（技术经济及管理专业论文）SV模型与GARCH模型的实证比较研究.pdf

中文摘要 g a r c h 模型和s v 模型是当前刻画金融市场波动性的两种主要工具，但是 目前学术界对两类模型的比较，特别是两者在金融市场上的实证比较尚未展开深 入的研究。本文首先针对金融波动的各种特性，讨论了两种模型的基本形式及其 相应的扩展形式，接着通过随机微分方程，从理论上寻求了两类模型的联系与区 别，另外，文章提出了一种新的理论检验方法一基于随机模拟的似然比检验方 法，利用该方法有效的比较了两类模型对数据的拟合优度。实证研究是本文的重 点，文章比较了s v 模型和g a r c h 模型对金融时间序列典型特征的刻画能力， 通过将两类模型刻画的峰度和自相关系数的特征与上海股市的实际统计特征相 对照，得出了s v 模型比g a r c h 模型更能刻画金融收益分布的“高峰厚尾”性 和长记忆性的结论。最后，文章将s v 模型引入到中国股市受险价值v 出的计算， 并与利用g a r c h 模型计算所得的v a r 值进行了比较，结果表明，基于s v 模型 计算所得的v a r 值更能反映中国金融市场风险水平。 关键词： 随机波动模型，广义自回归条件异方差模型，似然比检验，高峰厚 尾性，长记忆性，v a r a b s t r a c t g a r c hm o d e la n ds vm o d e la r et w om a i nm e t h o d st od e s c r i p tt h ev o l a t i l i t yi n f l n a n c i a lm a r k e t b u tt h e r ea r ef e wr e s e a r c hw o r kt oc o m p a r et h e s et w om o d e l s ， e s p e c i a l l yi ne m p i r i c a lr e s e a r c h a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r si nf i n a n c i a lm a r k e t ，t h i s p a p e rf i r s td i s c u s s e dt h es t a n d a r df o r m sa n de x t e n d e df o r m so f t h et w om o d e l s b y m e a n so f a n a l y z i n gt h e i rc o r r e s p o n d i n gs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ef o u n d t h e i rt h e o r e t i c a lc o n n e c t i o n sa n dd i f f e r e n c e s t h e nw ec a m e u p w i t han e wm e t h o dt o t e s ta n dc o m p a r et h em o d e l s e f f i c i e n c i e st od e s c r i p tr e a ld a t a - - l i k e l i h o o dr a t i ot e s t b a s e do ns t o c h a s t i cs i m u l a t i o n a n dw e g o t av e r yg o o dr e s u l t n l ee m p i r i c a lm s e a r c h i st h ee m p h a s e so ft h i sp a p e r w ec o m p a r e dt h es va n dg a r c h m o d e l s a b i l i t yt o d e s c r i p t t h ec h a r a c t e r si nf i n a n c i a l m a r k e t b ya n a l y z i n g t h ek u r t o s i sa n d a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o nr e f l e c t e db yt h et w om o d e l s ，w eg o tt h ec o n c l u s i o nt h a ts v m o d e lc o p i e dt h e h i 曲k u r t o s i sa n df a tt a i l ”d i s t r i b u t i o na n d l o n gm e m o r yc h a r a c t e r i nf l n a n c i a lm a r k e tb e t t e rt h a ng a r c hm o d e la n ds vm o d e lw a ss u p e r i o rt ot h e g