鞅与Brown运动(应用随机过程陈萍).ppt

1,应用随机过程,第四章鞅与Brown运动教师:陈萍prob123,2,鞅论是现代概率论中的一个重要内容.也是随机过程和数理统计研究的重要工具.“鞅”原意有“赌输后加倍赔偿”的含义.但是鞅论本身在近年来的迅猛的发展却有着理论和实际两方面的需要。一方面,鞅是独立随机变量部分和的自然推广，人们致力于把概率论中的极限理论推广到鞅上去。另一方面，在随机过程和数理统计的研究中，人们遇到了形形色色具体的鞅，形成了鞅论研究的强大推动力。,第四章鞅与Brown运动,3,定义4.1.1设(,F,P)为概率空间,Ft,tT为F的单调递增子代数族，若Mt,tT为(,F,P)上的随机过程，满足1）Mt,tT适应于Ft,tT,即Mt关于Ft可测;2）t,E|Mt|;3）st,EMt|Fs=Ms则称Mt,tT为Ft鞅,或Mt,Ft,tT是鞅.注:如果T=0,1,2,.,则3）改为k,EMk+1|Fk=Mk,4.1.1鞅,将3）改为st,EMt|FsMs,则称Mt,tT为上鞅；改为st,EMt|FsMs,则称Mt,tT为下鞅.,4,鞅的例子例4.1.1设n,n1为(,F,P)上的随机序列,Fn=(0,n),若E(n+1|Fn)=0,令,则Xn,nN是鞅.若n是非负的则Xn,nN是下鞅.,定义4.1.2设是定义在概率空间的随机序列，为的单调递增子代数族，如果对每个，存在，且，则称为鞅差序列。,5,例4.1.2设nn=1,2,是均值为1的独立随机变量序列,，则Xn,nN是鞅.,例4.1.3设是(,F,P)上的随机变量,Fn是(,F)上的单调递增子代数族,则Xn=E(|Fn),nN是鞅.,例4.1.4（Polya坛子抽样模型）考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中装有红、黄色球各一个，每次都按如下规则有放回地随机抽取；从坛子中任取一球，观察其颜色后放回，同时再加入一个同色的球。以Xn表示第n次抽取后坛子中的红球所占的比例,则Xn是鞅。,6,4.1.2鞅的性质,定理4.1.1设Mt为下鞅(或鞅).则E(Mt)是t的非降函数。(或常数),定理4.1.2设Xt,Yt为Ft-下鞅(或鞅).则i)a0,b0,aXt+bYt是Ft-下鞅(或鞅).ii)XtYt是Ft-下鞅.,iii)设:RR是非降的凸函数(或凸函数)，满足：t0，E(Xt)存在.则(Xt)是下鞅.特别,若Xt是鞅且存在p1，使E|Xt|p0,以概率q=1/2向左移动x,且每次移动相互独立,记,若Bt表示t时刻质点的位置,则有,显然,17,以上简单随机游动可以作为微小粒子在直线上作不规则运动的近似.实际粒子的不规则运动是连续进行的,为此,考虑的情形.由物理实验得知,当越小时,每次移动的也越小,且在许多情况下,有-以下均作如此假定.,对任意s0,令,记当时，依概率收敛到一个随机变量，记作，则称随机过程为的p阶变差过程.,特别,如果p=1称为全变差过程，如果p=2称为二阶变差过程.,24,注对连续时间过程，如果,则,定理4.2.1设是一维标准Brown运动，其二阶变差过程为,即,25,EX,其中,求证,设是一维标准Brown运动，令,注此结论表明，当充分小时，在均方意义下有,或写作：,(习题4.14),26,定理4.2.2n维Brown运动Bt关于由生成的代数Ft是鞅.,定理4.2.3设Bt为1-维标准Brow