ 增加 /减少 ），然后根据 楞次定律 确定 感应电流激发的磁场 应沿什么方向（与原磁场 反向 /同向 ）。最后根据 右手定则 从感应电流产生的磁场方向确定感应电流方向。 12.2 法拉第电磁感应定律 闭合回路中感应电动势 与穿过回路的 磁通量的变化率 t 成正比，即tK 。式中 K 为比例系数，取决于 、 和 t 的单位，如果 的单位用 Wb， t 的单位用 s， 的单位用 V，则 K=1。式中负号代表感应电动势方向。最终有 t 。 12.3 动生、感生电动势 （ 1） 磁通量变化方式 磁通量 iii SB c os变化有下列 三种情况 ： i. B 不变， 不变，但电路中的一部分切割磁感线运动使回路面积改变，从而使 改变。 ii. B 不变， S 不变，但回路在磁场中转动使得回路所包围的面与 B 的夹角 改变，从而使 改变。 iii. S 不变， 不变，但磁感应强度改变，从而使得 改变。 （ 2） 动生电动势 前两种磁通量变化方式是由于回路的一部分或整体在 磁场中运动 使得通过回路的磁通量改变而产生感应电动势，称为动生电动势。 动生电动势所对应的 非静电力是洛伦兹力 ， 切割磁感线运动 产生的动生电动势 sinBlv ， 是速度与磁感应强度的夹角。动生电动势方向根据洛伦兹力方向判断，也可根据楞次定律判断。 （ 3） 感生电动势 第三种磁通量变化方式是由于磁场变化使得通过回路的磁通量改变而产生感应电动势，称为感生电动势。 感生电动势对应的非静电力是感生电场对电荷的作用力。感生电场为无源场，感生电场对电荷的力是非保守力。 对无限长螺线管内的感生电场，有RrtBrRRrtBrE,2,22感 。 R 为螺线管半径。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 13. 交流电 13.1 交流电的最大值、平均值和有效值 交流信号是时间的函数，它的幅度是随时间而变化的，在变化的过程中所出现的最大瞬间值叫交流电的最大值。 因为交流电是以正弦变化的，电流每时都在变化，当在正弦的顶点是最大。 有效值是指交流电在一个周期内所做的功与直流电所做的功等效这一观点来定义的。 13.2 电阻、电感、电容对交变电流的作用 交流电也可以通过线圈，但是线圈的电感对交流电有阻碍作用，这个阻碍叫做感抗。交流电越难以通过线圈，说明电感量越大，电感的阻碍作用就越大；交流电的频率高，也难以通过线圈，电感的阻碍作用也大。实验证明，感抗和电感成正比，和频率也成正比。如果感抗用 XL 表示，电感用 L 表示，频率用 f 表示，那么其计算公式为： XL = 2fL = L 感抗 的单位是欧。知道了交流电的频率 f(Hz)和线圈的电感 L(H)，就可以用上式把感抗计算出来。电感的单位是 “亨利（ H） ”我们可利用电流与线圈的这种特殊性质来制成不同大小数值的电感器件，以组成不同功能的电路系统网络 . 交流电是能够通过电容的，但是将电容器接入交流电路中时，电容器极板上所带电荷对定向移动的电荷具有阻碍作用，物理学上把这种阻碍作用称为容抗，用字母 Xc 表示。所以电容对交流电仍然有阻碍作用。电容对交流电的阻碍作用叫做 容抗 。 Xc = 12fC 电容量大，交流电容易通过电容，说明电容量大，电容的阻碍作用小；交流电的频率高，交 流电也容易通过电容，说明频率高，电容的阻碍作用也小。 14. 几何光学 14.1 几何光学理论基础 （ 1） 光线与几何光学 表示光传播方向的几何线称为光线。光线是一个抽象的数学概念，不是从实际光束中借助有孔光阑分出的一个狭窄部分。因为在孔小到一定程度时将会发生衍射现象，不可能分出无限窄的一条光束。 在光学成像问题中，借助光线概念和基本实验定律及集合定律，可以进行一切必要的计算而不涉及光的本性问题，这部分以实验定律和集合定律为基础的光学称为几何光学。 （ 2） 基本实验定律 光的直线传播定律 ：光在均匀介质中是沿直线传播的，即在均匀介质中，光线为一直线。 光的独立传播定律 ：自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的独立传播清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 S S1 S2 S3 S4 S5 O 不发生影响 。 光的反射定律 ：入射光线、入射点出反射面的法线和反射光线在同一平面内，且入射光线与法线的夹角 i1等于反射光线与法线的夹角 i2。 光的折射定律 ：入射光线、折射光线和入射点处分界面的法线在同一平面内，且入射光线和折射光线分别位于法线两侧，入射角 i1和折射角 i2满足 1 1 2 2sin sinn i n i 。其中， n1和 n2分别是介质 1 和介质 2 的折射率。 全反射现象：光由光密介质射入光疏介质时，由折射定律知折射角大于入射角。对应折射角为 90时的入射角称为临界角 ic，有 arcsinc ni n 疏密。当入射角大于临界角 ic时，折射光线不再存在，入射光全部反射，这种现象叫全反射现象。 （ 3） 费马原理 均匀介质中，光线行径的 几何路径长度 s 与 介质折射率 n 的乘积称为光在该介质中所走的 光程 ，用 表示，即 ns 。又 cns s ctv，即光程可认为是相同时间内光在真空中通过的路程。 