a r c hm o d e la tt h i sp o i n t f i n a l l yw eu s e ds vm o d e lt oc a l c u l a t et h ev a r ( v a l u ea t r i s k ) o fc h i n e s es t o c km a r k e t b yc o m p a r i n gw i t l lt h er e s u l tf r o mg a r c h m o d e l w e k n e wt h a tt h ev 擞b a s e do ns vm o d e l 、糯b e t t e rt h a nt h ev a rb a s e do ng a r c h m o d e la n di tc o u l dr e f l e c tt h er e a lr i s kl e v e li nf l n a n c i a lm a r k e t k e y w o r d s ：s vm o d e l ，g a r c h m o d e l ，l i k e l i h o o dr a t i ot e s t ， h i g hk u r t o s i sa n df a t t a i l ”d i s t r i b u t i o n , l o n gm e m o r y c h a r a c t e r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他入已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨洼盘鲎或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘凄盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名 签字日期：年月 日签字日期：年 月目 笫章绪论 1 1 论文研究的背景 第一章绪论 金融风险的防范与规避一直是投资理沦与投资实践的叶f 心课题。从 m a r k o w i t z l 9 5 2 年提出用方差来度量投资风险以来，人们对于风险研究就主要 集中在对方差即波动的研究上。金融波动的时变性已是一个彳i 争的事灾，s v 与g a r c h 模型则是描述波动时变性的主要模型。 e n g l e ( 1 9 8 2 ) 开刨性的提出了自回归条件异方差a r c h ( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ) 模型，并将该方法成功的用于英国通货膨胀指 数的波动性研究，在此之后的二十年里，a r c h 模型的各种变化形式及各种 应用研究成果不断涌现，并成为现代计量经济学飞速发展的一个重要的领域。 a r c h 模型的发展，经历了从a r c h 模型到g a r c h 模型，从线性a r c h 模 型到非线性g a r c h 模型，从平稳g a r c h 模型到单整g a r c h 模型到分整 g a r c h 模型，从单变量g a r c h 模型到多变量即向量g a r c h 模型等不同阶 段。在众多的g a r c h 模型中，最基本也是最重要的是e n g l e ( 1 9 8 2 ) ”】提出的 a r c h 模型，e n g l e 等人( 1 9 8 7 ) 【2 j 提出的a r c h m 模型，b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 【3 提出的g a r c h 模型，e n g l e 和b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 1 4 】提出的单整g a r c h 模 型即i g a r c h 模型，n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 1 5 j 提出的e g a r c h 模型。 s v 模型目前在西方计量学界正方兴未艾。s v 模型的最早提出是与金融 理论中的资产定价的扩散过程( d i f f u s i o np r o c e s s ) 直接相关的。早期研究这一 领域的有c l a r k ( 1 9 7 3 ) 6 1 , t a u c h e n 和p i t t s ( 1 9 8 3 ) 7 1 ，t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 8 1 后来由h a r v e y , r u i z ，s h e p h a r d ( 1 9 9 4 ) 例，j a c q u i e rp o l s o nr o s s i ( 1 9 9 4 ) 1 1o 】引入到计量经济学领 域。这就意味着s v 模型具有数理金融学和金融计量经济学的双重根源。迄今 为止，国内外在对s v 模型的研究上取得了重要的成果，针对金融市场的实际 情况，涌现出了各种s v 模型，如“厚尾”s v 模型( t s v 模型，g e d s v 模 型) 以及多元s v 模型。