红参配重中的数学问题

f 2 P 等 去) - 2 【卜西( 击J 式中，X 为单支人参质量，是一个随机变量；P 为 事件的概率：中为标准正态分布的分布函数。 为了计算方便和有代表性，我们分别令l = 1 2 6 5 ， = 2 x I 2 6 5 = 3 x 1 2 6 5 查表计算得 张油加工簇搋 万方数据 技术食品工程 P X 一1 5 2 x 1 2 6 5 = 2E 1 一西( 1 ) 一0 3 1 7 4( 1 ) P X 一1 5 2 x 1 2 6 5 = 2E 1 - 吐j l ( 2 ) 一O 0 4 5 6( 2 ) 舟 X 一1 5 3 x 1 2 6 5 _ 2 1 - 中( 3 ) 一0 0 0 2 6( 3 ) 式( 1 ) 表明10 0 0 支人参中约有3 1 7 支落在 1 3 7 3 5 ，1 6 2 6 2 范围外；式( 2 ) 表明l0 0 0 支人参 中只有约4 6 支落在 1 2 1 4 ，1 7 5 3 范围外；式( 3 ) 表明l0 0 0 支人参中只有约3 支落在 1 1 2 0 5 ，1 8 7 9 5 范围外。 对于一般的包装要求，我们可取l = 2 x 1 2 6 5 ，把质 量小于1 2 4 7 9 和大于1 7 5 3 9 的分别放入两回收箱。作 其他规格的包装处理。这样可以保证9 5 的红参快速 参与配重。 2 自由进入配重盒红参支数的确定 对于质量在 1 2 1 4 ，1 7 5 3 范围内的人参，可以 不加选择地一次放入空盒多少支合适呢? 先装入1 9 支肯定是没问题的因对每一支人参， 如其质量为1 5 + t 。都可找到与其“配对”的一支，质 i t 在 1 5 一t ，1 5 一件古J 范围内，这样两支“人参对”质 量和即在1 3 0 ，3 0 + 古J 范围内，1 9 个这样的“人参对” 总质量即满足要求；但这样做将有太多人参不被选中， 而使机器“空跑”。 如先装人3 7 支人参。的确能极大限度地利用人 参；但只用一支人参作调节，又很难保证质量要求。 那么。首先装入空盒的人参支数J j 为多少合适呢? 以式( 2 ) 中l = 2 x 1 2 6 5 说明。设置为第i 支人参 k 质量，i = l ，2 ，k ，则n = 置为k 支人参质量和， i ：1 且K 服从参数为1 5 k ，k x l 2 6 5 2 的正态分布，即h 。 ( 1 5 k ，1 6 0 0 k ) 。 同样，由正态分布的3 仃原则，考虑到已去除单支 质量在 1 2 4 7 ，1 5 5 3 以外的人参，则几乎可认为h 落在【1 5 k 一3 、面，1 5 k + 3 、丽】范围内，将此区间 按概率分为1 2 个区间由正态分布概率密度的对称 性，即把 1 5 k ，1 5 k + 3 、雨】分为6 个区间，记t ：= 1 5 k + t i ，U i = 兰兰，i = l ，2 ，6 。如图l 所示。 、1 6 后 因为 Pa 5 k Y f “= Pa s k Y 1 5 k + t i 墩柱油加工 图1X 的概翠霉厦图 廿 。嚣击) = P 0 等瓠 = 中( 地) 一妒( O ) ， 令尸： 1 5 k 一 Y t “2 寺，得巾如) 2 丁1 + 寺，i = 1 ，2 ，6 。 式中，P 为事件的概率；咖为标准正态分布的分布 函数；Y 。为随机变量，表示k 支人参质量和；t i 为1 5 k 右侧等概率区间的区间端点。 由丁1 + 寺的值查表得地的值见表1 。 表1等概率区间之t t = 生：! ! ! 数值表 、1 6 k 表1 中最后一行阮即为服从标准正态分布的随机 变量兰鬯在原点右侧分为6 个等概率区间的区间端 、1 矾 点，对于具体的k ，t ：= 1 5 k 4 兰兰即是把y k 在1 5 k 、1 6 | | 右侧分为6 个等概率区间的区间端点。 统计观察表明，首先一次性不加选择地装入k 支， 用s = 3 8 一k 支作调节，质量不易满足的情况发生在h 偏 大、偏小的情况。同样由于概率密度以菇) 的对称性，h 偏大、偏小出现的概率相同，现仅就h 偏大来讨论。 