费马原理指出：光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个 极值 。也就是说，光沿光程值为最小、最大或恒定的路径传播。费马原理是几何光学中一个最普遍的基本原理，在折射率连续变化的介质中费马原理的应用十分重要。 14.2 成像基本公式 （ 1） 物方空间和像方空间 对某一光学系统，未经它变换前的实际入射单心光束所在的空间称为 物方空间 ，经系统变换后的实际出射单心光束所在的空间称为 像方空间 。所有的物方量，如物距 S、物方焦距f 都永远属于物方空间，所有的像方量都永远属于像方空间。 （ 2） 正负号法则 在成像公式中涉及物距 s、像距 s、球面曲率半径 r、物方焦距 f 和像方焦距 f等，均可正可负，需用一种标准来指定其 正负号的取法。这里需要说明的是正负号法则 不止一种 ，选取任一种法则都可得到正确的结论， 使用何种法则由个人习惯决定 。这里给出一种可行的正负号法则： i. 轴向线段：从球面顶点算起，沿光轴向左的线段为负值，向右的线段为正值。 ii. 横向线段：从光轴算起，向上的横向线段为正，向下的为负。 iii. 示意图中线段长度均已绝对值标记，如物距 s 为负，则示意图中标记为（ -s）。 若使用这种正负号法则，则 s0，物为虚物； s0，像为实像； s0，像为虚像。 （ 3） 平面反射成像 平面镜成像物与像关于平面镜对称。平面镜是最简单的、不改变光束单心性的、能完善成像的光学系统。单平面镜反射成像很简单，像与物关于平面镜对称。 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。成像时遵循依次清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 16 页 成像原则，即某一平面镜成的像是其他平面镜的物，直至所有像与物都确定。 两面平面镜 AO 和 BO 成 60角放置，用，很容易确定像的位置： 以 O 为圆心、 OS为半径作圆； 过 S 做 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S1和 S2； 过 S1和 S2作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 S3和 S4； 过 S3和 S4作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S5， S1S5便是 S 在两平面镜中的 5 个像。 （ 4） 平面折射成像 i. 单平面折射成像 平面折射成像时，入射角 i0时，折射光束几乎仍保持为单心，入射角越大，折射光束的像散越显著。当入射角 i0时，像的深度 y与实际深度 y 的关系为 21nyyn 。 ii. 棱镜折射与色散 入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图的几何关系知 1 2 1 2 1 1( ) ( )i i i i i i 其中 12sin sini n i ， 21sin sini n i 。 当 1i ， 很小时， 12i ni ， 21ni i 即 =(n-1) 厚度不计顶角 很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言， 与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度 ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，如右图。设物点 S离光楔 L， 则像点 S在 S 的正上方 ()h l n l 。 当棱镜中折射光线相对于顶角 对称成等腰三角形时， 11ii ， 22ii 。 11sin sin sin 2i i n 2 a rc s in ( s in )2n 或 sin sin22n 这为棱镜的最小偏向角 ，此式可用来测棱镜的折射率。 由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱A B C E F i1 i2 i2 i1 D G 折射率 h L S S 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 17 页 镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图 1。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图 2，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。 （ 5） 单球面折射成像 i. 单球面对 近轴光线 的 折射成像公式 为 n n n ns s r ，式中 s 是物距， s是像距，r 是球面曲率半径， n 和 n分别为单折射球面的物方折射率和像方折射率。定义成像公式中仅与折射率和球面曲率半径有关的量 nnr 为 光焦度 ，单位是 米 -1或 屈光度 ，数值乘以 100 就是眼镜片的度数。 ii. 物距 s时的像距称为像方焦距， 单球面折射像方焦距 nfrnn ；像距 s时的物距称为物方焦距， 单球面折射物方焦距 nfrnn 。 