（技术经济及管理专业论文）基于随机规划动态投资组合中的情景元素生成研究.pdf

摘要 摘要 随机规划模型作为一个强大的工具被广泛地应用到资产配置、资产负债管 理以及投资组合管理等金融领域。随机规划需要生成大量的情景元素来模拟未 来的不确定性，以此构建情景树作为随机优化模型的输入，得到出模型的全局 最优解，并据此给金融规划提供决策建议。因此，不确定性的准确刻画非常重 要，其决定了多阶段投资组合决策成败。本文就随机规划中情景生成模型进行 了深入研究，主要研究工作及结论如下： 1 、构建了基于g a r c h 的情景生成模型。 q 堰c h 族模型能很好地刻画金融资产收益的“波动率聚从，“尖峰厚尾 及“不对称效应”现象。本文利用q 堰c h 模型的突出优点，针对不同类别的 资产，建立了相应的a r 模型及g a r c h 模型用于情景生成。主要的研究工作 包括四个方面：一元g a r c h 情景生成模型的研究；多元g a r c h 情景生成模 型的研究；对一元g a r c h 和多元g a r c h 模型生成的随机情景质量进行了比 较；构建了一个2 阶段情景树。 数值研究发现：一元和多元g a r c h 模型生成情景的累计概率分布与历史 数据较为接近，这表明g a r c h 模型用于情景生成是可取的。其次，多元g a r c h 模型生成的情景的累计概率分布要比一元模型更接近历史分布，这反映了多元 g a r c h 模型更适合于资产组合时情景生成，原因是多元q 咏c h 模型由于能 把资产收益之间的相关性纳入考虑范围，更符合实际情形。不足之处是，多元 g a r c h 模型结构复杂，参数估计困难，当组合资产间的相关性较低时，可考 虑一元g a r c h 模型作为其替代。 2 、单变量的矩匹配情景模型生成研究。 h o v l a n d 和w a l l a c e 最初提出了矩匹配法生成情景的一般框架，但存在许 多缺陷，如局部最优解，存在套利等。本研究改进了其模型，主要做了三方面 的工作：单变量的矩匹配情景生成模型研究：套利机会的排除方法研究：历史 情景描述性特征的反映；给出了另种矩匹配情景生成的思路。 单变量的矩匹配模型，以情景的概率作为优化模型的决策变量，通过逼近 历史收益序列的各阶中心矩，生成单阶段情景树，然后进一步结合向量自回归 摘要 模型生成多阶段情景生成。优化模型中增加了一个约束可以有效解决生成情景 的描述性特征问题。此外，把收益区间适当剖分一般可避免套利的发生。 第二种方法的思路是每次只产生一个随机变量的离散边际分布，然后在所 有离散边际分布的基础上生成联合分布的结果。然后运用各种变换迭代逼近目 标矩和相关矩阵。实证研究表明，该方法不仅可以避免大量的数值计算，而且 得到的情景取得和历史数据较为吻合的统计特征。 3 、基于聚类情景生成的研究及应用 k 一均值聚类法可以对大量的数据进行剖分，建立一个单水平的类集，可以 将样本数据集剖分成k 个互相独立的类，可以被用来构建资产收益情景。本部 分研究应用此算法，进行情景生成的尝试，并与矩匹配法生成的情景进行统计 意义上的对比。研究表明，k 均值聚类法尽量从历史数据的角度出发，挖掘不 同资产的收益之间的相关关系；并且给出了只要增加一个情景就可以避免套利 的简便易行的线性规划方法。该情景生成方法除了具有矩匹配情景生成方法的 优点外，还在对统计特征的刻画上有所改进，能以更少的情景更精确地刻画统 计特征。这为选取少量的情景以降低问题的规模奠定了基础，更重要的是为多 阶段情景生成引入了一种全新的思路。 4 、向量自回归( 堰) 模型的情景生成研究及应用 向量自回归模型是金融数据分析中一种常用的模型，常用于预测相互联系 的时间序列系统及分析随机扰动对变量系统的动态冲击。本文做了利用讯模 型生成情景的尝试，主要工作如下：构建了包含四个股指收益的w 岖模型；基 于蒙塔卡罗模拟的情景生成生；多元g a r c h 模型与娘模型所生成情景在统 计意义上比较；应用娘建立了一个2 阶段的情景树。 研究表明：w 岖生成情景在统计意义上较多元g a r c h 更为可靠，其情景 的累计概率分布更接近于历史数据。此外，w 瓜模型结构较多元g a r c h 简单， 除了体现变量间的相关性，还能很好地反映不同决策阶段的相关性，是一种更 优良的情景生成技术。 5 、基于c o p u l a 函数的情景生成。 c o p u l a 函数有三个优点：多元随机变量的联合分布灵活构造，非线性相关 性的准确描述及收益非正态分布的支持，这些优点利于构建更准确的情景生成 模型。本部分做的工作：给出一个基于c o p u l a 函数，g a r c h 模型及极值理论 的一个多资产收益情景生成步骤。将此方法得到情景与姝，聚类法进行统计 摘要 意义上的比较工作。研究表明，此方法所生成情景的在统计特征上最接近历史 数据，是最为可靠的情景生成方法。 