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文档简介

3.3.1拉格朗日中值定理,定理3.3(拉格朗日中值定理),(1)在闭区间a,b上连续;,(2)在开区间(a,b)内可导;,使得,3.3拉格朗日中值定理及其应用,若函数f(x)满足:,几何解释:,分析:,化为罗尔定理的结论形式,在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.,证作辅助函数,拉格朗日中值公式,即,或,如缺少定理两个条件的任一个,结论可能不成立.,(1)类似地定理的条件是充分的,且点不唯一.,(2)定理的结论有几种等价写法:,5,推论3.3,有限增量公式,证,不妨设,例1证明当,证,而,故,例2证明,证,令,故,证,命题得证.,例3证明当,推论3.4,单调递增;,单调递减.,3.3.2函数的单调性,在(a,b)内可导.,证(1),由拉格朗日定理,在a,b上,在a,b上,解,例4讨论函数的单调性.,定义域为,注1:推论3.4对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,函数的单调区间求法:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的分界点,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,解,定义域为,导数不存在.,例5讨论函数的单调性.,解,定义域为,例6讨论函数的单调性.,导数不存在;,由零点定理：,例7讨论方程在内的实根.,解,原方程在内至少有一实根.,综上所述,原方程在内有且仅有一个实根.,因此,原方程在内至多有一实根.
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