iii. 高斯成像公式 ： 1ffss 。 iv. 垂直于光轴的线段 y 经系统变换后仍是垂直于光轴的线段 y，且 y可正可负，这时像长 y与物长 y 的比值为垂轴放大率 。 单球面折射垂轴放大率 y nsy n s 。且有 ，实物成实像，虚物成虚像，正物成倒像； ，实物成虚像，虚物成实像，正物成正像； | ，得放大像； | |0为虚像 ，s0为实像 。 （ 7） 薄透镜成像 透镜由两个 共轴球面 构成，若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略，则成为 厚透镜 ；若可略去不计，则称为 薄透镜 。 i. 设薄透镜由两个曲率半径分别为 r1和 r2的折射球面组成，透镜的折射率为 n，左右两侧介质的折射率分别为 n1 和 n2，则 近轴条件 下薄透镜的成像公式为2 1 1 212n n n n n ns s r r ii. 薄透镜的 光焦度 ： 1 2 112n n n nrr iii. 焦距 ： 11212nfn n n nrr ， 21212nfn n n nrr iv. 高斯成像公式 ： 1ffss ，对置于空气中的薄透镜，由 n1=n2=1，成像公式变为1 1 1s s f v. 垂轴放大率 ： 12nsyy n s vi. 焦平面与副光轴 薄透镜中， 过焦点且垂直于主光轴 的平面为 焦平面 ， 过光心与焦平面相交 的直线都可作为透镜的 副光轴 。 作透镜光学系统的光路时，任意一条光线均可使用焦平面与副光轴作出其折射光线。方法如下： 先取入射光线与焦平面的交点 B，过光心 O 和该交点 B 作直线 OB，则 OB 为透镜对该入射光线的副光轴， B 称为透镜对该入射光线的副焦点。类似过焦点光线的折射规律， 折射光线平行于 OB。 （ 8） 共轴光具组成像 多个光学元件组成的共轴光学系统称为共轴光具组。在近轴条件下，共轴光具组成像问题可采用 逐次成像法 ，即把前一个元件所成的像视作后一个元件的物，依次套用成像公式进行求解。 （ 9） 视角、视角放大 物体的两端对 人眼光心所张的角度 叫做 视角 ，视角的大小跟物体的 尺寸及物体到人眼的距离有关。当两物点（或同一物体上的两点）对人眼视角大小 I（约 2.910-4md）时，才能清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 19 页 被人眼区分。 在看小物体时，为了增大视角就要缩短物眼间距离，但当其小于人眼近点距离时，视网膜上所成的像反而模糊不清。为此，必须使用光学仪器来增大视角。 右图是人眼 （ E）通过放大镜观察物体 AB 的像 BA ，当人眼靠近光心时视角。 BOABOB BABOA 若物体很靠近焦点，且成像于明视距离，则： 25BO cm ， BO f A B ABB O f 若不用放大镜将物体置于明视距离，如图， BE=25cm，则视角： 25ABAEB cm 把用光学仪器观察虚像所得视角 与将物体放在虚像位置上直接观察的视角 的比值叫做光学仪器的视角放大率。用 表示 视角放大率 ，即有 15. 波动光学 15.1 光的干涉 光的相干迭加： 两列波的迭加问题可以归结为讨论空间任一点电磁振动的矢量迭加，所以，合振动平均强度为 221 2 1 2 2 12 c o s ( )I A A A A 其中 1A 、 2A 为振幅， 1 、 2 为振动初相位。 21222 1 1 222 21122 , 0 , 1 , 2 , ( )( 2 1 ) , 0 , 1 , 2 , ( )4 c os2j j I A Aj j I A AA A I A 其 他 且 AB E清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 20 页 15.2 光的衍射 光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象，叫做光的衍射。 15.3 光的偏振 光的偏振：振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，它是横波区别于其他纵波的一个最明显的标志。光波电矢量振动的空间分布对于光的传播方向失去对称性的现象叫做光的偏振。只有横波才能产生偏振现象，故光的偏振是光的波动性的又一例证。在垂直于传播方向的平面内，包含一切可能方向的横振动，且平均说来任一方向上具有相同的振幅，这种横振动对称于传播方向的光称为自然光（非偏振光）。凡其振动失去这种对称性的光统称偏振光。 16. 近代物理 16.1 光的量子性 （ 1） 光电效应 电子在光的作用下从金属表面发射出来的现象称为 光电效应 。逃逸出的电子称为光电子。光电效应是光的量子性的直接反映。 为解释光电效应，爱因斯坦提出光量子（简称光子）概念， 单个光子的能量 E 与频率的 关系 为 Eh ，式中 h 为 普朗克常数 。 光电效应方程 为 212mh mv W ，即入射光子的能量等于刚从材料打出的光电子的初始动能加光电子逃逸所需的 逃逸功 。 光电效应方程说明，光电效应的产生 只与光子能量有关 ，而 与光线强弱无关 ，即单个光子能量达到一定值后，即使光线很弱也能产生光电子；而单个光子的能量未达到临界值时，即使光线很强也不能产生光电子。 （ 2） 光子的质量和动量 光子的质量22Ehm cc，但 光子的静止质量为零 。光子的动量 E h hp cc 。 （ 3） 康普顿效应 当 X 射线或 射线被碳、石蜡等轻原子物质散射后，其波长会变长，这一现象称为康普顿效应。 用 表示入射射线方向与散射射线方向的夹角，则波长变化量 与角 的关系为 (1 cos )k 式中 k=0.0241，是一个通过实验测出的常数，等于散射角为 90时的波长变化。 （ 4） 光压 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 21 页 从光子具有动量这一假设出发还可直接说明光压的作用。光压指光子流产生的压强，计算公式为 (1 )P c 式中 为入射光强， 为壁的反射系数。 16.2 不确定关系 （ 1） 波粒二象性与物质波 理论和实验结果表明，所有实物粒子都同时具有波动性和粒子性，也就是物质的波粒二象性。描述粒子特征的物理量（能量 E 和动量 p）与描述波动特征的物理量（频率 与波长 ）的关系为 Eh ， hp 由此所有实物粒子都可看作物质波，其波长为 hp ，称为 德布罗意波长 。 （ 2） 不确定关系 海森伯从量子理论推得，测量一个微粒的 位置 时，如果 不确定范围是 x，那么同时测量其 动量 也有一个 不确定范围 p，它们之间的关系为 p x h ，式中 h 为普朗克常数。 能量与时间之间也存在不确定关系。一个体系（如原子体系）处于某一状态，如果时间有一段 t 不确定，那么它的能量也有一个范围 E 不确定，两个不确定范围的关系为 E t h 16.3 原子结构 （ 1） 原子的核式结构 1911 年卢瑟福提出了原子的 核式结构 模型：原子中的正电荷与几乎全部质量都集中在原子中心的一个很小的核里，这带正电的原子核对每个电子施以库伦吸引力，使分布在核外的电子绕核旋转。由实验数据估计出 原子核的大小约为 10-15m， 原子的大小约为 10-10m。 （ 2） 氢原子光谱规律 1889 年里德伯发现氢原子光谱的所有波长有一个普遍的经验公式，为 1 2 1 1 122121 1 1( ) 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ,R n n n n nnn 式中， R=1.096776107m-1，称为里德伯常数。上式称为里德伯方程。对每一个 n1，里德伯方程构成一个谱线系： n1=1 n2=2,3,4 赖曼系（紫外区） n1=2 n2=3,4,5 巴耳末系（可见光区） n1=3 n2=4,5,6 帕邢系（红外区） n1=4 n2=5,6,7 布喇开系（远红外区） n1=5 n2=6,7,8 普丰特系（远红外区） （ 3） 波尔模型理论 i. 定态假设 原子中的电子绕核作圆周运动，并不向外辐射能量，其轨道半径只能取一系列 不连续 值，清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 22 页 对应的原子处于稳定的能量状态。 ii. 跃迁假设 电子从一个定态轨道（设对应的原子定态能量为 En2）跃迁到另一定态轨道（设定态能量为 En1）上时，会辐射或吸收一定频率的光子，能量由这两种定态的能量差决定，即 12nnh E E iii. 角动量量子化假设 电子绕核运动，其 轨道半径不是任意 的，只有电子的轨道角动量满足下列条件的轨道才是允许的。 1, 2 , 3 ,2hm v r n n 式中正整数 n 称为量子数。 波尔模型只适用于氢原子或类氢原子。 16.4 原子核 （ 1） 原子核的电荷、质量和大小 原子核带 正电 ，其电量 Q 等于基本电荷 e 的 整数 倍，即 Q=Ze。正整数 Z 称为原子核的电荷数，也成为该元素的原子序数。原子核的质量几乎是原子质量单位的整数倍，即 M 核 =Au。A 为原子核的质量数，一个原子质量单位定义为 1u=1.66056610-27kg。 原子核 接近球形 ，其半径为 130R RA 。实验测得 R0=1.210-15m。 所有原子核的质量密度几乎相同，约为 21017kg/m3。 （ 2） 原子核衰变 i. 天然放射现象 天然放射现象指放射性元素自发的放出射线的现象。 1896 年贝克勒尔第一次在实验室中观察到这种现象。 天然放射现象有三种射线： 射线 、 射线 和 射线 。 射线是氦核（ 42He ）组成的粒子流， 射线是高速电子流， 射线是波长很短的电磁波。 ii. 放射性衰变规律 设 t=0 时原子核的数目为 N0，则 t 时刻尚未发生衰变的原子核数为 0 tN N e 。式中称为 衰变常数 ，是反映衰变快慢的物理量。 放射性原子核衰变掉原有核的一半所需的时间称为 半衰期 T，因此 ln 2 0.693T 。T 与 是放射性原子核的 特征常数 ，与原子所处的物理或化学状态无关。 （ 3） 原子核的组成 原子核由质子和中子组成，质子和和中子统称为核子。原子核的质量数 A 等于其核子数（质子数 Z+中子数 N），质子数 Z 即为原子序数。 质子数 Z 相同，中子数 N 不同的原子称为 同位素 ；质量数 A 相同质子数 Z 不同的原子称为 同量异位素 。 （ 4） 核反应 核反应是原子核受一个粒子撞击而放出一个或几个粒子的过程。