关键词：随机规划，情景生成，讯，q 讯c h ，聚类分析，c 叩u l a 函数 l i l a b s t r a c t a b s t r a c t s t 0 c h a s t i cp r o g 姗m i n gm o d e l ( s p m ) ，弱ap o w c r f u l t 0 0 l ，h 勰b e e nw i d e l yu s e d t 0s u c hf i n a n c i a lf i e l d s 豳a s s e ta l l o c a t i o n ，a s s e ta n dl i a b i l i t ym a n a g e m e n t ( al ，m ) ， a n ds e c ：l i r i t i e s p o n f b l i om a n a g e m e n t 龃ds 00 n s p mn e e dg e n c r a t cm a n ys c e n a r i o s s i m u l a t i n gf u t u r cu n c c n a j n t yo fw h i c hs c e n a r i 0t i e ca c t e d 硒i n p u tt 0s t o c h a s t i c o p t i m 娩a t i o ni sc o n s t m d e do nb 硒i s t h e 西o b a lo p t i m a ls 0 l u t i o no fm o d e l i st h eb 躲i s 0 fd e c i s i o n - m a k i n ga d v i c c sf o rf i n 锄c i a lp r o 孕a 衄i n 舀 s 0 ，t h cd e s 嘶p t i o n0 f u n c e n a i ne c o n o m i cs c e n a r i op l a v sa 霉，e a tr o l ei nt h es u c c e s so ft h ed e c i s i o n m a k i n g i nm u l t i s t a 鼬i n v e s t m e n tp o n f 0 1 i o t h i sp a p e rf o c u s e so ns t u d yo fs c v e r a lm o d e l sf o r s c e n a r i o 日e n e r a t i o n t h em a i nr e s e a r c hw o r ka n dc o n c l u s i o n si sa sf o l l o w i n g ： 1 、 b u i l d i n gt h es c e n a r i 0g e n e r a t i o nm o d e lb a s e do nc “讯c hm o d e l g a r c hf 抽i l vm o d e l s 啪d e p i c t st h ef o l l o w i n gp h e n o m e n ao fa s s e tr e t u mi n f i n a n c i a lm a r k e t ： v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g n o n - a s y m m e t r i c ，l e p t o k u r t i cf e a t u r e s t h e p a p e ru t i l i z e st h e s ea d v a n t a g e st 0b u i l dt h ec 0 1 1 r e s p o n d i n ga ra n dg a r c hm o d e l s a c c o r d i n gt 0t h er e s p e c t i v ea s s e tk i n d s f e a t u r e s t h em a i nw o r kd o n eh e r ei n c l u d e s f b u ra s p e c t s ：s c e n a r i 0g e n e r a t i o nm o d e lb a s e do nu n i v 撕a t eg a r c hm o d e l s c e n a r i o g e n e r a t i o nm o d e lb a s e do nm u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l c o m p a r i s o no ft h et w ol 【j n d s o fm o d e l si ns t a t i s t i c s c b n s t n j c t i o no ft w o p e r i o ds c e n a r i ot r e e t 1 l en u m e r i c a lr e s u l ts h o w st h a tt h et w ok i n d s0 fg a r c hm o d e l sc a np r o