阻碍s v 模型应用的最大问题是s v 模型模型的参数 估计，目前，这一困难也基本得到解决，伪极大似然估计方法、m c m c 方法、 g m m 方法、n f m l 方法都能够得到较好的估计结果。学术界认为s v 模型能 够很好的刻画金融市场上的典型特征，具有很好的应用价值。 迄今为l e ，对g a r c h 模型和s v 模型的研究分别都取得了重大进展，但 仍然存在两大问题： ( 1 ) a r c h 类模型和s v 模型同是描述经济金融时间序列波动过程的模 第一章绪论 型，很自然会产生的一个问题是这二者之问到底存在那些联系与区别，然而， h 前对于这一问题的研究国内外还鲜有所闻； ( 2 ) 近年来，在两类模型的扩展形式以及估计方法上均取得了较大成果， 但研究似乎仪限于理论卜，对于模型在实际金融市场上的应用价值很少有研 究报道，而构造模型的初衷就是利用模型来拟合实际数据、预测实际波动。 在觉察到这两点不足后，本文作者决定以这两个问题为论文的切入点， ( _ i f ：展一些工作，力图驭得一一蛸成果来弥补这两个方面的不足。 1 2 论文的主要工作和创新点 本文的主要特点和创新主要是从金融市场的实际特征出发，立足下实证 研究，对g a r c h 模型和s v 模型进行相关比较。主要归纳如下： ( 1 ) 通过利用基于随机模拟方法的似然比检验分别比较了s v 与 g a r c h ( 1 ，1 ) 对上海股市数据拟合优度，和s v 与t - g a r c h 对上海股市数据拟 台优度，结果表明：s v 模型对于上海股市时间序列数据的拟合要好于 g a r c h ( i ，1 ) 模型，s v 模型对于上海股市时间序列数据的拟合与t - g a r c h ( 1 ， 1 ) 模型效果相当。 ( 2 ) 围绕金融市场时间序列的两个基本特征：序列分布上的“高峰厚尾” 性和平方序列微弱持续的自相关性，进行了两个异方差模型的刻画能力对比 研究。首先从模型本身出发，从理论角度上论证了s v 模型具有比g a r c h 模型 更符合这些金融现象的数值特征，即：较低的由值和较高的x 值。然后又重 点从实证的角度加以分析，利用上海股指估计出了基本s v 模型和g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，通过对比这两个模型对实际数据特征的刻画程度，再次碍出s v 模型的 拟合实际数据的效果要优于g a r c h 模型的结论。 ( 3 ) 介绍了目前国内外用于测量和监管金融市场风险的主流模型一一 v a r ，将s v 模型引入到v a r 的计算中。给出了利用异方差g a r c h 和s v 模 型计算v a r 值的基本思想和具体步骤，并将基于两种模型下计算所得的v a r 值进行比较，通过对上海股市市场风险测量的实证研究得知基于s v 模型下的 v a r 值比基于g a r c h 模型下的v a r 值更具有有动态性、准确性，更加符合 风险的实际情况。在运用分析方法的时候，g a r c h 模型是仅次于s v 模型最 佳模型。 第二章金融波动的特征及对应的s v 和g a r c h 模犁 第二章金融波动的特征及对应的s v 和g a r c h 模型 金融风险的防范与规避一直是投资理沦与投资实践的中心课题。从 m a r k o w i t z l 9 5 2 年提出用方差来度量投资风险以来，金融风险的研究日益呈现出 数量化的发展趋势，各种描述风险特征的理论与模型不断出现。金融波动是金融 市场风险的表征，金融波动的时变性已是一个不争的事实，s v 与g a r c h 模型 则是描述波动时变性的主要模型。国内外对s v 与g a r c h 模型的研究方兴未艾， 根据金融市场的不同特征，涌现出了各种对应的扩展s v 与扩展g a r c h 模型， 本章从金融市场的实际特征出发，对这两类模型进行简要回顾和分析。 2 1 金融波动的时变性及模型化描述 在传统的投资理论中，风险就是不确定性，用被看作常量的资产收益的方差 和各种资产收益之间的协方差来度量，资产本身的方差可以通过组合投资而分 散，因而被称为非系统风险，而资产间的协方差则受到整个市场因素的影响，不 能通过组合投资来分散，所以被称为系统风险。方差、协方差就是描述收益随时 间变化的离散程度，就是通常意义上的“波动”，通过对大量金融时间序列的研 究，人们发现时间序列的波动，即不确定性呈现出时变性，即波动不是固定不变 的，而是随时间变化的，即a r c h 效应。早在1 9 6 5 年人们就认识到这种方差和 协方差是时变的j ，但直到2 0 世纪9 0 年代初，人们才开始对二阶矩的时变特性 进行建模。 描述时变方差的模型一般有两大类，即自回归条件异方差 a r c h ( a t l t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s f i c i t y ) 模型族和随机波动 s v ( s t o c h a s t i ev o l a t i l i t y ) 模型族。 