（企业管理专业论文）复合期权与路径相关期权定价理论模型、数值模拟及应用研究.pdf

i 摘 要 多期复合期权与路径相关期权的定价问题是当今金融工程研究的热点。多期复 合期权定价问题仅在简单情形下可得到封闭形式的解，而且封闭形式的解中往往含 着高维嵌套积分，欲得到问题的数值解还需耗费大量的计算资源，因此严重地阻碍 了多期复合期权在理论、方法及应用方面的创新。与非路径相关期权相比较，路径 相关期权的定价模型中的多状态变量问题导致了问题求解的困难，难以反映复杂路 径相关特性对期权价值的影响。 本文借助于有限差分和有限元方法拓宽了多期复合期权和路径相关期权定价的 理论模型与应用的范围。 文中提出了变波动率多期复合实物期权模型，并将该模型应用于风险投资项目 评价； 提出了可转换债券定价问题的复合期权方法； 对一种特殊的路径依赖期权 巴黎期权进行了深入探讨，针对已有显式算法计算精度不足的缺陷，提出了巴黎期 权定价的一种半隐式有限差分算法，并证明了该算法的一致性；凭借半隐式格式构 造了投影超松弛方法，综合反映了可转换债券的美式期权特征与巴黎期权特征，给 出了一个具有赎回公告期限制和软限制赎回条款可转换债券的定价模型；在不同的 情景下对我国上市公司已发行的可转换债券进行了实证研究。 研究表明，有限差分和有限元方法在期权定价问题计算精度、计算效率及稳定 性方面有着显著的优势；变波动率多期复合实物期权能够更合理地评价风险投资项 目的内在价值以及项目的执行阈值；可转换债券的多期复合期权定价方法提供了一 种新的有效的定价技术；可转换债券赎回公告期的期限对其价值及发行者推迟赎回 行为有很大的影响，在为可转换债券定价时赎回公告期限制是个不能忽略的因素； 发行者与投资者的博弈为可转换债券定价模型带来了一个固定障碍，且使得可转换 债券的 delta 产生了不光滑性； 在可转换债券赎回条款中引入软限制能够使得可转债 的 delta 获得了局部的光滑性； 赎回公告期的类型与发行公司的与资产负债率的关系 并不明显，但与长期负债/总资产有某种相关性。本文得到的结论是很具有实际价值 的，能为实践提供科学合理的决策依据。 关键词：关键词：多期复合期权 路径相关期权 数值模拟 可转换债券 风险投资 ii abstract the valuation of multi-stage compound option and path-dependent option is the important problem in current financial engineering research. only in some simple situations the closed-form solution for multi-stage compound option can be derived. furthermore, there often exists high-dimension nested integral in the closed-form solution, which always costs huge computing resource and limits the development in the theoretical model and application of multi-stage compound option. compared with the option without path-dependent feature, the multiple state variables in the pricing model of path-dependent option bring the soluting difficulty and make it hard to reflect the impact of complex path-dependent features on option value. this paper extends the theoretical model and application scope of multi-stage compound option and path-dependent option using finite difference method and finite element method. this paper proposes the variable volatilities multi-stage compound real option model and gives its application on venture capital investment valuation; proposes