d u c e s c e n a r i o sw i t hs i m i l a rs t a t i s t i c a la t t r i b u t e st oh i s t o r i c a ld a t aw h i c ht e l l su st h a tt h e g a r c hf a m i l vm o d e li ss u f ! f i c i e n tt os c e n a r i 0g e n e r a t i o n s e c o n d l v t h em u l t i v a r i a t e ar c hm o d e lh 硒ab e t t e rp e r f b 咖a n c et h a nt h eu n i v a r i a t eo n em a y b ef o rt h er e a s o n t h a ti tc a nt a k et h ec o 盯e l a t i o n锄o n gt h ea s s e t si n t oc o n s i d e r a t i o n h o w e v e r m u l t i v a r i a t e ( ；ar c hm o d e la l s 0h a sad i s a d v a n t a g e ，m u c ht 0 0c o m p l e xm o d e l s t m c t u r ea l l dd i 币c u l tp a r 锄e t e re s t i m a t i o n u n i v a r i a t eg a r c hm o d e lc 锄r e p l a c c m u l t i v a r i a t eo n ew h e nt h ec o l l r e l a t i o n 锄o n ga s s e t sa r es m a l l 2 s i n 2 l ev a r i a b l em o m e n t m a t c h i n gs c e n a r i og e n e r a t i o nm o d e l h o v l a n da n dw a l l a c ef i r s t l v2 i v eac o m m o n 仃a m e w o r kt og e n e r a t es c e n a r i o b a s e d0 nm o m e n t m a t c h i n gw h i c hb u i l d sas c e n a r i 0t r c eb ys o l v i n gan o n - l i n e 盯 0 p t i m i z a t i o nm o d e la n dg e t t i n gt h ev a l u ea n dp r o b a b i l i t y0 fs c e n a r i 0 i th a ss o m c p i t f a u ss u c ha sl o c a lo p t i m a ls o l u t i o na n da r b i t r a g e0 p p o n u n i t ve x i s t e n c e 卸ds 00 n t h ew o r kh e r ei m p r o v e st h ea b o v em o d e lw h i c hi n c l u d e st h r c ca s p e c t s ：s t u d y0 f s i n g l ev a r i a b l em o m e n t m a t c h i n gs c e n a r i og e n e r a t i o nm o d e l ；h o wt 0a v o i dt h e a r b i t r a g eo p p o r t u n j t y ；h o wt od e p i c tt h ed e s c r i p t i v ef e a t u r e sa n da n o t h e ri d e ao f s c e n a r i og e n e r a t i o nb a s e do nm o m e n t m a t c h i n g s i n ev a r i a b l em o m e n t m a t c h i n gs c e n a r i o2 e n e r a t i o nm o d e lt a k e st h e p r o b a b i l i t yo ft h cs c e n a r i o sv a l u ea st h cv a r i a b l cd e c i d e da n dc o n s t r u c tt h e l v a b s i r a c t s i n 酉e p e r i o ds c e n a r i ot r e eb ya p p r o a