行列式和线性方程组的求解.ppt

,几何与代数,主讲:关秀翠,东南大学数学系,东南大学线性代数课程,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,自主学习,如何学好,做好预习复习,多看多练多想,工科基础,考研基础,期末成绩占90%,平时成绩占5%,分配时间,学习方法,数学试验占5%,未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习(Study,notlearn)的人_AlvinToffler(未来学家),怎样做(How?),为什么这样做(Why?),不这样做可以吗(Otherways?),应试型学习应用型学习,按时完成作业ABC,思维训练,趣味思考题,掌握三基基本概念(定义、符号)基本理论(定理、公式)基本方法(计算、证明)提前预习体会思路多动手，勤思考深入体会思想方法培养自学能力，独立分析问题能力和独立解决问题的能力,学习方法,返回,训练思维，塑造学生内在素质,1.学会观察，发现规律,2.培养耐心与坚韧的性格,书写计算非常繁琐，需要足够的耐心与细心,3.培养学生的发散思维,将结论做为条件进行倒推,一题多解，多解归一，多题归一,培养学生多角度看问题,利用精炼的语言艺术归纳、比拟,探讨变换问题条件,转换思考角度，训练思维的求异性,5.培养学生化繁为简的思考模式,6.培养学生分析问题的能力,非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力,4.转化思想，训练思维的联想性,返回,课程内容与结构,一、线性代数,主要任务就是求解并应用线性方程组,二、空间解析几何,三、两者关系：,数量关系,在三维空间中:,空间形式点,线,面，二次曲面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,三维n维,ch1,核心工具初等变换,n维空间,成功的五要素空间,第一、目标,第二、胸怀,第三、勇气,第四、坚持,第五、聪明,创业老板成功十意识空间,一、创造梦想、发现机遇的意识,二、凝聚梦想、专注热爱的意识,三、学习新知、进取提升的意识,四、坚持社会公理、科学理性思维的意识,五、突破陈规、创新创造的意识,六、平和心态、调节情绪的意识,七、关注细节、紧盯结果的意识,八、改造员工、影响他人的意识,九、敢担责任、直面挑战的意识,十、居安思危、自省自警的意识,线性代数,一、主要任务,解线性方程组,线性方程组,方程间的关系,向量间的关系,矩阵的性质和运算,行列式的运算,返回,二、主要问题,应用线性方程组,求方阵的特征值特征向量,方阵的相似对角化问题,实对称矩阵的正定性,三、重点难点,向量组的线性无关性,矩阵的秩,核心工具初等变换,线性方程组：,(2)2(1)可得：,1/3(2)可得：,(1)(2)可得：,高斯消元法：,(2)+k(1)(k0),k(2)(k0),(1)(2),初等变换,线性代数的核心工具,经济政策模型,返回Det,LE,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,教学内容和基本要求,第一章行列式和线性方程组的求解,线性方程组的应用:平面的位置关系电路化学方程式配平交通流量营养配方搜索引擎投入产出模型,1973Nobel经济学奖,1.1二阶、三阶行列式,一.排列的逆序数,二.n阶行列式的定义,三.行列式的转置,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,第一章行列式和线性方程组的求解,1.1二阶、三阶行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当a11a22a12a210时,1.1二阶、三阶行列式,则当D=a11a22a12a210时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,方程组有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,第一章行列式和线性方程组的求解,1.1二阶、三阶行列式,=a11b2b1a21,二阶行列式的对角线法则,Cramer法则,例,三阶行列式的对角线法则,a1a2a3b1b2b3c1c2c3,=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2,每项都是三个元素的乘积.,每项的三个元素位于不同的行列.,问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗?,a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4,对角线法则可得八项的代数和；,每项的四个元素位于不同的行列可得4！=24项的代数和.,产生矛盾,否,第一章行列式和线性方程组的求解,1.1二阶、三阶行列式,a3b2c1a1b3c2a2b1c3,二.三阶行列式的特点,每一项都是三个位于不同行和列的元素的乘积.,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.,将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于1,2,3的6种排列.,各项系数与列标的排列的逆序数有关.,(1)1,对换2次,对换1次,(1)2,问题:如何利用二三阶行列式的其他特点计算四阶以上行列式?,对换的次数称为逆序数.,(1)0,第一章行列式和线性方程组的求解,1.1二阶、三阶行列式,a11a12a13a21a22a23a31a32a33,排列j1j2j3的逆序数,对所有不同的三级排列j1j2j3求和,第一章行列式和线性方程组的求解,1.1二阶、三阶行列式,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,1.逆序数,逆序：违反从小到大的正常顺序,一个排列的逆序数:所有数的逆序数的总和.,奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列.,逆序数k：设i1i2ikin是1n的一个排列,则ik在此排列中的逆序数k为排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,三.排列的逆序数与奇偶性,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,对换(变成12n)的次数称为逆序数.,例1.求下列排列的逆序数(1)32514,(2)n(n1)(n2)321,(3)(2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,2.对换,对换:对调排列中的任两个元素,其余元素不动.,相邻对换:将相邻的两个元素对换.,逆序数k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,定理1.1.每一个对换都改变排列的奇偶性.,推论.n2时,n个元素的所有排列中,奇、偶排列各占一半,即各有n!/2个.,注:任一相邻对换都改变排列的奇偶性.,任一对换都可通过奇数次相邻对换来实现.,a1alab1bmbc1cn,a1alabb1bmc1cn,a1albb1bmac1cn,a1alab1bm-1bbmc1cn,a1albab1bmc1cn,a1albb1abmc1cn,对换m次,对换m+1次,共对换2m+1次,a1alabb1bm,a1albab1bm,若ab,则a=a,b=b1,若ab,则a=a+1,b=b,=1.,=+1.,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,1.1-2方阵的行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,三.排列的逆序数与奇偶性,四.n阶行列式的定义,1.逆序数,2.对换：,1.n阶行列式的定义,2.几个特殊的行列式,二.三阶行列式的特点,每一个对换都改变排列的奇偶性.,第一章行列式和线性方程组的求解,3.行列式的转置,对角线法则,1.n阶行列式的定义,注:n阶行列式是n!项的代数和.,四.n阶行列式的定义（Determinant）,n阶行列式是定义在nn个数集合(n阶方阵)上的一个函数，即f(A)=detA:RnnR.,当n=1时,一阶行列式|a11|=a11,有正负号.,排列j1j2jn的逆序数,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,2.几个特殊的行列式,=a11a22ann,a1na2,n1an1,(1)对角行列式,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,第二章矩阵运算和行列式,(2)上(下)三角形行列式,=a11a22ann,=,2.2方阵的行列式,=,a1na2n-1an1,第二章矩阵运算和行列式,例1.证明f()是的n次多项式,并求n,n1的系数及常数项.,f()=,d1=(a11)(a22)(ann),f(0),2.2方阵的行列式,=(1)n|A|,=(1)n,=|A|,3.n阶行列式的另外一种定义,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.,=a11a22a33,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,+a31a12a23,+a21a32a13,a11a32a23,a21a12a33,a31a22a13,3.n阶行列式的另外一种定义,证明：,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,行列标逆序数之和的奇偶性不变,4.行列式的转置(Transpose),性质1|AT|=|A|.,记|A|=,|AT|=,第一章行列式和线性方程组的求解,1.2n阶行列式,或|A|=,=|B|,1.1-2方阵的行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,三.排列的逆序数与奇偶性,四.n阶行列式的定义,二.三阶行列式的特点,|A|:RnnR,Ex.,第一章行列式和线性方程组的求解,=|AT|,对角线法则,(A)填空题选择题：作为课下练习,一.(A)1(1-7