compound option pricing model of convertiable bond; discusses the properties and pricing methods of parisian option, one kind of path-dependent option, and proposes the half-implicit finite difference method to improve the bad accuracy of the explicit finite difference method, and proves that this method is consistent; presents a pricing model of convertible bond with the soft constraint and notice period constraint call provision, which can reflect the the american and parisian feature of convertible bond; performs an empirical analysis on convertible bonds of listed companies in china under different scenarios. the result shows that the finite difference method and finite element method have significant advantage on the accuracy, effiency and stability when applied in option valuation; that the variable volatilities multi-stage compound real option model can give more reasonable valuation of venture capital investment and the optimal exercise strategy; that the compound option model can provide a good estimation for the value of convertiable bond; that the call notice period constraint has large impact on the value of convertible bond and the call behavior of issuer; that the game between issuer and investor brings a fixed barrier into the pricing model of convertible bond, which makes the convertible bonds delta appears non-smooth; that the introduction of soft restraint in the provisions of convertible bond can bring local smoothness to convertible bonds delta; that there is less relationship between the types of call notice period restraint and the issuers asset-liability ratio, but there is some relationship between the types and long-term iii debt/asset ratio. key words: multi-stage compound option, path-dependent option, numerical simulation, convertible bond, venture capital 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名：何志伟 日期：2005 年 4 月 28 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和 借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 何志伟 指导教师签名：龚朴 日期：2005 年 4 月 28 日 日期：2005 年 4 月 28 日 1 1 绪论 1.1 复合期权研究进展 复合期权是写在期权上的期权1。