c h i n gt h ef o u rc c n t e rm o m e n to fh i s t o r i c a lr c t u m d a t aa n dt h e ng e n e r a t em u l t i s t a g et r e ew i t ht h eh e l po f 、! a rm o d e lt h ea n i c l ca d d sa c o n s t r a i n tt os o l v et h ep r o b l e mo f d e s c r i p t i v ef e a t u r c i 舯0 r e di ns c e n a r i og e n e m t l o n i nt h el o n gt e m b e s i d e st h ea b o v e ，t h ei d e ao f p a n i t i o n0 fr e n i mi i l t e f z o n e 7 勰s u r e s t h a ti tc a na v o i da r b i t r a g eo p p o n u n i t y t h es e c o n dw a yi st 0p r o d u c co n em d o mv a r i a b l e s d i s c r e t e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o no n c ca n dt h e np r o d u c eaj o i n td i s t r i b u t i o no nt h eb a s i so fa ut h ep i d d u c e d d i s c r e t em a r 西n a ld i s t r i b u t i o n ，血a l l y a p p r o a c h e st h ea j m e dm o m e ma n dc o n e l a t i o n m a t r i xb va l ll 【i n d s0 ft r a n s f 0 皿s e m p i r i c a ls t u d ys h o w st h a tt h i sw a ya v o i dv a s t 肌m e r i c a lc o m p u t a t i o na n dc 柚g e tt h es c e n a r i ow i t hm u c hs i l i l a rs t a t i s t i c a lf e a t u r e 0 ft h eh i s t o r i c a lr e t u m 3 r e s e a r c h0 ng e n e r a t i n gs c e n a r i ob yc l u s t e r i n ga n da p p l i c a t i o n k m e 卸sd u s t e r i n gc a np a n i t i o nl a r g es e to fd a t a 柚db u i l das i n 酉e - l e v e lc l a s s ， d i v i d i n gt h es a m p l ed a t ai n t oki n d e p e n d e n tc l u s t e r sa st h ea s s e tr e t u ms c e n a r i o t h e r e s e a r c hw o r kh e r et r i e st h i sw a yt og e n e r a t es c e n a r i o sa n dc o m p a r ei tw i t ht h ew a y o fm o m e n t m a t c h i n gs t a t i s t i c a l l y t h er e s u l th e r es h o w st h a tt h i sm e t h o dt r i e sn o tt 0 r e l v 伽m o d e lt 0p r o d u c es c e n a r i 0b u tt 0f i n dt h ec o r r e l a t i o nb e 锕e e na s s e tr e t u m s f 向mh i s t o r i c a ld a t a a t t h es 锄et i m e ，t h ea n i c l e 百v e sal i n e a rp r o 伊a m m i n gm e t h o d t h a ta d d i n gas c e n a r i oi no r d e rt 0a v o i da r b i t r a g e t h ee m p i r i c a ls t u d ys h o w st h a tt h e w a vn o t0 n l yh