2 1 1a r c h 类模型 2 1 1 1a r c h 模型 a r c h 模型是e n g l e ( 1 9 8 2 ) 研究英国通货膨胀指数时提出的f 2 】，他假设扰动项 m n ( o ，盯2 ) ，口，2 是p 期扰动滞后一，2 ，y , - 22 川一，2 ) 的线性函数，表达式如下： 片= ( q 2 ) ( 2 i ) 第二章金融波动的特征及对应的s v 平g a r c h 模型 口，2 = 口。+ 窆口。y ，2 ( 2 2 ) 其中占，独立同分布，e ( s ，) = o ，v a r ( 占，) = l ，为保证条件方差盯。2 依概率1 为 正，加以非负约束 o ，口。 0 。一般地s 。对应着均值方程中的误差项。 2 1 1 2g a r c h 模型 a r c h 模型由于不能反映实际数据中的长记忆性质，在估计整个不受约束的 滞后分布时将经常导致参数非负约束的破坏。b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 1 3 】在a r c h 模型的 基础上，提出了广义自回归条件异方差( g a r c h ) 模型。g a r c h 模型是对a r c h 模型的重要扩展。所有的a r c h 过程都能扩展到g a r c h 过程，a r c h 过程仅 仅是g a r c h 过程的特例。 g a r c h 模型中条件方差盯，2 被表达成： o t 2 ：口。十杰口y 。2 + 主屈a 。2 i = ll - l ( 2 3 ) 其中 0 ，。 0 ，i = 1 ，2 ，p ， o ，j = l ，2 ，q 。 虽然( 2 - 2 ) 式与( 2 - 3 ) 式都可以写成a r 形式，但( 2 - 3 ) 式比( 2 2 ) 式有快的收敛 性。实践证明，在股市中，大多数情况下，简捷的g a r c h ( 1 ，1 ) 、g a r c h ( 1 ， 2 ) 、g a r c h ( 2 ，1 ) 模型已能充分反映长时期金融数据的波动特征。 2 1 ，1 3 扩展g a r c h 模型 后来，根据金融市场数据的具体特征，各种扩展的g a r c h 模型不断出现， 具有i g a r c h 、e g a r c h 、f i g a r c h 以及多维g a r c h 等变化形式，各种应用 成果也不断推出，至今这一领域仍是国外金融计量学的研究热点。 在国内，已有学者开始利用g a r c h 模型对中国金融市场进行分析。王军波、 邓述慧( 2 0 0 0 ) 借助该类模型探讨了利率对不同规模上市公司的影响【。2 1 ；阎冀楠、 张维( 1 9 9 9 ) 平1 j 用遗传算法对反映上海股市收益波动的a r c h 模型族进行了实证 ”副；柯珂、张世英( 2 0 0 1 ) 提出了分整g a r c h - - m 模型并结合中国股市进行了分 析 1 4 1 1 1 5 1 6 1 。 2 1 2 s v 模型 对时间序列的波动性建模的方法包括两大类。一类是上述a r c h 类模型以 及它的变化形式，另外类关于波动定量分析方法是目前在西方计量经济学界正 第二章金融波动的特征及对麻的s v 羽g a r c h 模型 方兴未艾的随机波动模型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ) ，简称s v 模型，是t a y l o r 提出 的【引。 2 1 2 1s v 模型的起源 s v 模型的最早提出是与金融理论中的资产定价的扩散过程( d i f f u s i o n p r o c e s s ) 直接相关的。早期研究这领域的有c l a r k ( 1 9 7 3 ) 6 1 ，t a u c h e n 和 p i t s ( 1 9 8 3 ) 1 7 l , t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 引后来由h a r v e y , r u i z ，s h e p h a r d ( 1 9 9 4 ) 【9 】，j a c q u i e r p o l s o nr o s s i ( 1 9 9 4 ) 1 0 1 引入到计量经济学的领域。这就意味着s v 模型具有数理 金融学和金融计量经济学的双重根源。 s v 模型部分来源于期权定价理论。b l a c k s c h o l e s 期权定价模型假定标的资 产的价格是以对数正态或几何布朗运动为基础的。 d s , = l u , s , d t + c r , s , d w , ( 2 - 4 ) 这里以和以是常数参数，s i 是资产的价格。b l a c k s c h o l e s 期权定价模型在 过去得到广泛的应用，尽管人们知道该模型的很多假设是不成立的。尤其是盯。为 定值的假设，更是不可能实现。这就使得h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) 1 7 1 把随机波动概念 引入b l a e k - s c h o l e s 期权定价模型中，并假设波动性本身是独立于m 的状态变量。 