复合期权可分为简单复合期权和多期复合期 权。按照被复合期权的类型，简单复合期权又可分为：写在看涨期权上的看涨期权， 写在看跌期权上的看涨期权，写在看涨期权上的看跌期权，写在看跌期权上的看跌 期权，以及写在其他奇异期权上的看涨期权或者看跌期权等等。另外，按照标的资 产性质的不同，复合期权还可分为金融复合期权和实物复合期权。 复合期权模型的本质是一系列权利的嵌套，适合于描述涉及序列决策的问题， 在实践中得到了广泛的运用。譬如许多 r)(;),(0,.,1) nij n i ttr iin in in ij ijjj j cvereikrin + = = (2.4) 其中：() j j jmn rr =r；(1,2,;1,2,) m n mn rmj nj =?； ji ji tt + = 1 ,1,2,1, (,) j jiii ji j hhhh r； 1 ,1,2,1, (,) j jiii ji j kkkk r； 15 2 1 2 , 2 1 2 ln()() (1,2,.,1) ln()() () i viji ij viji i j i vni n vni v rtt v jni tt h v rtt i jni tt + + + + = = + = ； ,i ji jviji khtt + =； ij v + 是 ij t + 时的执行阈值，满足：() ijijij cvi + =; 1 1 1 2 2 1 1/2 1 (;) (2 ) j j mm xqx jjjj mqedxdx q = ?，(1,., )jn=,表示多元正态分 布的累积分布函数，其中 1 121 (,) j jjj mm mmm r是多元积分的积分上限， j j j q r为分布的方差协方差矩阵。 从解的形式可以看出，为了从中得到问题最终的数值解，须计算高维积分 j (1,., )jn=。同时，为了求解 ij v + ，还须对非线性的高维嵌套积分函数进行求根 计算：() ijijij cvi + =。这样，虽然解的一般形式已经给出，但是实际上为了得到问 题最终的数值解仍须耗费巨大的计算资源，尤其对于期数较多的情形，难以保证计 算过程的收敛，更难以对计算的误差进行分析。本文将在第4.1.1节以常波动率多期 复合期权模型为对象，对比lin文给出的解析近似法和有限差分方法的计算精度与 计算效率。 2.2 变波动率多期复合实物期权：一个扩展 尽管常波动率多期复合实物期权模型能够反映出多期特性，但是在某些应用背 景下其常波动率假设是不切实际的。譬如在高科技项目的风险投资中，项目不仅是 分阶段进行的，而且各阶段所具有的风险收益特性也是迥异的。本节将简单复合期 权模型同时在两个方面上进行扩展，在多期复合实物期权模型基础上引入变波动率。 本文将在第4.1节给出变波动率多期复合实物模型在风险投资评估上的一个应用， 结 果表明这种扩展是非常有意义的。 本节通过引入标的资产价值的多期运动过程来反映标的资产在各阶段具有的不 16 同风险收益特性。为描述简单起见，假设整个运作过程只有在到期日才产生现金流。 到期日之前出现现金流的情形也可以采用同样的方法进行分析，并无本质的区别。 假设投资决策时间点预先给定，且决策只能在每一期的期末做出。在任何决策点， 只有当期权的价值高于该时刻投资成本时该期权才会被执行，即进行下一期投资， 否则放弃项目，重复此过程直到期末。此决策模型如图2-3所示。 在图2-3中， (1)( )( 0,1) k k vtkn + =表示在第k个阶段内任一时刻 1 ( ,) kk t tt t + 标 的资产的价值， 其他符号意义同第2.1.2节。 与常波动率假设不同， 本文假设 (1)( )k k vt + 服从如下变波动率过程： (1)(1)(1)(1) /,(0,1) k kk kk kk kk dvvdtdzkn + =+= (2.5) 其中， (1)k k + 和 (1)k k + 分别表示瞬时期望回报率和瞬时期望波动率， k dz表示标准维 纳过程， 且var(,)0 kk dz dz =( ,0,1,1;)k knkk=。 由于 (1)k k + 和 (1)k k + 可随k变化， 则该模型可以用来描述标的资产价值在不同的阶段所具有的不同的风险收益特征。 假定在任一阶段市场上都存在着对应的均衡交易的“酷似证券”，且与标的资产价 值期望收益率之间有收益率亏空 (1)k k + ： (1)(1)(1)k kkmmk kk k r + =+，其中 km 表 示k阶段酷似证券与市场证券组合收益率之间的相关系数。