a st h ea d v a n t a 星i e0 fm o m e n t - m a t c h i n gw a y ，b u ta l s 0h a si m p r o v e di n d e p i c t i n gs t a t i s t i c a lf e a t u r e s ，w h i c hc a nm u c hm o r ea c c u r a t e l yd e p i c ts t a t i s t i c a l f e a t u r e st h r o u g l lm u c hl e s ss c e n a r i o s t 1 l em e t h o d sl a yt h ef o u n d a t i o nf o rd e c r e a s i n g t h es i z e0 fp r o b l e m sb ym u c hl e s ss c e n a r i o ，e s p e c i a l l yi n t r o d u c e san e wi d e af o r m u l t i s t a g es c e n a r i og e n e r a t i o n 4 、 r e s e a r c h0 ns c e n 撕og e n e r a t i o nb a s e do nv j 6 讧ta n di t sa p p l i c a t i o n 抓m o d e l i sau s u a lw a yf o rf i n a i l c i a ld a t a 锄a l y z i n g 卸do r e nu s e dt of b r e c 筋t c o 仰e c t e dt i m es e r i a l ss y s t e m 柚da n a l y z e sd y n a m i ci m p u l s i o nt 0v a r i a b l es y s t e mb y r a n d o md i s t u r b 锄c e t h er e s e a r c hw o r kh e r ei n c l u d e sc o n s t r u c t i o n0 fp r o p e r 、，a r m o d e lo ff o u ri n d e x e s r e t u m ；p r o d u c t i o nal o to fs c e n a r i o sb ym o n t cc a r l o s i m u l a t i o n ，c o m p a r i s o n0 ft h ee f f e c tb e t w e e n 、a ra n dm u l t i v a r i a t eg a r c hm o d e l ； c o n s t m c t i n ga2 一p e r i o ds c e n a r i ot r e e 1 _ h er e s e a r c hr e s u l ts h o w st h a tv a rm o d e l sp e 向咖sb e t t e rt h a nm u l t i v a r i a t e g a r c hm o d e lf o ri t sc d fi sn e a r e rt 0h i s t o r i c a ld a t at h a nt h em u l t i v a r i a t eg a r c h m o d e l b e s i d e st h a t ，、，a rm o d e l sa r es i m p l e r i tn o to n l yd e m o n s t r a t e st h ec o r r e l a t i o n 锄o n gv a r i a b l e sa n dp e r i o d s s oi ti sae x c e l l e n tw a y f b rs c e n a r i og e n e r a t i o n 5 s c e n a r i og e n e r a t i o nb a s e d0 nc 0 p u l a 矗l n c t i o n c o p u l af u n c t i o nm a i n l yh a st h r e ea d v a n t a g e sa sf o l l o w s ：i tc a nf l e x i b l yc o n s t n l c t m u l t i d i m e n s i o nr a n d o mv a r i a b l ej o i n td i s t r i b u t i o n ；i tc a na ：c u r a t e l yd e p i c tn o n l i n e a r c o r r e l a t i o n ：i tc 锄c 锄0 v e r c o m et h el i m i t a t i o n0 ft h en o 彻a ld i s t 曲u t i o nh y p o t h e s i s o fa s s e t sr e t u m h e r et h i sa n i d ed o e st h ef 0 i l o w i n gr e s e a r c hw o r k ：b r i n gf o r w a r da v 一 丝! ! ! 