取作： d s , s , = “卉+ 盯。d w r ( 2 5 ) ( ) ，d o ，) ，( ) ，。f 叮) 是独立的马尔科夫链，通过( 2 5 ) 可以看出，在( 2 - 4 ) 中盯， 这一个常数参数变成与t 有关的时变参数口。 2 1 2 2 标准s v 模型 标准的s v 模型如下： y 。= e r e ( 2 6 ) h t = d + 励f - 1 + 仇 ( 2 - 7 ) 其中“) 和觇) 是互不相关的白噪声序列，且慨) 与 h 。) 不相关。砒为常数。 一般来说假定t ”耐( o ，1 ) ，r , n m ( o ，盯。2 ) ( n i d 表示独立同分布) 。o - 2 未知。由 于( 2 7 ) 式中r t 是随机误差项，故岛不可观测。另外在期权定价中儿表示修正的 资产收益： 第二章金融波动的特征及对应的s v 和g a r c h 模型 _ y ，= l o g s , s , 一1 ) 一 s 是金融资产t 期价格。 ( 2 8 ) = 亭l 。邪，i s 。) 。 ( 2 踟 我们定义h r 蔓j y ，的方差的对数，啊= l o g t 7 ，2 ，o - t 2 是y ，的方差。 当 o 声。o 如果多项式 1 一口z + 艺p i z 0 ( 2 - 1 7 ) j = lj ；l 有k 0 个单位根，并且其余m a x p ，q ) k 个根在单位圆外，根据e n g l e 和 b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 的定义，则有 ( 1 ) 如果= 0 ，则g a r c h 过程称为k 阶单整的 ( 2 ) 如果国0 ，则g a r c h 过程称为带有趋势项的k 阶单整的。 显然，g a r c h ( p ，q ) 过程为单整的必要条件是 艺q + 届= 1( 2 1 8 ) ，= lt = l 单整g a r c h ( 1 ，1 ) 模型可以表示为 盯2 p a y , 一l2 + ( 1 一a ) a 2 f - 1( 2 1 9 ) 其中，0 应 1 。则盯? 前向s 期的条件期望为 第一二章金融波动的特征及对应的s v 和g a r c h 模型 e p 2 。) = o - ? ( 2 2 0 ) 单整g a r c h 过程类似于随机游走序列。在个没有漂移项的随机游走序列 中，前向s 步的均值预测等于当前均值。因此，在这种情况下，当前信息对未来 均值的预测就是十分重要的。与之类似，单整g a r c h 过程表明，当前的扰动对 未来条件方差的影响是持续的。以i g a r c h 过程为基础，经济金融时间序列的 波动持续性现象被深入广泛研究，并取得了丰富的成果。 同时，在用s v 模型对各种收益序列进行分析时，也发现波动方程存在近单 位根现象( 即参数的估计值接近于1 ) 。 此时： i = 啊一1 + 珥( 2 2 1 ) 此时 危) 为一h r o ) 过程，( 2 6 ) ( 2 2 1 ) 构成的s v 模型称为单整s v 模型， 用以描述波动持续性现象。 2 2 3 2 引入差分算子 对于持续性的另一描述方式是波动方程中引入分数差分算子。对于g a r c h 模型，b a i l l i e 等提出如下f i g a r c h ( f r a c t i o n a l l y i n t e g r a t e dg a r c h ) ；漠型! 引1 ： o ( l ) 0 - 三) 。m 2 = 国+ 1 一夕( ) 】y ， ( 2 2 2 ) 其中l 是滞后算子， 是白噪声序列，( 三) 和( 三) 分别是p 阶和q 阶的 平稳算子。 当0 d 0 5 时，只2 是平稳的，均值为e ( y , 2 ) = e ( a t2 ) = 盯2 ，所以等式( 2 - 2 2 ) 右边为白噪声，儿2 是一个i ( d ) 过程。 当d = o 时，( 2 ，2 2 ) 式变为： m ( ) 只= 脚+ 【1 一f l ( l ) l v , ( 2 - 2 3 ) 为线性g a r c h 模型。 当d = l 时，( 2 2 2 ) 式变为： o ( l ) 0 一l ) y ，2 = 功+ 【1 一( ) - ( 2 2 4 ) 为i g a r c h 模型。 可见0 d l 的灵活性使得用该模型研究长期依赖性变得可能，参数d 反映了 作用于远距离观测值之间的效果以双曲率缓慢下降的长记忆性。在f i g a r c h ( p ，d ，q ) 中，波动源( s h o c k ) 对未来条件方差的作用将呈缓慢的双曲衰减速率。 第二章金融波动的特征及对鹿的s v 平g a r c h 模型 事实上f i g a r c h 与a r f i m a 有同工异曲之妙，只不过f i g a r c h 用来描 述方差的时变情况，而a r f i m a 用来描述期望的时变情况。同样，b r e i d t 将 a r f i m a 过程纳入标准s v 模型框架来刻画波动持续性特征，得到长记忆的随机 波动模型( l m s v ) 3 2 j 。