考察最右侧区间 1 5 k + t ：，1 5 k + t ： ，即 1 5 k + 1 3 8 、1 6 后，1 5 k + 3 x 1 6 k ，由于八茗) 在该区间单调下降， 则在该区间n 的平均取值儿应小于其算术平均值。 薹善：1 5 k + 笪巡塑擘巫- 2 1 91 V l 丽6 k + 1 5 k 二二 取儿= 2 1 9 v q 面- + 1 5 k 由于儿偏大，则与这k 只配 重的另外s 支人参质量要足够小即其质量和应小于 万方数据 3 8 1 5 - - y I = 5 7 0 1 5 k 一2 1 9 l V T 丽6 k 一 即使这支平均质量小于 g F 5 7 0 - 2 1 可9 倔面一- 1 5 k = s x l 5 2 1 9 、T 万 S 那么，对于给定的尼，在以下的s 轮配重中，即传送 线上走过来的1 5 x s 支人参中能否找到至少s 支这样质量 小于q 。的人参是问题的关键。 由于X N ( 1 5 ，1 2 6 5 2 ) ，则从成批人参中随机抽取一 支，其质量小于q I 的概率为 p k = P 引胡( 帕卸( 篙旨) ， 式中，P 为事件的概率；中为标准正态分布的分布函 数：F 为随机变量彳的分布函数。 在余下s 轮配重中生产线上随机传送来的1 2 s 支人 参，质量小于q 。的人参出现的次数Z 服从参数为1 2 s ，R 的二项分布，即厶曰( 1 2 s ，P k ) 用m k 表示在1 2 s 支人参中，质量小于口。的人参最可 能出示的次数，则有概率公式： f ( 1 2 s + 1 ) R 或( 1 研1 ) 阼1当( 1 2 s + 1 ) R 为整数时 l l & k I 。 【 ( 1 2 s + 1 ) R 当( 1 2 s + 1 ) P k 不为整数时 其中， 代表取整函数。 表2 就k 的一些值，给出了砜的运算结果。 表21 2 s 支人参中质量小于的人参最可能出现的次数 食品工程技术 了留有余地，取k 为2 6 2 8 较合适。 3结论 本文针对红参配重机硬件和软件设计中存在的 几个问题，从数学的角度进行了回答。 首先。红参的配重区间越小配重精度越高。越易 完成配重，而实际配重区间又不容许太小。经计算， 对于包装总质量5 7 0 9 的压块红参，要保证9 5 的红 参快速参与配重的配重区间为 1 2 4 7 ，1 7 5 3 g 。 其次首次自由投入配重盒的红参支数对配重 的效率影响很大。太大和太小的效果都不理想。根 据计算。对于包装总质量5 7 0 9 的压块红参，自由投 人配重盒的红参支数取2 6 2 8 较合适。 参考文献 1 孙廷琮，吴文福，粱韵琴红参自动化配重机的研制 J 农 业T 程学报，1 9 9 0 ，( 6 ) ：9 4 9 9 2 吴文福，孙廷琮，周佩城红参配种机配重过程的数字仿真及 工作试验研究 J 农业工程学报，1 9 9 0 ，( 9 ) ：4 4 5 0 3 盛聚，谢式干，潘承毅概率论与数理统计 M 北京：高 等教育出版社2 0 0 1 4 李忠范黄万风孙毅线性代数与随机数学习题课教程 M 北京：高等教育出版社，2 0 0 6 收稿日期：2 0 0 8 0 5 - 1 2 作者简介：竹瑶( 1 9 6 4 - ) ，女，长春人，讲师，研究方向工程教 学及应用。 通讯作者：宋东哲( 1 9 7 3 - ) ，男，长春人，讲师，研究方向工程 数学及应用。 通讯地址：( 1 3 0 0 1 2 ) 吉林省长春市 表2 说明，如k = 3 0 ，即首先一次性投入空盒3 0 支， 当这3 0 支质量和y 偏大，则需要与之配重“8 支人参平 中国油脂工业发展史征订启事 均质量小于1 3 1 0 34 9 ，而接下来传送来的8 1 2 支人参 该书全面、系统、真实地记录了中国油料、油脂的 中，这样的人参最可能只有6 只，显然不能满足配重要 文明吏和制油业的发展进程。全书共十六章，2 3 万字 求。 定价：4 5 0 0 元( 舍邮费) 。 此表也看出。在此范围内，当首先投入的人参s 支数汇款地址：( 1 0 0 0 8 3 ) 北京市德胜门外北沙滩1 号 少一支，在余下的s 支人参中，质量小于相应要求的人参 1 6 信