苎垡 一一一 一一一一 竺了= 裟= = 悉嚣尝三篮涨篙翥= 黑篡 觚de x t r e m ev a l u et h e o 巧；c 0 m p a r cl t ss c c n 踟oe c c lw l mv a k 揶q 岫瞄1 1 1 1 吕。i ：婚 n u m e r i c a lt e s ts h o w st h a tt h cw a yp r o p o s a lb yu si sa m o r cr c l i a b l em e t h o dt h 锄t h c k e yw o r d ：s 岫a s t i cp r 0 铲彻i n 岛 s c e n 衲 g e n e m t i o n v a r ，g a r c h ， a u s t e r i n 岛c 0 p u l af i l n c t i 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：彩访矿忖 犷吕年7 月 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：荔够协a 砂万年7 月8 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 金融市场全球化和衍生工具的开发加剧了市场的波动性和风险，金融机构 需要使用复杂的工具进行投资组合管理。随着数理金融学的出现和金融工程的 发展，资产配置的研究已从以m a r k o w 池提出的均值一方差模型为代表的静态模 型发展到动态金融资产配置模型m 。其中一些动态金融资产配置模型己被一些 投资者采用，以帮助他们在日益复杂的金融世界里管理他们的金融事务。这些 模型在实践应用中取得的明显的经济效益已经证明了它们的实用性和有效性。 当今，动态资产配置方面的研究成为金融领域的前沿课题。 近年来，随着计算技术的发展，随机规划【2 ，4 ，5 j 1 ，1 0 1 】方法以其方便的问题刻 画、易于理解的数值解，在动态投资组合管理的研究和实际应用中得到了广泛 应用，并取得了很大的成功，例如资产配置的随机网络模型( m u l v e y 和 a d i m i r o u l 6 8 j ) 、固定收益证券投资组合管理( z e n i o s 等【妨j ) 、不完全市场中带有 交易费用和随机波动性的期权对冲问题p 州。随机规划方法的典型应用还有资产 负债管理，如养老基金资产负债管理【7 ，1 8 ，6 7 ，6 9 1 、保险公司资产负债管理【1 1 ，12 1 、 银行的资产负债管理模型【o i ，w j 。 随机规划模型以代表不确定性未来变动情况的情景树作为输入，可以巧妙 地把决策者对不确定性的预期加入到模型中m u j 。作为一种应用性很强的多阶段 投资组合方法可以全面考虑诸如交易费用、市场不完备性、税收、交易限制和 管理规则等因素。相比其他模型在描述问题方面具有更大的灵活性。然而模型 求解的难度将会随着阶段数和随机变量的增加而急剧变大。不过计算机计算能 力的不断增强和各种新算法大量涌现为随机规划在资产配置中大量应用创造了 条件。 到目前为止，在众多的资产负债管理模型中，有两个模型得到了广泛应用 并取得了令人瞩目的收益表现。c a 血。等l 儿d 卅为日本y a s u d af i r e 和m 撕n e i n s u r a n c e 公司设计的资产负债模型，该模型比以前的定比例投资模型每年为公 司节约7 9 0 0 万美元的费用，并因此获得f r a i l ze d e l m 卸c o m p e t i t i o n 管理成就奖。 第一章绪论 m u l v e y 等【6 9 ，7 0 ，7 1 ，7 2 】为t c l w e 娼p e r 血面l l i n g l l a s t 公司建立的随机资产负债管理系 统( s t o c h 弱t i ca s s e t 卸d i j a b i l i t ym 锄a g e m e n ts y s t e m ) 也取得了同样优异的业绩。 该系统由三部分构成：随机情景生成器( s t o c h 硒t i cs c c n 耐og e n e r a t o r ，q ”： u n l 【) 、非线性优化模拟模型( 1 、b n l i n e 打o p t i m 娩a t i o ns i i n u l a t i o nm o d e l ，o p t ： u n l 【) 、负债和财务报告模块( n e x i b l eu a b i l i t y 锄d f i n 锄c i a l r e p o n i n gm o d u l e ， f n ：l i n k ) ，主要用于养老基金的资产负债管理和保险公司的金融风险管理。 