依据风险中性定价理论， 将(2.5)变换到风险中性测度下： (1)(1)(1)(1) /() k kk kk kk k dvvrdtdz + =+ 由于投资决策时间点预先给定，实际上 (1) (, ) kk k c vt + 是一个写 (1)k k v + 上的，到期日 为 11kkk ttt + =的一个欧式相机权益。但是，尽管这个模型与常波动率模型很类似， 由于可变参数 (1)k k + 和 (1)k k + 的引入，传统的通过对终端条件折现来导出解析定价公 式的过程变得异常复杂，难以得到解的一般形式。本节给出定价的偏微分方程并提 出相应的边界条件，来建立变波动率多期复合实物期权模型的偏微分方程问题。 由于任一阶段实物期权的价值 (1) (, ) kk k c vt + 是欧式相机权益，由相机权益方法 0 f 1 t 2 t 1n t n t 0 t 1 f 1n f n f 01 v 12 v (n 1)n v 2n t 2 f (n 2)(n 1) v 2n f 图 2-3 变波动率多期决策模型 17 （contingent claim analysis）可以导出价值满足的控制方程： 2 22 1 (1)(1)(1)(1)2 2 (1)(1) ()0 kkk k kk kk kk kk k kk k ccc vrvrc tvv + + += (2.6) ()() 1(1) 0,1; ,0, kkk k kntt tv + =+ 由于在多期复合期权中前后的期权之间有着复合的关系，其终端条件和边界条 件的提法是互不相同的。 首先考虑最后一期， 可以看出 1()n c 类似于一个写在连续分 红股票上的欧式看涨期权。其终端条件的提法是： 1( ,)max(,0) nnnnn cv tvi = (2.7) 当标的资产价值为0时，期权的价值也为0，因此下边界条件的提法为： 1(0, ) 0 n ct = (2.8) 当标的资产价值足够大时，期权可以被认为几乎肯定被执行，期权相当于没有分红 收入的标的资产，因此上边界条件的提法为： (1) 1(1) (1) () () (1) (, ) 1() nnn n nnn nn tt r tt nnn cvt v vi ee + (2.9) 现在往回溯，考虑()( )2,3,1,0 k cknn=的终端条件和边界条件的提法。 () k c 是写在 (1)k k v + 上的欧式相机权益，故其终端条件为： 11111 (,)max(),0) kkkkkk c vtcvi + = (2.10) 复合期权的价值随标的资产价值单调增加，故 k t时刻的执行阈值 k v 满足方程： (,0),(0,1,1) kkk c vikn = (2.11) 类似的可以提出 1()k c + 相应的上下边界条件： (0, )0 k ct = (2.12) (1)1 1 (1) (1) () () 1(1)1 (, ) 1,() (,0) k kk k kk k k k tt r tt kk kk c vt v cviee + + + + + + (2.13) 由于多期复合期权中期权前后嵌套，后期期权的价值函数进入了前期期权的终 端条件，欲得到偏微分方程问题(2.6)(2.13)的解析解是非常困难的，故须借助于数 18 值计算方法来求解。 本文将在第3.1节详细描述运用有限差分方法和有限元方法求解 的过程。 2.3 路径相关期权定价的一般性理论框架 由于路径相关期权的支付与标的资产价格运动的路径相关，传统的 black-scholes期权定价方法不能直接应用到路径相关期权的定价及最优执行策略分 析问题上。幸运的是，归功于dewynne和wilmott等人的研究工作(199356， 199365,199566)，传统的black-scholes期权定价方法进行扩展就可以应用于路径相 关问题的分析，从而可以给出分析的一般性框架。 对于路径相关期权，由于其支付不仅取决于执行处标的资产的状态，而且取决 于标的资产所经过的路径，须在原有的black-scholes期权定价方法中描述路径的特 征。对于某一些路径相关期权可以定义一个新的变量来表征标的资产价格历史路径 的特征，记为( )i t，其中t表示时间。例如，对于连续算术平均执行价格看涨亚式期 权（continuous arithmetic-average strike call asian option），可以令 0 ( ) t i ts d =， 其中s为时刻的标的资产价格。( )i t就可以度量的是从0时刻到t时刻之间标的资 产价格的算术平均值。这样，期权的支付函数可以表示为： 1 max( ) tt si t 其中t为该期权的存续期。 