核反应过程遵守 电荷守恒 、 核子数守恒 、 动量守恒 及 总质量和联系的总能量守恒 。利用这些规律可列写核反应方程。 核反应能 Q 定义为 反应后粒子的动能 超出 反应前粒子动能 的差值。根据 总质量和联系的总能量守恒 ，由 反应前后核和粒子的静质量 可得出反应能 Q 的计算公式。根据 动量守恒 ，清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 23 页 也可由 入射粒子和出射粒子的动能及这两种粒子运动方向角的夹角 得出反应能 Q。 21 2 1 2 ( ) ( ) Q M M M M c （ 5） 质能方程 i. 质能方程 爱因斯坦由相对论得出质能方程为 2E mc 。 ii. 质量亏损 在原子核的质量小于核内核子质量之和，原子核的质量 M 与组成它的核子的质量总和的差值称为 质量亏损 。 ( ) ( )p n k H n am Z m N m M Z M N m M 式中， mp为质子质量， mn为中子质量， Mk为核质量， MH为氢原子质量， Ma为原子质量。 自由核子在结合成原子核时能量减少了 2E m c ，即有能量释放出来，这能量即为该核的 结合能 。如果要将核子分解成自由核子，必须提供与结合能相同数值的能量。可见，核子间有引力相互作用，称为 核力 ，核力只在 很短的距离内发生作用 。 原子核中平均 每个核子 的结合能称为 平均结合能 ，用 表示， EA 。 16.5 狭义相对论 狭义相对论基于两个基本假设： i. 相对性原理 ：物理定律在一切惯性系中都是相同的，因此在一惯性系中所做的任何物理实验都不能确定这个惯性系的运动状态。 ii. 光速不变原理 ：在任一惯性系中测得的光在真空中的速度都是 c，与光源的运动无关。 16.6 时间膨胀与长度收缩 假定列车（ K系）以匀速 V 相对地面行驶，车厢高度为 b。车厢底部有一光源，正对面顶部放一反光镜，光在车厢内一个往返车厢内观测者测得时间 2bt c 。 路基（ K 系）的观测者看到光是锯齿路径，所用时间 2222 ()2l V ttbcc 。两式消去 b 得 22211ttttVc 式中， =V/c，211 。 上式说明在一个惯性系中，运动的时钟比静止的时钟走得慢，这就是 时间膨胀效应 。t是在相对时钟静止的参考系中测得的时间，称为 固有时间 。 类似的，在两个惯性系中用激光测量长度时， K系中长度 L与 K 系中长度 L 的关系为 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 24 页 2 2211VLL L Lc 上式说明在相对于物体静止的惯性系中测得的物体长度最长，在相对物体运动的惯性系中测得的长度沿运动方向会缩短，这就是 长度收缩效应 。 L是在与物体相对静止的 K系中测得的长度，又称为 固有长度 。 16.7 洛伦兹变换 设两坐标原点 O、 O在 t=t=0时重合， K系以匀速 V 沿重合的 x 和 x轴正方向运动。设在 x 轴上 A 点发生一事件，对 K 系 x Vt x ，解得 221x Vtx Vc K 系和 K系的运动是相对的，因此有 221x Vtx Vc 消去 x可解得 2221t Vx ct Vc 消去 x 可解得 2221t Vx ct Vc 由于速度沿 x 方向，因而有 ,y y z z ,y y z z 以上公式称为 洛伦兹变换和逆变换公式 。从洛伦兹变换出发可得到 速度变换公式 21 xx xvVv Vv c 22211yy xv V cv Vv c 22211zz xv V cv Vv c 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 25 页 16.8 同时的相对性 设 K 系观察到的 A、 B 两事件分别在 a、 b 两点处同时发生 tA=tB， a、 b 相距 x=xb-xa，那 K系观察到 A、 B 两事件发生的时间间隔为 2 2 2( ) ( ) ( ) 0B A B b A a a bV V Vt t t t x t x x xc c c 上式说明在一惯性系 同时但不同地 发生的两件事，在另一惯性系观察 不同时 发生。但有因果关系的两事件的先后次序不会颠倒 ，这是因为狭义相对论理论要求所有运动速度、信号传播速度及作用传递的速度都不能超过光速 c。 16.9 相对论力学 相对论中， 质量随物体运动速度的变化规律 为 220 1m m V c， m0是物体静止时的质量。 于是， 相对论中动量 的形式为 220 1P m V m V V c 这样得到的动量守恒定律是满足洛伦兹变换的。 相对论中运动物体的总能量 的形式为 2 2 2 20 1E m c m c V c 物体静止时的能量称为物体的 静能 ，有 E0=m0c2。 物体的 动能为总能与静能之差 ，有 EK=mc2-m0c2。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 26 页 导学 习题 9. 电路 例 1 (2008 年清华大学 )如图所示，有线网络电路中，除最后一只电阻为 Rx，其余电阻阻值都是 R，那么要使 AB 两点间等效电阻与网络级数 n 无关， xR =_R. 