该模型自1 9 9 1 年以来已在欧洲、北美、亚洲等地区1 6 个国家得到应用，并为 美国西部养老基金节约了4 5 亿到1 0 亿美元的机会成本p 。 1 2 随机规划的基本模型 g b d a n t z i g 和e m l b e a l e 在2 0 世纪5 0 年代分别提出随机规划的概念。其 将随机变量引入到数学规划之中，成为解决不确定条件下优化问题的重要工具。 p e t e rk a u 和s t e i nw w a l l a c e 【7 7 】和b i r g e 和l o u v e a l l ) 【5 】对其进行了大量的研究。 随机规划主要分为以下几种模型：预期模型、适应模型、求偿模型。 ( 1 ) 预期模型 预期模型也称为静态模型，是指决策不依赖于任何对不确定性未来观察的 结果。这里的不确定性是由随机向量表示。所有决策必须充分考虑到各种不确 定性在未来的变动情况，因为一旦做出决策将没有机会在以后的阶段进行调整。 在预期模型中，可行性是用概率约束或机会约束来描述的。例如，给定可 靠性水平口，0 口s 1 ，约束条件可以这样表示： p l z ( z ，) = o ，| 1 ，2 ，以 苫口 ( 1 1 ) 其中，x 为坍一维决策变量，：r “q 呻r j = l 2 ，咒目标函数也可以采 用可靠性形式如p o ，) = o ，歹一1 ，2 ，l 之口其中，厶：r 。q 呻ru + ) ， y 为常数。 预期模型采用的决策将会在随机变量的值实现之后使约束条件和目标函数 满足期望的要求。在上面的模型中，就是指违反约束条件的概率小于水平1 一口。 口的精确值取决于当前的问题，违反约束条件的代价及其它类似的考虑。 ( 2 ) 适应模型 在适应模型中，不确定性的部分观察值在决策x 做出之前就可得到，因此优 2 第一章绪论 化的过程是处在不断学习的环境。当然，观察值仅仅提供了随机变量的部分信 息，否则我们可以等待得到随机变量的确定值，然后求解确定数学规划。与这 种极端情况相对应的另一方面就是观察值只有在决策作出之后才能得到，亦即 上面的预期模型。 令彳为通过观察可以得到的随机变量的相关信息。彳是由随机变量的状 态空间q 产生的代表所有可能事件集合的仃一域的子域。决策z 取决于已经观察 到的事件，x 称为爿一适应或彳一可测。利甩彳的条件期望e f 阻1 ，适应随机规 划可以写为： m 玩 e 厂o o ，) 卜4 1 ( ) ( 1 2 ) 锄巧f 幻 e 兀 ，) 陋1 ( ) ；o | 一1 ，2 ，厅 l j x x 两种极端情况( 即可以得到随机变量的完全信息或者得不到任何信息) 需要 特别注意。当没有任何信息时，模型退化为预期模型。当拥有随机变量的完全 信息时，模型( 1 2 ) 称为分布模型。后一种情况的目标是刻画最优目标函数值 的分布。最优决策x 和此时目标函数的取值是由观察到的随机变量m 的实现值决 定的。最令人感兴趣的情况是在初步决策做出后仅有随机变量的部分信息可以 得到。下面讨论这种情况下的模型。 ( 3 ) 求偿模型 求偿问题把预期模型和适应模型结合到一个统一的数学形式之中。这一模 型确定的决策不但考虑到不确定性的未来观察值，而且考虑到已经得到的关于 不确定性的信息，从而可以通过求偿决策做出调整。例如，一个投资组合的管 理人必须同时考虑到证券市场未来的变动情况( 预期) 和价格变动后投资组合要 做出相应的调整。 求偿模型的两阶段形式很容易转化为带有特殊结构系数矩阵的确定性非线 性规划形式。为便于给出两阶段求偿随机规划的数学形式，我们采用两个决策 向量分别表示预期决策和适应决策，即下面向量x 和y ： x 尺帕表示第一阶段的决策向量。这些决策是在得到随机变量的观察值之前 做出的，因此是预期决策。 y 尺帆表示第二阶段的决策向量。这些决策是在观察到随机变量的的取值之 后做出的，为适应决策。这些决策受第一阶段决策的约束，又依赖于得到的随 机变量的观察值。 3 第一章绪论 我们用下面形式给出第二阶段问题，一旦做出第一阶段决策x ，就可得到随 机向量的观察值。令g ( y ，) 表示第二阶段费用函数， z ( ) ，形) ，厅( ) i q ) 为 模型参数。这些参数是随机向量的函数，所以是随机参数。r 是，1 1 肌。维技术 矩阵。它包含将第一阶段决策z 转化为第二阶段求偿的系数。矽为，l | 玛维求偿 矩阵。i i l 为维第二阶段求偿向量。 第二阶段问题是在给定第一阶段决策x 的情况下寻求决策，使第二阶段决策 的费用最优。我们把第二阶段问题的最优值表示为q ，) 。它的值依赖于随机 参数和第一阶段决策变量二的值。q 0 ，) 是下面非线性规划的最优值。 砌口( y ，j ( 1 3 ) i y ( ) y j l ( ) 一丁( ) 工 s “b i e c t 幻 1 、? 。 y 如果第二阶段问题无界，那么我们规定q 圭+ 。