有理系数多项式与矩阵的相似对角化.ppt

1,带余除法定理设a,bZ,b0,则存在q,rZ,使a=bq+r,0r0,t0,n=s+t,因为p|a0,但p2不能整除a0,所以不妨设p|b0,但不能整除c0,又因为p,不能整除an,故p不能整除bs,设p能整除b0,b1,bk1,但p不能整除bk,所以p不能整除ak=b0ck+b1ck1+bk1c1+bkc0,这里ksn,与题设矛盾.,8,定义6设f(x),g(x)Zx,若存在q(x)Zx,使得f(x)=g(x)q(x),则称在Zx中g(x)能整除f(x),g(x)称为f(x)在Zx中的因式,f(x)称为g(x)在Zx中的倍式,否则称g(x)在Zx中不能整除f(x).在Zx中2不能整除x.在Zx中带余除法定理不成立,例如不存在整系数多项式q(x)和次数小于deg2=0的整系数多项式(只能是零多项式),使得x=2q(x)+0.,若整系数多项式f(x)可表为两个整系数多项式g(x)和h(x)的乘积,且f(x),g(x)和h(x)均不等于零或正负1,则称整系数f(x)在Zx中可约,否则称f(x)在Zx中是不可约的.,0和正负1在Zx中既不是可约的,也不是不可约的.P.17倒数第79行改错.,9,例4判断下面的结论是否正确,并说明理由:(1)2x是Zx中不可约多项式.(2)2是Zx中不可约多项式.(3)2是Qx中不可约多项式.,解(1)2x是Zx中可约多项式,因为2和x是Zx中不可约多项式.(2)2是Zx中不可约多项式(3)2既不是Qx中不可约多项式,也不是Qx中可约多项式.,10,例5设p是一个素数,则f(x)=xp-1+xp-2+x+1在Q上不可约.,证明由于f(x)可约f(x+1)可约.,由算术基本定理可知f(x+1)满足Eisenstein判别法,故f(x)在Q上不可约.f(x)称为p次分园多项式.,11,例6由P.12例8.8可知,为5次分园多项式,x4+x3+x2+x+1=0的根,为y2+y-1=0的根,由此可用尺规作正五边形.,1796年高斯(CarlFriedrichGauss,17771855)给出正十七边形的作法.高斯在19岁时就发现了正十七边形的尺规作法,对他本人可以说是刻骨铭心的事件.因此,在他的墓碑上刻上了正十七边形,作为永久的纪念.,12,第四讲有理系数多项式与矩阵的相似对角化,线性变换在不同基下的矩阵,设V是n维线性空间,1,2,n和1,2,n是V的两组基,这两组基之间有一个过渡矩阵P,即,其中P是n阶可逆阵.,又设是线性空间V上的一个线性变换,在这两组基下的矩阵分别是A和B,即,由(1),(2)和(3)式,有,13,由于1,2,n线性无关,所以,或,由此可见,同一个线性变换在不同基下的矩阵是由这两组基的过渡矩阵把它们联系在一起的.我们把矩阵间的这种关系叫做相似关系.,设A,B是两个n阶方阵,如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵B相似于矩阵A,记作AB.,相似作为n阶方阵之间的一种关系,满足以下三条性质:,(1)自反性:AA;(2)对称性:若AB,则BA;,(3)传递性:若AB,BC,则AC.,由于矩阵的相似关系有对称性,如果A相似于B,则B也相似于A,以后就简单称作A与B相似或A,B是相似矩阵.,14,(1)相似矩阵有相同的行列式.,(2)相似矩阵有相同的可逆性,且如果AB,那么A-1B-1.,(3)如果AB,则AmBm,其中m是正整数.,(4)若AB,设f(X)是一个一元多项式,则f(A)f(B).,(5)相似矩阵有相同特征多项式.,(6)相似矩阵具有相同的特征值、迹(trA)和行列式.,15,例1当x,y满足()时,矩阵A与B相似,这里,(1)x=0且y=0,(2)x=0或y=0,(3)x=y,(4)xy.,解若A与B相似,则A与B的特征多项式相等,即,令=0可得(x-y)2=0,所以x=y,再令=1可得,x2+y2=0,所以2x2=0,故x=y=0,答案只可能为(1),下面我们来证明当x=y=0时,矩阵A和B是相似的.,16,即要证明,可逆阵P使得P-1AP=B=diag(0,1,2).我们先分析如下:,相似，即存在三阶,用X1,X2,X3表示P的三个列向量,即设P=(X1,X2,X3).则P-1AP=diag(0,1,2),AP=Pdiag(0,1,2),即(AX1,AX2,AX3)=(0,X2,2X3),等式两边的列向量应当依次相等,所以:,AX1=0,AX2=X2,AX3=2X3,反之设X1,X2,X3是三个线性无关的列向量,满足:,AX1=0,AX2=X2,AX3=2X3,令P=(X1,X2,X3),则,AP=A(X1,X2,X3)=(AX1,AX2,AX3)=(0,X2,2X3)=(X1,X2,X3)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2),P-1AP=diag(0,1,2)=B.,17,故A与B相似存在三个线性无关的列向量X1,X2,X3,满足AX1=0,AX2=X2,AX3=2X3,即A有三个线性无关的特征向量,下面我们先来求A的特征向量.,将1=0代入(I-A)X=0得到(-A)X=0,即,解得基础解系:,证明,因此属于1=0的全部特征向量就是kX1,k取遍所有非零数.,将2=1代入(I-A)X=0得到(I-A)X=0,即,解得基础解系:,18,因此属于2=1的全部特征向量就是kX2,k取遍所有非零数.,将3=2代入(I-A)X=0得到(2I-A)X=0,即,解得基础解系:,因此属于3=2的全部特征向量就是kX3,k取遍所有非零数.,显然X1,X2,X3线性无关,是A的三个线性无关的特征向量,令P=(X1,X2,X3),则P可逆,且,AP=A(X1,X2,X3)=(AX1,AX2,AX3)=(0,X2,2X3)=(X1,X2,X3)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2)P-1AP=diag(0,1,2)=B.,A与B相似,19,现在可以明确提出我们的中心问题:对于给定方阵A,如果存在可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵,则称矩阵A可对角化.中心问题:A可对角化的条件?,设n阶矩阵A=(aij)可对角化,即存在n阶可逆矩阵P使得P-1AP=diag(1,2,n).,用X1,X2,Xn表示P的n个列向量,即P=(X1,X2,Xn).则P-1AP=diag(1,2,n),AP=Pdiag(1,2,n),20,等式两边的列向量应当依次相等,所以:,这说明,如果存在可逆矩阵P使得P-1AP是对角矩阵,那么P的列向量必须满足上述条件,即为A的n个线性无关的特征向量.,那么,如果能找到n个线性无关的特征向量,是不是也可以用这n个向量为列构造可逆矩阵P使得P-1AP是对角矩阵?答案是肯定的.,21,设X1,X2,Xn是n个线性无关的列向量,且满足:,AXi=iXi,i=1,2,n.如果令P=(X1,X2,Xn),则AP=A(X1,X2,Xn)=(AX1,AX2,AXn)=(1X1,2X2,nXn)=(X1,X2,Xn)diag(1,2,n)=Pdiag(1,2,n),P-1AP=diag(1,n),以上的讨论说明,矩阵能不能对角化的关键是能不能找到n个线性无关的特征向量X1,X2,Xn,设AXi=iXi,i=1,2,n.,令P=(X1,X2,Xn