解析：满足题意的条件对应最后四个电阻的等效电阻值为 xR ，即 1 1 12xxR R R R 得 31xR ( )R. 例 2 （ 2007 年上海交通大学 )图中所示为一同学设计的通过电压表读数显示物体质量的实验装置和电路示意图，托盘和弹簧的质量均不计 .弹簧的上端与变阻器相连，托盘中无重物时，电压表的读数为零 .设变阻器的总电阻为 R，长度为 L，弹簧劲度系数为 k，不计摩擦，则物体质量 m 与电压表读数 U 间的关系为 _ 解析： 盘中放质量为 m 的物体后，弹簧压缩量 x mg/k ，而电压表示数 xU IR . 其中 0I E / ( R r R ) 得 0m kL U ( R r R ) / g R E 例 3 (2010 年北京大学 )正四面体 ABCD，每条边的电阻均为 R，取一条边的两个顶点，如图中 AB，问整个四面体的等效电阻ABR为多少 ? 解析 ：本题考查电路图的简化及电路结构的对称性 由题意，等效的电路图如图所示 假设电流从 A 端流入， B 端流出，则 A 点开始电流分三路，其中 A-D-B 与 A-C-B 完全相同，则 D 点与 C 点等电势，因此 CD 间无电流通过， CD清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 27 页 线可除去 AB 间的电阻为： 11 1 1 222A B A D D B A C C B A B RR ( R R ) / / ( R R ) / / RR R R 10. 磁场 例 4 (2008 年南开大学 )如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度 B=1.57T绝缘小球 1 带正电，其电量与质量之比 11q m 4c kg/ ，所受重力与电场力的大小相等 ；小球 2 不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上 小球 1 向右以 v0=23.59m/s 的水平速度与小球 2 正碰，碰后经过 0.75s 再次相碰 设碰撞前后两小球带电情况不发生改变 ，且始终保持在同一竖直平 在面内 (取 g=10m/s2)问： (1) 电场强度 E 的大小是多少 ? (2) 两小球的质量之比 21mm 是多少 ? 解析： (1) 小球 1 所受的重力与电场力始终平衡 11mg=qE E=2.5N/C (2) 相碰后小球 1 做匀速圆周运动： 由 211 1 1 1vqvB m R得 11 1mvR qB 周期为 112 1mTsqB 两小球运动时间 t=0.75s=3/4T 小球 1 只能逆时针经 34 个圆周时与小球 2 再次相碰 第一次相碰后小球 2 作平抛运动 21 12h R gt 12L=R vt v2=3.75m/s 两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向 1 0 1 1 2 2m v m v m v 111 17 66q BRv.mm/s 两小球质量之比 2 0 112m v vmv =11 例 5 (2013 北约自主招生 ) 如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度 B 的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中 a 、 b 两点在同一水平线上，两点相距 l 。带电量 0q ，质量为 m 的质点 P ，以初速度 v 从 a 对准 b 射出。略去空气阻力，不考虑 P 与地面接触的可能性，设定 q 、 m 和 B 均为不可改取的给定量。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 28 页 (1) 若无论 l 取什么值，均可使 P 直线运动通过 b 点，试问 v 应取什么值？ (2) 若 v 为（ 1）问可取值之外的任意值，则 l 取哪些值，可使 P 必定会经过曲线运动通过 b 点？ (3) 对每一个满足 (2)问要求的 l 值，计算各 种可能的曲线运动对应的 P 从 a 到 b 所经过的时间。 (4) 对每一个满足 (2)问要求的 l 值，试问 P 能否从 a 静止释放后也可以通过 b 点？若能，再求 P 在而后运动过程中可达到的最大运动速率maxv。 清北解析： (1) 若 P 直线运动，洛伦兹力与重力平衡，则应满足： 0 = 0 = (2) P 受到的合力为： 合 = = 0 = 质点 P 的运动可视为沿 ab 连线方向做速度为 0的匀速直线运动和速度为 的圆周运动的合运动（有的书中称为 “漂移 ”圆周运动）。其周期： = 2 = 2 = 0 = 0 = 2222 ( = 1,2,3,) 可以看出，质点 P 每个周期的前进位移与初速度 无关。 (3) 分析过程同上。 = = 2 ( = 1,2,3,) (4) 若静止释放，则有 = 0，即 = 0。质点 P 一定可以通过 b 点。质点做直线运动与匀速圆周运动的叠加运动，最大速率为到达圆周运动速度方向与直线运动速度方向相同时，最大速率为： = 20 = 2 清北点评： 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 29 页 此题涉及洛伦兹力、磁场圆周运动等知识点，题目有一定难度。