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2019/12/305:53,近世代数,习题课(一),2019/12/305:53,例1：我们知道整数集合Z对于加法+而言作成整数加群；所有模n剩余类构成的集合是整数集合的一个分类（对应的是整数集合上的同余关系），我们的目的是规定由所有模n剩余类构成的分类上的一个代数运算，使其为一个群。,2019/12/305:53,所有模n剩余类构成集合记作,即,其中,规定代数运算,因为定义是用剩余类代表规定的象，而一个类中的代表很多，需要证明该对应与代表的选取无关。,2019/12/305:53,设,则,称此运算为模n剩余类加法，记,模n剩余类加法,模n剩余类集合,2019/12/305:53,对于模n剩余类加法,模n剩余类集合,构成一个群。,证明（定义法）,非空；封闭。,结合律,左单位元0,a的左逆元-a,2019/12/305:53,对于模n剩余类加法,模n剩余类集合,构成一个群。,证明（同态法）,整数集合Z对于加法+构成整数加群。,建立映射：,是同态满射。所以是群。,模n剩余类加群,2019/12/305:53,例2：求模12剩余类加群中每一个元的逆元和阶。,1单位元，阶为1，逆元是其本身1。,2逆元是10，阶为6；,3逆元是9，阶为4；,4逆元是8，阶为3；,5逆元是7，阶为12；,6逆元是其本身6，阶为2。,2019/12/305:53,例3：设S=1,2,3,4。规定SS上的一个二元关系R：,则R是一个等价关系。试给出其确定的分类。,分析：(a,b)和(c,d)有关系当且仅当a-b=c-d当且仅当差是相同的。从而确定7个类。,2019/12/305:53,差为00,(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),差为11,(2,1),(3,2),(4,3),差为22,(3,1),(4,2),差为33,(4,1),差为-1-1,(1,2),(2,3),(3,4),差为-2-2,(1,3),(2,4),差为-3-3,(1,4),2019/12/305:53,设,试证明,不同构.,证明：（反证法）如果,设,0不在N中，矛盾。,不同构.,2019/12/305:53,1：求模24剩余类加群中每一个元的逆元和阶。,课堂练习,2：设G是全体n阶可逆方阵集合，设N是一个可逆n阶方阵。设G上带有如下代数运算：任取方阵A，B。令,试用定义法和同态法证明G对于上述运算构成群。,2019/12/305:53,3：在非零复数集合C*中规定下面两个关系。,试证明R1，R2是等价关系，分别给出相应的分类，并且给出一个全体代表团。,4：设,那么，,不可能同构。,2019/12/305:53,5：试分别列举满足下面条件的关系。(1)
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