类似的， 回望期权 （lookback option） 和巴黎期权 （parisian option）等都能够选取适当的变量( )i t来表征标的资产价格与路径相关特征。 如果假定标的资产价格运动的历史独立于当前的价格，那么i、s和t可以被看 作是彼此独立的变量。这样，路径相关期权就是一个写在独立变量i、s和t上的衍 生期权， 其价值记为( , , )v s i t。 路径相关期权的定价问题实际上就变成了一个多标的 衍生证券的定价问题。假设资产价格s服从几何布朗运动： dssdtsdw=+ 其中，为资产价格的瞬时漂移率，为资产价格的瞬时波动率。 在很多的情形下都能导出i所服从的方程： (, ) t dif s t dt=. 19 例如对于连续算术平均执行价格看涨亚式期权，有 (, ) tt f s ts= 变量i往往是没有随机性的状态变量。由多元itos lemma可得 2 22 2 1 (, ) 2 t vvvvv dvsf s tsdtsdw tsiss =+ 构造资产组合：持有一单位期权v的多头，并持有单位标的资产s的空头。由于变 量i与t没有随机性，为期权带来随机性的只有标的资产价格s，因此通过标的资产 价格所构造的动态资产组合就可以消除组合的随机性。资产组合价值为 vs =. 经过dt以后，组合价值的变化为： () 2 22 2 2 22 2 1 (, ) 2 1 (, ) 2 t t ddvds vvvvv sf s tsdtsdwsdtsdw tsiss vvvvv sf s tss dtsdw tsiss = =+ =+ 若选取 v s = 则有 2 22 2 1 (, ) 2 t vvv df s tsdt tis =+ . 可知，该动态组合没有随机性。故由无套利均衡原理可知： () v drdtr vs dt s = = . 故有等式： 2 22 2 1 (, )0 2 t vvvv f s trssrv tiss += 这样，在传统black-scholes期权定价方法所得到的偏微分方程中增加一项与路 径相关的量，就可得到路径相关期权定价的偏微分方程。依据所要定价的路径相关 期权的特性给定适当的边界条件，并采取适当的求解方法就可以对路径相关期权进 行定价。下一节在路径相关期权定价的一般性框架下给出巴黎期权的理论模型。 20 2.4 巴黎期权的基本概念及定价理论模型 本节主要讨论一种被称为“巴黎期权”的路径相关期权。研究表明，实践中很 多的金融创新产品都具有与巴黎期权相似的特征。一个典型的例子就是可转换债券 （convertible bonds，简称可转债），其回售条款、赎回条款以及转股价格修正条款 具有巴黎期权特征。研究巴黎期权和具有巴黎期权特征的衍生证券的定价是非常具 有实际意义的。 巴黎期权是从障碍期权演绎而来的。障碍期权的价格相对较低，而且能为投资 者提供一种适当的风险转移策略，因此被广泛应用于各种市场特别是在外汇市场上 的投机和对冲策略。但常见的一触即发型（one-time breaching）障碍期权有着不能令 人满意的缺点，即当标的资产价格接近于障碍时，其delta会呈现出剧烈的变动，使 得实践中的对冲操作变得异常困难。另外，在障碍附近的短期市场价格操纵 （short-period price manipulation）也会极大的影响到障碍期权的价值。因此人们在障 碍期权的基础上设计出了巴黎期权来减弱这些影响。 巴黎期权与障碍期权主要的不同之处在于其触发的条件更加苛刻，更加依赖于 标的资产价格运动的路径。例如对于上敲出巴黎期权，只有当到期日之前资产价格 超过给定障碍达到一定的程度时上敲出巴黎期权才会被敲出。巴黎期权是一种强路 径相关的奇异期权。 巴黎期权按照障碍的类型可分为： 上敲出型（up-and-out）：只有当到期日之前资产价格超过障碍达到某种程度， 巴黎期权才会消失，否则其等同于一个普通期权； 下敲出型（down-and-out）：只有当到期日之前资产价格低于障碍达到某种程 度，巴黎期权才会消失，否则其等同于一个普通期权； 上敲入型（up-and-in）：只有当到期日之前资产价格超过障碍达到某种程度， 巴黎期权才等同于一个普通期权，否则其毫无价值； 下敲入型 （down-an-in） ： 只有当到期日之前资产价格低于障碍达到某种程度， 巴黎期权才等同于一个普通期权，否则其毫无价值； 按照对标的资产价格进行监测的类型可以分： 连续监测（continuously monitored）：连续的监测资产价格与障碍的关系。通 常规定当资产价格越过障碍的时间达到约定的时间长度才进行敲出或敲入； 离散监测（discretely monitored）：在一系列离散的时间点上监测资产价格与 障碍的关系。