l m s v 模型如下： y ，= e x p ( h , ) e ，s ，i i d n ( o ，1 ) ( 1 一b ) 4 妒( 动向= o ( b ) g ，吼j i d n ( o ，1 ) ( 2 - 2 5 ) 式中：f 1 一b ) 。：y 三上上二! l b j ， 一0 5 o ，珊， 0 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 例如，设有两种资产：一种为无风险资产，价格为1 ，弹性供给收益为，； 种为风险资产，价格为p ，随机收益为q ，且e ( g ) = 幺哳( g ) = 庐，则有 x = ( q p ) - y ，e ( x ) = 卢= o l p y ，f a r ( x ) = 盯2 = i ，p 2 。 为加强a r c h - m 模型的概括能力，( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 式可写成 x ，= f ( t ，o t2 ) + 以。关于，( ，) 的具体形式，为收益与风险的比例关系，常设为 线性。就厂( ，) 中出现的吼2 的幂次数，即风险到底应该用收益的第几阶矩来表示， e n g l e 采用了标准差盯，认为这反映了“方差的变化值不象均值变化值那样成正 比”这一假设。并且提出了用1 0 9 ( c r , 2 ) “2 或许会更好些。 由于a r c h m 模型所表示的经济意义十分明显，e n g l e 和b o l l e r s l e v 在1 9 8 6 第二章金融波动的特征及对应的s v 和g a r c h 模型 年提出了g a r c h 。m 模型i 矧，也得到了广泛的认同，但显然估计问题比较难解 决。 模仿a r c h m 模型，我们也可以将s v 模型进行类似扩展，得到s v m 模 型，用以刻画收益与风险之间的关系。s v m 模型为： y r2 。+ he x p ( h , ) + 8 t 懿p ( h r 2 ) ( 2 - 3 2 、 h f a + 届h f 一1 + 哺 但是许多实证分析说明，风险规避系数( 均值方程中方差前的系数) 常对条 件分布的设定很敏感，且这个系数完全可能是时变的。这种隐含风险与收益间的 替换关系并不是固定的，更何况有证据说明名义利率、通涨率对期望收益也有很 好的解释。对于a r c h - - m 模型，其缺点莫过于它过严的设定，这样将导致有 偏估计和不一致的结果。 传统上，股市收益的风险经常使用芦系数来衡量。这就是资本资产定价模型 ( c a p m ) ： e 僻f ) 一r r + 卢l 陋僻- r f 】+ e t ( 2 3 3 ) 其中：e ( r ) 表示第i 支股票的期望收益率； e 僻。) 表示市场期望收益率； r ，表示无风险收益率； 鼠表示个别股票的风险相对于市场风险的测度； e ，表示随机误差项。 在1 9 8 8 年，b o l l e r s l e v 、e n g l e 、w o o l d r i d r g e 将时变的卢系数和时变的条件 协方差联系在一起。发现用条件协方差表示的不可分散的风险对收益能提供比单 变量g a r c h - - m 模型更好的解释。他们在运用c a p m 实证分析时还使用三维 g a r c h - - m 模型，发现股票、债券与国库券三种资产的收益与风险间存在正的 替换关系。 此外，需要指出的是，汇市的波动非对称性不象股市那样明显，因此线性 o a r c h ( p ，q ) 模型经常用于描述汇市的波动。 兰三兰垒壁垫塾堕堑堡墨型堕笪! 塑g 垒垦竺望堡型 2 3 本章小结 金融市场波动是金融市场风险的重要表现，是投资决策和会融监管的重点。 随着金融风险防范意识的加强，人们对金融波动的研究也日益重视，针对各种金 融波动特征，涌现出了不同的理论模型和研究成果。 s v 和g a r c h 模型是两类异方差模型，是当前描述金融波动的主要模型， 本文针对金融市场的各种典型特征，如：收益的分布的非正态性、波动集聚性、 收益序列的杠杆效应、波动的传导性、波动的持续性和协同性、股市的互异性等 分别讨论了用来描述这些特征的对应的s v 和g a r c h 模型及其扩展形式。并从 金融市场实际出发，回顾了s v 和g a r c h 模型的发展过程。 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 我们已经讨论了同是描述经济金融时间序列波动过程的a r c h 类模型和s v 模型的一般形式。很自然会产生的一个问题是这二者之间是否存在某种联系。从 数据生成过程的角度看，a r c h 类模型描述的是离散的可观测的时间序列的波动 情况，即波动过程可由过去的观测值和过去误差的平方项线性表示。而s v 模型 则是一类随机微分方程的离散化表示形式。在金融领域的研究中，由于s v 模型 的波动是由一个不可观测的随机过程决定的，因此被许多专家学者认为更加适合 于金融领域的实际研究。如果我们能够找到或发现这两类模型之间的联系，则无 疑为我们充分利用这两类模型的优点并为进一步了解数据生成过程的内在机制 提供了便利条件。