不定积分的概念与性质.ppt

4.1不定积分的概念与性质,1.原函数与不定积分的概念,2.基本积分表,3.不定积分的主要性质,4.直接积分法,即利用基本积分公式和简单变换直接计算,不定积分的方法.,作为基本功，要熟练掌握之.,引言,数学中的转折点是笛卡尔的变数.,有了变数,进入了数学;,有了变数,辩证法进入了数学;,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产,并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,他们发明的.,-恩格斯,运动,生,但不是由,数学发展的动力主要来源于,17世纪,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、,量.,微积分的创立首先是为了解决当时数,学,即求曲线,曲线围成的面积、,曲面围成的体积、,社会发展的环境力,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、,学,即求曲线,曲线围成的面积、,曲面围成的体积、,物体的重心和引力等等.,此类问题的研究具有久远,的历史,例如,古希腊人曾用穷竭法求出了某些图,形的面积和体积,我国南北朝时期的祖冲之、,也曾推导出某些图形的面积和体积,而在欧洲,此类问题的研究兴起于17世纪,修改,后来由于微积分的创立,大类问题的方法.,祖恒,对,先是穷竭法被逐渐,彻底改变了解决这一,由求运动速度、,曲线的切线和极值等问题产生,引言,由求运动速度、,曲线的切线和极值等问题产生,了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;,时由已知速度求路程、,已知切线求曲线以及上述求,面积与体积等问题,产生了不定积分和定积分,同,构成了微积分学的积分学部分.,前面已经介绍已知函数求导数的问题,们要考虑其反问题:,已知导数求其函数,数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.,现在我,这种由导,一、原函数的概念,定义,从上述后面两个例子可见:,唯一的.,设是定义在空间上的函数,若存在函,数对任何均有,或,则称函数为在区间上的原函数.,例如,因为,故是的一个原函数;,因为,故是的一个原函数;,因为,故是的一个原函数;,一个函数的原函数不是,一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.,事实上,则,事实上,即有,若为在区间上的原函数,(为任意常数).,从而也是在区间上的原函数.,设和都是的原函数,(为任意常数).,由此知道,若为在区间上的原函数,则,由此知道,若为在区间上的原函数,则,函数的全体原函数为,(为任意常数).,原函数的存在性将在下一章讨论,个结论:,这里先介绍一,注:,函数求导得来的.,则其全体原函数为,区间上的连续函数一定有原函数.,求函数的原函数,实质上就是问它是由什么,而一旦求得的一个原函数,(为任意常数).,二、不定积分的概念,定义,若存在原函数,为积分符号,由定义知,则,在某区间上的函数,称为可积函数,并将的全体原函数记为,则,称它是函数在区间内的不定积分,其中称,称为被积函数,称为积分变量.,若为的原函数,(称为积分常数),注:,由定义知,求函数的不定积分,就是求,的全体原函数,在中,故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分),运算的逆运算.,积分号表示对函数实行求原函数的运算,例1,解,不相等.,设,则,而由不定积分定义,所以,完,例2,求下列不定积分,解,(1),从而,(2),从而,因为,因为,(3)因为,的原函数,从而,例3,已知曲线,为,且曲线通过点,求此曲线的方程.,解,根据题意知,从而,故所求曲线方程为,原函数,曲线.,三、不定积分的性质,由不定积分的定义知,即,所以,原函数,若为在区间上的,或,则在区间内的不定积分为,易见是的原函数,或,所以,又由于是的原函数,或,微分运算与积分运算的关系,所以,又由于是的原函数,或,从上可见微分运算与积分运算是互逆的.,两个运算连在一起时,一常数.,完全抵消,抵消后差,不定积分的性质,利用微分运算法则和不定积分的定义,算性质:,性质1,两函数代数和的不定积分,分的代数和.,即,证,证毕.,可得下列运,等于它们各自积,注:,此性质可推广到有限多个函数之和的情形.,性质2,求不定积分时,注:,此性质可推广到有限多个函数之和的情形.,性质2,求不定积分时,即,证,证毕.,非零常数因子可提到积分号外面.,完,四、基本积分表,(1),(3),(6),(2),(5),(是常数),(4),(7),(7),(9),(10),(11),(12),(13),(8),五、直接积分法,从前面的例题知道,不定积分是非常不方便的.,为解决不定积分的计算,质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法,直接积分法.,利用不定积分的定义来计算,问题,这里我们先介绍一种利用不定积分,的运算性,即,例如,计算不定积分,不定积分性质,积分基本公式,直接积分法,不定积分性质,积分基本公式,注:,多个不定积分作代数和运算时,只需统一记一,个积分常数,例5,计算不定积分,解,完,例6,求不定积分,解,例8,求不定积分,解,