对于后几问，核心知识点为运动的 合成与分解 。针对 “运动的合成与分解 ”，高考中常遇到的解决方法是分解为互相垂直的速度分量，此题则 分解为直线运动和圆周运动 ，有了这个思想，则可以顺利解决问题。否则可能需要很深的数学功底和复杂的数学计算。 例 6 (2012 年华约自主招生 )如图所示，在 xOy 平面内有磁感应强度为 B 的匀强磁场，其中 (0, )xa 内有磁场方向垂直 xOy 平面向里，在 ( , )xa内有磁场方向垂直 xOy 平面向外，在 ( 0)x, 内无磁场 一个带正电 q质量为 m 的粒子 (粒子重力不计 )在 x=0 处，以速度 v0沿 x 轴正方向射入磁场 (1) 若 v0 未知，但粒子做圆周运动的轨道半径为 2ra ，求粒子与 x 轴的交点坐标 (2) 若无 (1)中 2ra 的条件限制，粒子的初速度仍为 v0(已知 )，问粒子回到原点 O 需要使 a 为何值 ? 解析：本题主要考查带电粒子在磁场中的运动的熟练掌握 (1) 粒子以速度 v0 进入磁场，在洛伦兹力的作用下以 v0 做匀速速圆周运动 根据题中给出的磁场分布，知粒子在 (0, )xa的区域内洛伦兹力向上， ( , )xa区域内洛伦兹力向下 由 2ra 可知粒子水平方向位移为 a 时，速度方向为斜向右上，故粒子以这个速度进入右边的磁场，顺时针方向画半圆 粒子运动轨迹如图 设左边圆周运动的圆心为 A，右边圆周运动圆心为 C， ACH ， 则 2 4 5A c s i n B c s i n O D r s i n r s i n a ， 即 ， 解 得 2 2 2C H r c o s r ( - )a ，故 22 2 2 1H M r C H a 因此，粒子与 x 轴的的交点坐标为 2 2 2 1 2 1 2 1O M r s i n a a ( ) (2) 当 ra 时，则粒子将从 y 轴以水平向左的速度射出，而 0x 区域内无磁场，故 ra时粒子不可能回到原点 当 ra 时，轨迹如 (1)，当粒子到达 M 点后继续运动，若 C 位于 x轴下方，则粒子会从 O 点下方射出 ；若 C 点位于 x 轴上方，粒子会从 O 点上方射出 ；当 ra时粒子的运动轨迹对 x 轴对称，刚好能从 O 点射出，如图 xyo a 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 30 页 可知此时 2 0 5 = 60cos r / r . 得 由 200 mvqvB r得粒子在磁场匀速圆周运动的半径 0mvr qB 此时 032 mva r sin qB 11. 电磁感应 例 7 (2013 北约自主招生 ) 如图所示，每边长为 a 的等边三角形区域内有匀强磁场，磁场感应强度 B 的方向垂直图平面朝外。每边长为 a 的等边三角形导体框架 ABC ，在 0t 时恰好与磁场区的边界重合，而后以周期 T 绕其中心沿顺时针方向匀速旋转，于是在框架 ABC 中有感应电流。规定电流按 A B C A 方向流动时，电流强度取为正方向流动。设框架 ABC的总电阻为 R ，则从 0t 到 2 /6tT 时间内平均电流强度 1I _；从 0t 到 2 /2tT 时间内平均电流强度 2I _。 清北解析： = T/6时，三角形旋转至如图 ABC位置： ( A B C A 为正方向 ) 1 = 1 = 34 (13)2 316= 32 2 A 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 31 页 T/2时，三角形旋转位置同 T/6时，但端点不变： 2 = 2 = 34 (13)2 312= 36 2 例 8 (2013 华约自主招生 )如图，电阻为 R 的长直螺线管，其两端通过电阻可忽略的导线相连接一个质量为 m 的小条形磁铁从静止开始落入其中，经过一段距离后以速度 v 做匀速运动假设小磁铁在下落过程中始终沿螺线管的轴线运动用无翻转 （ 1） 定性分析说明：小磁铁的磁性越强，最后匀速运动的速度就越小； （ 2） 小磁铁做匀速运动时在回路中产生的感应电动势约为多少？ 清北解析： (1) 根据楞次定律，小磁铁的磁性越强，通过导线环的磁通量越大，因此下落过程中在导线环中产生的感应电流越大，这些感应电流产生的磁场也越强，从而对小磁铁的阻碍也越大，小磁铁向下运动的加速度越小，因此其极限速度就越小 (2) 解法一： 考虑匀速过程中，动能不变，则重力功率完全转化为电路发热功率： = 2 直接可得 = mgvR 解法二： 设小磁铁做匀速运动时，下落距离 h ，在此过程中有 mgh Q 式中 Q 为小磁铁下落时在螺线管中产生的焦耳热，其大小为 2QtR 式中 是感应电动势， t 是小磁铁通过距离 h 所需的时间由小磁铁匀速运动，因此有 2 hmgh Rv 联立上面三式可得 mgRv 例 9 (2007 年上海交通大学 )如图所示，有一与电容器 C 串联的光滑矩形金属轨道，轨道宽度为 L，与地面呈 角放置，轨道上有一质量为 m，其长度方向与轨道垂直的金属杆 AB 可以在矩形轨道上自由滑动，整个系统处于与轨道平面垂直的均匀磁场 B 中，若金属杆 AB原来处于离轨道底部距离为 d 的位置，忽略整个系统的电阻，求金属杆从静止开始滑动到矩形轨道底部所需要的时间 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 32 页 解析：任意时刻棒切割磁感线产生的感应电动势为： U=BLv 对棒有 mg sin BIL ma 而 CI Q / t C U / t C B L v / t C B L a 故 22a m g sin / ( m C B L ) 而 2 2d at / 得 222t d ( m C B L ) / ( m g s in ) 12. 