下面，我们就来讨论这二者之间的相互联系。 一般情况下我们所讨论的g a r c h 模型都是在离散的时间条件下的随机差 分方程，离散s v 模型是对一类o m s t e i n u h l e n b e c k 随机微分方程的离散化表示 形式，很自然地，我们想知道随机差分方程与随机微分方程是否存在某种联系， 是否能由随机微分方程找出两者的联系与区别。另外，对于这两类同是描述时间 序列波动性的模型，我们也可以考虑能否用时间序列的基本模型a r m a 过程将 两者联系在一起，或是寻找一类新的模型将两者结合起来。 3 1 从随机微分方程出发探求s v 与g a r c h 模型的联系 3 1 1 随机微分方程的一般形式 一般地，随机微分方程有如下表示： d 只= 厂 ，r ，协+ g ，r ，l ，彬，( 3 1 ) 硝= f ，e ，f 胁+ g ，r ，p ，( 3 2 ) 翥， 觇，哦小匕翻西= q 田 p 。， 其中q 是一个秩小于等于2 的d + 1 ) o + 1 ) 半正定矩阵，r 是一个n 维状态变量， s 是一个标量过程，彬，分别表示i 维标准布朗运动和n 维标准布朗运动， 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 ，慨，r ，r ) 和g 慨，r ，f ) 分别表示实数值连续标量函数， ，z ，r ) 和g ，：，f ) 分别表示1 和一h 函数。p 。，k ) 是有联合概率测度v o 并独立于，的随机 变量。定义向量函数b 和矩阵函数口分别为： 6 g ，y ，f ) = i ( s ，y ，吐f o ，) ( 3 - 4 ) 哆，= 出g g 蚓q 1 2 a f 仔s ， 3 1 ，2s v 模型对应的随机微分方程 考虑一个离散s v 模型： l n 把) = t n 僻一。) + + y t u t( 3 6 ) 1 n b = 出+ 妒p 乙) 一c a + p r ，( 3 - 7 ) 其中，t 取整数值，芦，矿都是常数，以，绣都服从独立同正态分布，且二者 相关系数为占，对数平方波动过程式( 3 7 ) 当一1 o 和七= o ，1 ，令n 。，。k t ) 表示露”的变 换函数。有j 1 、n g ，) 是关于乜”，曰 ”) ) 的概率测度，当x r ”时。 2 、n 。舫( ，1 1 ) 关于曰 4 ) 可测，且r 丑乜”) 。 对每一个矗 o 令只是关于d 和，m ) 置”) 的概率测度，使得 己【。r 。r 】= v 。( r ) ，re 曰( r ”) ( 3 1 1 ) 只【。x ，= x m ，k h f 蔓( + l 如1 = l ( 3 一1 2 ) 只 。x 扭+ ，汕r l f 。】= t 。( 。盖。，f ) ，o ，f e b ( r ”) o - 1 3 ) 当h 0 时，式( 3 1 1 ) 给出了时间序列的初始分布，式( 3 1 2 ) 给出了n 维 离散时间m a r k o v 过程x 曲的变换概率。我们可以通过式( 3 - 1 3 ) 得到离散时间 随机过程x 。的连续形式，即连续时间随机过程。x ，使。x ，为在时间h ，2 h ， 处具有跳跃点的阶越函数。这里需要强调的是，离散时n n 。x 曲) 序列既依赖 于h 也依赖于时间间隔胁，k = 0 ，1 ，2 ，。而连续时间随机过程 。x ，) 的序列形式 是由 。j 。) 的阶越函数组成的。在给定的条件下， 。x ， 弱收敛到一个极限扩散 过程z 。 对每一个h 0 占 0 ，令 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 g ，) ；矗- 1 叫。o x ) 一x ) n 】g ，砂) ( 3 - 1 4 ) b h ( x ，f ) ；一f y _ x a ；l ( y x ) n p 加l ( x ，a y ) ( 3 - 1 5 ) g ，f ) ；一b 。n m j ( x ，a y ) ( 3 - 1 6 ) 其中 t h 表示t h 的整数部分。 积分区间为i l y 一划1 而不是r ”是因为一般的条件矩并不是有限的。这里 6 h ( x ，f ) 和玩( x ，f ) 分剐是二阶矩和漂移项的单位时间测度。厶。b ，f ) 则表示阶跃 函数在各个阶跃点关于变动幅度占的单位时间的测度。由于扩散过程的样本轨迹 依概率1 连续，所以阶跃点出现的概率必须为0 。 在后面的讨论中，所有结论都是在以下假设的基础上得出的，现在我们给出 这些假设。 假设1 ：存在一个从r “【o ，m ) 到珂 非负定对称矩阵空间的连续可测的映 射口0 ，t ) 和从r ”【o ，o o ) 到r ”的连续可测映射6 g ，r ) ，使得对所有 r 0 ，t 0 ，占 0 ，有： 脚h 髋；肛一a l = o ( 3 - 1 7 ) 瓣s u 划p 帅，) - 如，j f = o ( 3 1 8 ) l i m i 平溉；，= o ( 3 - 1 9 ) 式( 3 1 7 ) 和( 3 - 1 8 ) 要求二阶矩和漂移项一致收敛到一个关于时间和状态 变量x 的函数。