通常规定当监测到资产越过障碍的次数达到给定的数量时，才进行敲 出或敲入； 按照敲出/敲入的条件可分为： 连贯型（consecutive）：只记录资产价格持续游离于障碍之外的时间或次数， 21 如果在敲出或敲入发生之前资产价格返回障碍之内，记录就清零； 累计型（cumulative）：累计记录资产价格游离于障碍之外的时间或次数，只 要当累积量达到给定的量就发生敲出或敲入； 窗口型（moving window）：是连贯型和累积型的混合，通常约定只要在一个 连贯的时间段（窗口）内，资产价格游离于障碍之外的时间或次数累计达到约定的 量就发生敲出或敲入。 还可以按照对应的期权类型分为看涨和看跌期权。 有关巴黎期权的定价研究始于chesney等人(1997a67,1997b68)的工作，他们使 用laplace变换方法给出了连续监测巴黎期权的解析定价公式。hugonnier(1999)69 也给出了连续监测累计型巴黎期权的封闭形式的解。 更多的研究是基于数值方法的。haber等人(1999)70在black-scholes的框架下处 理连续监测巴黎期权的路径相关特性，建立定价的控制方程并给出相应的边界条件。 例如对于连续监测连贯型上敲出巴黎期权，只有当标的资产价格s连续超过某 一预定的价格障碍s的时间达到约定的长度时， 期权才会被敲出或敲入。 引入变量j 来描述巴黎期权与路径相关的特征： sup| ( )jtt ss= j被称为障碍时间（barrier time），其含义类似于一个计数器：当s超过s时开 始计数；当j达到预定的障碍j时，敲出或敲入就被触发；如果在j达到j之前s降 回到s，则要对j重新置零。故j具有动态： 0 () ss djj tss dtss (2.14) 假设标的资产连续分红率为d，且价格s服从几何布朗运动： ()dsd sdtsdw=+ (2.15) 这样，此巴黎期权就是写在三个独立状态变量s、t和j上的衍生证券，记其价 值为( , , )vv s t j=。图2-4表示的是巴黎期权定价模型的求解空间。 当s尚未越过s时0j， 故在s以下的求解域实际上是平面a， 即0j=的平面。 当s越过s后j开始计数， 且djdt=， 此时求解域变成一个由s、t和j构成的空间。 22 平面c联系着上下两个求解域。由于该巴黎期权是连贯型的，故当s再次接触面c 时j立即清零。由无套利原理分析可知，在平面c上应该有连续性条件： ( , , )( , ,0)v s t jv s t= (2.16) 这样，巴黎期权的求解就分成了两个部分。当ss时，由于0j，故由经典 的动态最优原理或者相机权益分析可知巴黎期权服从一个二维的偏微分方程： 2 2 22 1 2 ()0 vvv ts s srd srv += (2.17) () (0, ,0, ,0ssttj=. 当ss时j开始计数， 且djdt=。 此时巴黎期权就是写在三个独立状态变量s、t和 j的衍生证券，故可以采用上一节给出的路径相关期权定价的一般性框架，可以得 到控制方程： 2 2 22 1 2 ()0 vvvv tjs s srd srv += (2.18) () ,),0, ,0,ssttjj+. 为了求得问题的解，除了连续性条件(2.16)外，还需要补充适当的终端条件和边 界条件。若巴黎期权最终到期，则投资者的终端支付为： 图 2-4 巴黎期权定价模型求解域 jj s s t t a c b 0 d 23 ( , , )max,0v s t jse= (2.19) 其中e为执行价格。当jj=时巴黎期权被敲出，故有 ( , ,)0v s t j = (2.20) 当标的资产价格s时，几乎可以肯定在s返回到s之前j就会达到j，因此巴 黎期权肯定会被敲出，故有上边界条件 ( , , )0vt j= (2.21) 而当0s=时，有下上边界条件 (0, , )0vt j = (2.22) 这样，巴黎期权定价就归结到偏微分方程(2.17)和(2.18)和终端条件与边界条件 (2.19)(2.22)及连续性条件(2.16)所构成的偏微分方程定解问题。这个问题难以导出 解析解，本文在第3.2节给出几种求解该问题的有限差分数值方法。 vetzal和forsyth(1999)71在同样的框架下给出了离散监测巴黎期权的定价方法。 这些研究意味着，巴黎期权能够和美式期权一样被纳入到路径相关衍生证券的偏微 分方程定价框架中来。更进一步，一个同时具有巴黎期权特征和美式期权特征的混 合衍生证券就可以在同一个框架中进行分析，讨论巴黎期权特征和美式期权特征的 相互作用。本文将在第3.2节讨论巴黎期权模型的数值实现技术，在第5章给出一个 可以描述可转换债券美式期权特征和巴黎期权特征的定价模型。 还有一些研究表明，基于三叉树的数值方法也可以被用来定价巴黎期权。 avellaneda和wu(1999)72发展了一个修改的三叉树方法来定价巴黎期权。