数学建模中的差分法.ppt

差分方程模型,一差分方程,1差分：,设函数，记为，当t取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列，,则差称为函数的差分，也称一阶差分，记为，即,二阶差分,同理，可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。,差分的性质：,2差分方程：含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如,3差分方程的阶,方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。,不同形式的方程可互相转化。,4差分方程的解,如果一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该方程的解。,例,一阶线性方程,有解,类似于微分方程可定义初值条件，特解等。,二差分方程平衡点的稳定性,1对于一阶线性常系数差分方程,满足方程,的解，称为上方程的平衡点。,即平衡点为,由于,方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面方程零点的稳定性。,方程（2）的解可表示为,可得到下面的稳定性结论。,当且仅当,时，方程（2）的平衡点（零点）是稳定的，从而方程（1）的平衡点稳定。,对于n维向量常数矩阵A构成的方程组,称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。,结论1,若r(A)1，则其平衡点是不稳定的；若r(A)=1，稳定性不确定。,A的特征根的集合,称为矩阵A的谱，称,为矩阵A的谱半径。,2对于二阶线性常系数差分方程,平衡点为,为了得到（4）零点的稳定性,我们求解方程（4）。,写出特征方程,解出特征值,通解为,其中常数由初值条件确定。,当且仅当,时，方程（4）的平衡点是稳定的。,结论2,非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方程（4）来研究。,对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根,3一阶非线性差分方程,平衡点通过求解方程,而得到。,研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部分的稳定性。,将方程（6）的右端在点作泰勒展开只取一次项，（6）近似为,也是（7）平衡点。,当,结论3,时，方程（6）与（7）,平衡点的稳定性相同。,结论4,当,时，方程（7）平衡点是稳定的；,当,时，方程（7）平衡点是不稳定的。,三常微分方程向差分方程转化（数值解）,1Euler方法,求初值问题的近似解。,只要给定就可求得,先把自变量所在的区间n等分；,例1从出发并取，求下列初值问题的近似解。,解,继续下去，自变量使用等间隔值，并生成其n个值，令,步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。,优点：容易编程计算。,例2从出发并取，求下列初值问题的近似解。,解,解,Malthus模型的离散形式,例3对于方程组的情形，Euler方法同样可用。,先把自变量所在的区间n等分；,步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。,对捕食模型,用Euler法求出前三次逼近，初始条件为,解,第一组点：,第一组点：,第二组点：,第三组点：,继续下去，就可生成数值解表。,如果方程组为自治系统，在相平面上就可得到近似的轨线图。,上机练习1：,对捕食模型,用Euler法，在相平面上画出轨线的近似图，观察其变化情况。,2Runge-kutta型方法,也是用来求初值问题的近似解，但比Euler方法收敛更快。,先把自变量所在的区间n等分；,Euler方法,常取,单步方法。,四差分方程模型举例,1差分形式Logistic模型,离散化,变形,令b=r+1,1）平衡点及其稳定性,求平衡点：,平衡点为,根据稳定的条件,当b3时，是不稳定的平衡点。,2）数值计算（上机练习2）,初值取b=1.7，2.6，3.3，3.45，3.55，3.57k=1,2,100,观察的变化趋势。,出现倍周期收敛现象。,一般地，一阶自治的非线性差分方程,3）混沌与分岔,若x*满足,则称x*为不动点，1-周期点。,若x*满足,则称x*为2-周期点。,4-周期点，8-周期点等，倍周期分岔。,练习：竞争猎兽模型,斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有其他种群存在的情况下，每个单种群都可以无限地增长，即在一个时间区间里（如一天）其种群量的变化与该时间区间开始时的种群量成正比。而第二种群的存在,降低了另一种群的增长率。假定这种增长率的减少与两种群的数量之积成正比。试建立数学模型考察两种群的演化规律。,一建立模型,根据题意，建立差分方程组,二模型求解,求平衡点,在平衡点处两种群的种群量不会发生变化。即如果一开始它们数量为150和200时，那么每天数量都保持不变。,数值计算在平衡点附近的情形,情形1,情形2,情形3,三结论,对初始点极其敏感，这样的平衡点是不稳定的。,栖息地共有350头猫头鹰和隼。,1）如果有150头猫头鹰，那么我们预测猫头鹰永远停留在这个数量上。,2）如果从栖息地移走一头猫头鹰，那么我们预测猫头鹰将会灭绝。,3）如果在栖息地安置151头猫头鹰，那么我们预测猫头鹰将会无限增长而隼将会灭绝。,4）如果开始在栖息地安置