式( 3 1 9 ) 要求在单位时间内以占为变动幅度的所有阶越点出现 的概率为0 。因此极限过程样本轨迹是以概率1 连续的。 假设2 ：存在一个从足” o ，o 。) 到疗聆非负定对称矩阵空间的连续可测的映 射盯k ，) ，使得对所有了r ”和所有，0 ，有： d g ，t ) - - o - ( x ，r b g ，r )( 3 2 0 ) 假设2 ：要求玎仁r ) 有矩阵平方根盯0 ，r ) 。 假设3 ：当h 叶0 时，。凰依分布收敛到一个随机变量凰，氓存在关于 ( 只”，曰陋” 的概率测度v 0 。 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 假设4 ：v o ，a ( x ，f ) ，6 0 ，r ) 唯一确定了扩散过程五的分布。 这样，我们就具体设定了极限过程j ，的初始值的概率测度为v o ，一个瞬时协 方差矩阵a g ，f ) 和一个瞬时漂移函数6 g ，f ) 。如果存在极限过程，则上述条件保 证了极限过程有连续的样本轨迹。而假设4 则保证了这样一个样本轨迹是唯一 的。 在前面讨论的基础上，有下列定理： 定理3 i ： n e l s o n ( 1 9 9 0 ，1 9 9 6 ) 】 在假设1 至4 满足的条件下，由式( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) 和式( 3 1 3 ) 给出的。x ，的 序列当h 斗o 时，弱收敛( 即依分布收敛) 到置过程。z 过程可由下式给出 毛= x o + 1 6 0 一扭+ f 仃暖s , s p ， ( 3 _ 2 1 ) 其中呒，是一个独立于蜀的n 维标准布朗运动，并且对任意r b 伍”) ，有： p 0 ，o r ) = v o ( r )( 3 2 2 ) 并满足： 1 、这样一个x ，存在且唯一； 2 、 其分布与盯，) 的选择无关； 3 、x ，在有限时间间隔内是有限的，即对所有t 0 ，有： p 剖置h = t p ：， 现在我们给出g a r c h 过程的扩散极限定理。 定理3 2 ： n e l s o n ( 1 9 9 0 ，1 9 9 6 ) 】 设离散g a r c h 过程可以表示为： 。文m = 。s m + ，( 。s ， ，f m + g ( ， ，r ) 。气 ( 3 2 4 ) 。誓。) 。= 。+ f ( 。，r 胁+ g ( ，。，) 。瓦( 3 2 5 ) 的形式，其中 z m f i d n ( o ，h ) 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 适当选择参数p ，“，以，y 。 ，使得： e 带厶卜 则当h 斗0 ，jv 。时，有： ( 。s ，。r ) j ，r ) 其中墨和z 表示由式( 3 一1 ) ( 3 - 2 ) 绘定的随机微分方程。 3 1 4 从随机微分方程出发s v 横垄和g a r c h 模垄的比较 3 1 4 。1g a r c h 和s v 的一致性 ( 3 - 2 6 ) ( 3 - 2 7 ) ( 3 2 8 ) 在前面的讨论中，我们已经知道g a r c h 过程的连续化可得到一个随机微分 方程的表示形式。这样，我们通过随机微分方程，就可以将离散g a r c h 模型和 离散的s v 模型联系起来。并从这个意义上我们可以找到g a r c h 模型和s v 模 型之闯的菜种联系。国内学者李汉东、张世英提出了定理3 3 【4 3 1 ： 定理3 3 ( 李汉东、张世英) ：对由式( 3 6 ) ( 3 7 ) 给出的离散s v 模型，必 定存在个弱e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，侵二者一一对应。 根据定理3 3 ，对于一个e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型： yz = y i _ u + drzt(329) i n = p i n l 一8 + 露( z f 1 ) g 亿) s 钇+ y i 互| - ( 2 石) v 2 j 互f j d ( 0 ，1 ) ， g ( z f ) 表示零均值、独立同分布的新惠g 蛐o v 撕o n ) 过程。 ( 3 - 3 0 ) ( 3 - 3 1 ) 根据我们前面的讨论，我们可以将式( 3 2 9 ) 和( 3 - 3 0 ) 表示为离散的m a r k o v 过程，贝口有： y 曲= 苁 一i 捕+ + 盯f z 抽 ( 3 3 2 ) 钟 酬k 岛 第三章s v 模型与g a r c h 模型之间的联系 i n ( 。三) ：1 n ( 叫。) 一p 1 。( 。盯；州。) 一口， + 占p 彦。山。+ r 0 。z ( 。叫。i 一( 2 石彤) j ( 3 3 3 ) 根据定理3 2 ，当p ，专v o ；h 寸0 时，可得到连续随机微分方程： a g , = 芦卉+ 盯，d 嵋，( 3 - 3 4 ) d o n 一) = 一f l o n o t 2 一口) + 耐，( 3 - 3 5 ) p b 。，l n 盯；) e r j = y 。(