概率论第二章内容总结与案例.ppt

,第二章内容回顾,分布函数的性质,F(x)单调不减，即,且,F(x)右连续，即,用分布函数表示概率,a,b,p.d.f.连续随机变量密度函数f(x)的性质,1,2,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r.v.的d.f.,3,在f(x)的连续点处，,f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率,数学期望的性质,(1)E(c)=c,(2)E(aX)=aE(X),(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X),2.3.2方差的性质,(1)Var(c)=0.性质2.3.2,(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性质2.3.3,(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质2.3.1,2.3.3切比雪夫不等式,切比雪夫不等式,易知越大的取值越分散,切比雪夫,定理(泊松定理)在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关),如果n时,npn(0为常数).则对于任意给定的k,有,超几何、二项、泊松分布之间的近似关系,定理超几何分布的极限分布是二项分布,即，在超几何分布中对于固定的n，k，如果limN+=p则有极限关系：limN+=Cnkpk(1p)nk对所有的0kn都成立。,一般当n0.1N时可以用这个近似的计算公式,MN,CMkCNMnkCNn,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p)的数学期望=1/p,0-1分布的数学期望=p,二项分布b(n,p)的数学期望=np,泊松分布P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1分布的方差=p(1p),二项分布b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布P()的方差=,几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2,P(Xm+n|Xm)=P(Xn),几何分布的无记忆性,指数分布的无记忆性,常用连续分布的数学期望,均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布Exp():E(X)=1/,正态分布N(,2):E(X)=,伽玛分布Ga(,):E(X)=/,贝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b),常用连续分布的方差,均匀分布U(a,b)的方差=(ba)2/12,指数分布Exp()的方差=1/2,正态分布N(,2)的方差=2,伽玛分布Ga(,):Var(X)=/2,贝塔分布Be(a,b):Var(X)=ab/(a+b)2(a+b+1),(x)的计算,(1)x0时,查标准正态分布函数表.,(2)xa)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a0,则P(|X|a)=P(aXa)=(a)(a)=(a)1(a)=2(a)1,一般正态分布的标准化,定理2.5.1设XN(,2),则YN(0,1).,推论:,若XN(,2),则,正态变量的线性不变性,定理2.6.2设XN(,2)，则当a0时，Y=aX+bN(a+b,a22).,由此得：若XN(,2)，则Y=(X)/N(0,1).,正态分布的3原则,设XN(,2),则,P(|X|)=0.6828.,P(|X|t)式中：T为测量仪器寿命，t为规定时间，当t=0时，R(0)=1；当t=时，R()=0,0,t,N,n(t),失效分布函数,0,t,N,n(t),t+t,n(t),产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：,威布尔分布,环断裂概率,n,t,t,收益问题,统计数据表明，一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p，在五年内死亡(非自杀)的概率为1-p，保险公司开办5年人寿保险，条件为参保者缴纳保费a元，若5年内死亡，公司赔偿b元，问b的取值应为多少保险公司才能获益？,虫卵发育问题,设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫卵是否发育为幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。,数学期望问题1,设随机变量X的概率密度为：求E(min|X|,1),数学期望问题2,对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望。,银行等待问题,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布，其密度函数为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离开。该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。请写出Y的分布。,离散随机变量与连续随机变量,设F(x)与G(x)都是分布函数，且a0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=aF(x)+bG(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开讨论,奇异型随机变量,F(X),0,0.5,问题1,解：记B=“至少出现一次双6点”，,则所求概率为,两颗骰子掷24次，求至少出现一次双6点的概率.,问题2从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2张都是假钞的概率.,例2,令A表示“抽到2张都是假钞”.,B表示“2张中至少有1张假钞”,则所求概率是（而不是！）.,所以,15,5,1,15,1,5,1,2,5,1,15,2,1,5,1,15,问题3盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个