kwok和 lau(2001)73也提出采用一种基于三叉树的“前向打靶网格（forward shooting grid）” 方法来定价累积型、连贯型以及窗口型巴黎期权，由于该方法不需要给出定价的控 制方程，因此在某些难以给出控制方程的情形下是很有优势的。 2.5 本章小结 简单复合期权理论模型主要是沿用black-scholes框架的，前提假设非常严格， 且仅仅两期的复合使其在应用上存在着很大的局限性。尽管常波动率多期复合实物 期权模型能够反映出多期特性，但是常波动率假设仍是不切实际的。本章将简单复 合期权模型同时在两个方面上进行扩展，提出变波动率多期复合期权模型。由于此 时传统的通过对终端条件折现来导出解析定价公式的过程变得异常复杂，难以得到 解的一般形式，本章通过相机权益分析方法导出定价的控制方程，并给出了终端条 24 件和边界条件的提法。 若能够引入一个新的变量以表征路径特征，那么传统的black-scholes期权定价 方法就可以进行扩展来处理路径相关期权的定价及最优执行策略分析问题。本章介 绍了一种特殊的路径相关期权巴黎期权，并在路径相关期权的一般性偏微分方 程定价框架下给出了巴黎期权的理论模型，为后文的进一步研究奠定基础。 25 3 多期复合期权与巴黎期权定价的数值模拟实现技术 本章讨论多期复合期权和巴黎期权定价问题中的数值模拟实现技术。由于在多 期情形下封闭形式解难以得到，且即使得到，仍需求解高维的嵌套积分，需耗费大 量的计算资源。本章以第2.2节提出变波动率多期复合期权模型为对象，讨论有限差 分和有限元方法的应用。有限差分方法也可用于巴黎期权的定价。本章的后半部分 针对巴黎期权的定价提出一个类似于crank-nicolson的半隐式算法，以克服显式有 限差分方法计算精度不高的缺点。 3.1 多期复合期权定价模型的数值计算方法 复合期权从两期到多期的扩展在理论上并不是非常困难，难点就在于定价与最 优策略分析的计算复杂性随着期数的增加而急剧增加。大量学者研究了多阶段项目 的定价以及最优投资策略的确定。 dixit和pindyck(1994)35将多期序列投资建模为多期复合期权， 分别采用动态最 优方法和相机权益方法建立定价的偏微分方程，并在某些特定的边界条件下求得复 合期权价值的解析界以及最优执行策略，但是缺点是只在某些特定边界条件下才能 得其解析解，通常需利用高效精确的偏微分方程数值方法来求得问题的解。 dutta(1997)74采用动态规划方法来解决具有阶段相关性的多阶段r , kkk k kntt tz + = + 这样，原变系数偏微分方程就变成了一个常系数偏微分方程。将带形求解区域 () 1 , kk t t + +截断成矩形域： 1(1)(1) , , kkk kk k t tzz + 其中， (1)(1) ln() k kk k zv + =， (1)(1) ln() k kk k zv + =， (1)k k v + ( (1)k k v + )是数值计算过程中需要给 定的最大（小）标的资产价值，通常取一个很大（小）的正数。并将其划分成均匀 网格： 1(1)(1)(1) , kk kk kk k ti t zzj z + = = 其中，, i j为网格划分的网格数；t为时间步长， (1)k k z + 为空间步长。 本节采用如下的完全隐式差分格式： 1 , ii k jk j k cc c tt + ； ,1,1 (1)(1) 2 ii k jk j k k kk k cc c zz + + ； 2 ,1,1 22 (1)(1) 2 iii k jk jk j k k kk k ccc c zz + + + ， 其中， ,(1)(1) (,) i k jkk kk k cczj zi t + + 。按照上述差分格式将方程(3.1)离散并忽略高阶 项就可以得到差分方程： 1 ,1,1, ,(0,1;1,1;0,1,1) iiii k jk jk jk j cccciijjkn + + +=? (3.2) 27 其中： 22 1 (1)(1)(1)2 2 (1)(1) () 22 k kk kk k k kk k rtt zz + + ?; 2 (1) 2 (1) 1 k k k k t r t z + + + + ?; 22 1 (1)(1)(1)2 2 (1)(1) () 22 k kk kk k k kk k trt zz + + ?. 