模型( 1 3 ) 是一个适应模 型，其中y 为求偿决策，q ，甜) 为求偿费用函数。 两阶段求偿随机规划是关于第一阶段决策变量x 的一个优化问题，目标函数 是对第一阶段决策费用厂o ) 和第二阶段决策费用期望值的和求最优。可以写为 下面形式： 舰，( z ) + q ( 石，) ( 1 4 ) 彳工= 6 s u b e c tt 0 。 石r ? 其中彳为肌。维约束系数矩阵，6 为万。维向量。 结合( 1 3 ) 和( 1 4 ) 我们得到下面模型： m 伽厂o ) + e l 盟挈k ( y ，) l 丁( 弦+ 形o ) y 。j i l ( ) l 5 ) 以z = 6 s u b i e c tt 0 。 x r 令墨圭 工r ：。i 血一6 表示第一阶段问题的可行集合。 k ：= 戈r i e q o ，缈) o ，罗p 一1 第二阶段优化问题的期望值句l 以表示为： e q g ，) 一p q o ，) ( 1 6 ) 对于随机向量q 耵每一个观察值都对应一个不同的第二阶段决策，表 示为y 。得到的第二个问题可以写为： 砌q ( y ，) ( 1 7 ) 。 形( ) y 一 l ( 。) 一r ( 冷， s u u l e c li o 。 y o r ? 结合( 1 6 ) 和( 1 7 ) ，我们可以把随机非线性规划( 1 5 ) 转化为下面确定性等价非 线性规划： 砌厂 ) + 善p g ( y 7 ，) 彳x - 6 丁( 沁+ 形( 。) y 。一矗( ) s h b l e dt 0 。”、 。 工r ， y r ? ( 1 8 ) 对于所有q 这个确定性等价规划的约束可以写为下面具有下三角结构的矩阵方程。 5 第一章绪论 z 和。) w ( u ) ? 妒)( 矿) ： 。- ， u )舢) ( 三 = ( 三墨 ( 5 ) 多阶段模型 求偿问题不仅仅限于两阶段形式。常常随机变量的观察值是在丁个不同的阶 段得到的，其信息包含在集合 4 ) ：，( 4c4 c4 ) 中。这里的阶段是指那 些得到信息和做出决策的时刻。 多阶段求偿随机规划在每个阶段f 都包含一个基于集合4 提供的信息的求 偿问题，这里4 ，f = 1 ，2 f 所提供的全部信息。这一规划问题也对集合4 ， f = z + 1 ，z 包含的信息做出预期。 令随机变量的状态空间为q = q ，q ，q r 。缈相应可写为 = ( q ，) 。把第一阶段决策变量记为y 。对每一个阶段f 一1 2 ，z 定义求 偿决策变量为只r _ ，随机费用函数吼( ) ，q ) ， 随机参数为 z ( q ) ，彬( q ) ，红( q ) i q q ， 。 作为两阶段模型的推广，多阶段模型可以写为下面的嵌套优化问题： 砌m 。) 叫裟吣，州+ e 脾咖隅) 9 ， s u b j e c tt o 五( q ) y o + ( q ) y 。= 啊( q ) ， 弓( 坼) y n + ( 坼) y r = k ( 噜) y o r ? 对于随机变量为离散有限概率分布的情况，同样可以转化为大规模确定性 非线性规划形式。 1 3 基于随机规划投资决策模型中的情景生成 基于随机规划的动态投资决策模型一般围绕着一个称为情景生成器的随机 6 第一章绪论 预测系统及一个资产负债决策优化模型进行设计，模型各模块之间的关系如图 1 1 所示。随机预测系统用来产生大量具有代表性的情景元素来模拟未来的不确 定性，每个情景描绘了一个多阶段规划期间内模型经济变量的演变路径，用来 产生主要资产类别的收益情景。把这些情景输入资产负债决策优化模型并求出 模型的全局最优解，并以此给资产负债管理提供决策建议。大量研究结果表明， 在使用基于随机规划的动态资产配置模型进行投资组合的调整时，情景生成模 型对于投资绩效起着决定性的作用，因此情景分析和情景生成是基于随机规划 的资产配置模型的核心内容。 数据来源：m u i v c y ，g 伽l d ，m o 唱姐( 2 0 0 0 ) 图1 1 预测系统和决策体系其他部分之间的关系示意图 如果这个随机预测系统刻画得不准确，那么基于此刻画的模型和决策就如 同“空中楼阁，毫无意义【3 9 1 。生成情景的数量和结构直接关系到投资组合模型的 复杂性和可靠程度，而风险资产的收益情景是否较好地与实际分布相吻合是多 阶段投资组合决策成败的关键。 1 3 1 情景元素的生成模型分类 对资产收益情景的进行刻画，主要是为了得到某种类别资产的收益情景或 价格情景及其概率分布。未来收益情景的生成紧密地依赖于刻画收益变化的模 型。金融学中通常假设资产收益的变化是连续的，因此从理论上讲用连续分布 刻画比用离散分布更为准确，然而在实际应用中很难实现，一方面由于用连续 分布刻画需要进行大量的积分运算较难实现，另一方面连续分布需要的计算资 7 第一章绪论 源相当庞大，在实际应用中要耗费较大的经济和时间成本i l 。因此在基于随机 规划模型进行决策，一般都用离散分布近似连续分布。所谓离散处理就是将一 个时间区间划分为有限个间隔。以 ，f o ，1 ，z 一1 表示r 个阶段的咒种风险资 产收益变化的离散时间随机