交流电 例 10（ 2006 年同济大学）某理想变压器，当其输入端接在电动势为 E、内阻为 r 的交流电源上时，输出端接上电阻为 R 的负载时， R 上可获得最大功率，求： (1) 这时输入电流多大？负载上的最大功率为多少？ (2) 负载获得的最大功率时，变压器的原副线圈电压各为多少？ (3) 变压器的变压比为多少 ? 解析： (1)设原线圈中电流为 1I ，则负载上的功率 211P I E I r 当 1 2I E/ r 时， 2 4maxP E / r (2)由 22maxP U / R 得 2 05U . E R r 而 (3) 1 2 1 2n / n U / U r / R 例 11 (2007 年东南大学 )如图所示，在磁感应强度为 B方向与纸面平行的匀强磁场中 ，一电阻为 R边长为 l 的单匝正方形闭合导线框绕与磁场方向成 45角的 OO轴 (在纸面内 )以角速度 匀速转动 .图示时刻，线框的 ab 边受到的安培力大小为 _，线框消耗的电功率为 _ 解析：此时线框中电动势达最大值，值为 2mE B l ， mI E / R ，相应的线框 ab 边受到的安培力 23F BIL B l / R . 此时线框消耗的瞬时电功率 2 2 2 4mP E / R B l / R 注：如果求一个周期内的电功率则应用有效值计算，因线框中电流为正弦交流电，故有效值2mE E / ，平均功率则为 2 2 4 2P B l / ( R ) . 11222 rU E rE / ( r ) E /U / U / R 故清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 33 页 13. 几何光学 例 12 (2010年南京大学 )一束间距为 R的光线沿平行于某一直径的方向对称地射入半径为 R的均匀介质球中， (1)为何光不在后表面发生全反射 ? (2)假如有一束光的光路图如图，求均匀介质球的折射率 解析 ：本题考查全反射发生的条件及光的折射定律 (1)由于入射光线与后表面的出射光线所在的介质相同，而球中也为均匀介质，因此由光路的对称性可知，后表面的出射角一定等于初始入射角，因此不会发生全反射 (2)如图所示， 2 05R/sini .R，即 30i 同时 2 15i/由 sini nsin 得30 15sin nsin ，即 2 15 1 93n cos . 例 13 (2011 年北约自主招生 )如图所示，置于空气中的等腰直角三棱镜 ABC 的斜面长 4l ，其中 BD 段长 l ，棱镜材料折射率为 n (1)如图中实线所示，从 D 点正入射的细光束在直角面 ABAC 外侧均无透射光，试求 n 的取值范围 (2)取 n 为 (1)问所得最小值，略去入射光在镜内经过三次或三次以上的反射光线 如图中虚线所示，对于从斜上方 30 入射到 D 点的细光束，试问在直角面 AB 外侧和在直角面 AC 外侧是否有透射光 ? 解析： 本题考查全反射及光路图 (1)由题意可得 145sin sinC n，解得 2n (2)镜内的出射光能发生全反射现象时的入射角，对从 D 点斜入射的光路如图所示 则有 1130 2sin n sin sin解得1 24arcsin ，从而得1 1 1 09 0 1 8 0 4 5 9 0 4 5 4 5 ( ) ，因此，这表明 AB 表面外侧无透射光 ；而反射的光线射至 AC 内侧面上，入射角为2 1 1 1 09 0 1 8 0 9 0 9 0 9 0 4 5 ( ) ，故 AC 表面外侧有透射光 例 14 (2013 华约自主招生 )如图所示， 在光学用直导轨型支架上，半径为 R 的球面反射镜放置在焦距为 f 的凸透镜右侧，其中心位于凸透镜的光轴上，并可沿凸透镜的光轴左右调节 (1) 固定凸透镜与反射镜之间的距离 l ，将一点光源放置于凸透镜的左侧光轴上，调节光源在光轴上的位置，使该光源的光线经凸透镜 反射镜 凸透镜后，成实像于点光源处问该点光源与凸透镜之间的距离 d 可能是多少？ (2) 根据 (1)的结果，若固定距离 d ，调节 l 以实现同样的实验目的，则 l 的调节范围是多少？ 清北解析： 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 34 页 (1) 可分下列三种情况讨论： 第一种情况： 通过调节光源与透镜之间的 d 值（ df ） 如图所示 当 v R l 即：由光源发出的任意光线穿过透镜后，点光源成实像于透镜右侧光轴上 的 C 点，而 C点正好处在反射镜的球心位置上，光线会沿反射镜的半径方向入射到它上面，并将沿同一 路径反射回去，所有这样的光线都将会聚于光源所在点 由 1 1 1d v f ，解得 f l