将(3.2)式改写成如下矩阵形式： 1 ,1,1,0 1 ,2,2 1 ,3,3 1 ,2,2 1 ,1,1, , (0,1) iii kkk ii kk ii kk ii k jk j iii k jk jk j ccc cc cc ii cc ccc + + + + + = ? ? ? ? (3.3) 对终端条件和边界条件进行同样的数值处理，得到： (1)(1) 1, max(,0),(0, ) nnnn zj z i njn ceijj + =? (3.4) 1,0 0,(0, ) i n cii =? (3.5) (1)(1) () () 1, ,(0, ) nnnnn n zti t r ti ti njn cei eeii =? (3.6) 对于(2,3,1,0)knn=，终端条件变为： 0 ,1,1 max(,0),(0, ) i k jkjk ccijj + =? (3.7) 此时可以求得阈值为： (1)(1)(1)k kk kk k zzjz k vee + + =(0,1,1)kn=，其中j使得： 0 , k k j ci = (3.8) 边界条件变为： ,0 0,(0, ) i k cii=? (3.9) (1)1(1)1 ()()() 0 ,1,1 ,(0, ) k kkk kk ti trti t i k jkjk cceieii + + + =? (3.10) 这样，将方程组(3.3)及边界条件(3.4)(3.10)联立就构成了模型的有限差分方法 28 求解方程组，逐期回溯就可以快速的求解出变波动率多期复合实物期权在网格点 (1) ( ,) k k t z + 上的价值，以及在任何时点上的最优执行策略。 由于本节所采用的差分格式是完全隐式差分格式，可以证明是具有稳定性和一 致性的。方法的误差会随着网格数i和j的增加而逐渐减小，计算结果就会收敛到问 题的解。 当i和j足够大时可以近似认为本文采用的有限差分方法的解就是变波动率 多期复合实物期权的价值。 根据所采用的有限差分格式类型，有限差分方法可以分为显式、半隐式和完全 隐式有限差分方法。一般而言每一种格式都有其优点和缺点，应当根据应用的背景 和需要具体分析采用，本节不再一一展开。后文当涉及时再做阐述。 3.1.2 有限元方法 1) 有限元方法简介 有限元方法是从传统的ritz-galerkin方法发展而来的。它通过选取局部非零、 分段(片)光滑的基函数，成功地克服了传统ritz-galerkin方法难以选取基函数的困 难，因此有限元方法才得以和差分方法并列，成为求解偏微分方程定解问题的一种 有效的数值方法。 有限元方法求解问题的主要步骤可归纳为： (1)将边值问题转化为变分问题。 (2)对求解区域进行剖分。根据实际问题的需要，将求解区域分解为有限个“单 元”，它们既可以是均匀的，也可以是非均匀的。一维情形的单元只有小区间；二 维情形的单元主要有两种：三角形和四边形(矩形、任意凸四边形)；三维单元更加复 杂多样。 (3)选定容许函数在单元上的形状，通常取为某种多项式，将它写为插值函数的 形式，由此构造出基函数。 (4)形成有限元方程(ritz-galerkin方程)。它是一个代数方程组，其系数矩阵还是 稀疏的(即含有大量的零元素)。 (5)选用恰当的方法求解有限元方程。 在有限元方法理论分析与实际应用上也不断取得进展，出现了一些新型的有限 元计算方法，如自适应有限元方法和并行算法。自适应有限元方法是一种能通过自 适应分析自动调整算法以改进求解进程的数值方法。可根据求解的精度要求和误差 容限自适应选择有限元网格和形函数阶次。它以传统的有限元方法为基础，以误差 估计和自适应网格改进技术为核心，是通过有限元网格和形函数的自动选择提高求 解的精度和效率。目前应用中的自适应算法包括h-型、p-型、r-型和h-p型。它们分 29 别是通过网格的局部加密、增加形函数阶次、移动网格结点和对网格参数进行最优 布局，降低分析误差，提高求解精度。另一类重要的自适应方法是自适应选取和时 间步长的自适应调整。传统fem的数据结构和数值算法都是基于顺序执行，适用于 串行计算机。随着计算机技术的发展，1980年代出现了采用新型体系结构的大型并 行计算机和可作并行处理的微机网络，使计算机的运算速度有了大幅度的提高。同 时，各种数值分析算法的并行化得到快速发展。为适应并行机的优点，逐渐形成了 并行有限元算法。 2) 有限元离散格式 运用有限元方法求解black-scholes偏微分方程 2 22 11 222 ()0 ccc rrc tzz += (3.11) 首先要构造相应的积分方程， 再对空间变量z的求解域进行剖分， 并通过适当的 插值来近似解函数，形成单元刚度矩阵和单元载荷矩阵，然后组装，完成所谓的“半 离散”。最后采用适当的差分格式对时间变量进行离散，形成有限元方程，完成“全 离散”。 选取试探函数( )v z，满足性质：()()0vv =+ =。构造积分方程： 2 22 11 222 ()0 ccc rrc vdz tzz + += (3.12) 对(3.12)分部积分得： 2 222 111 2222 ccc dv