（管理科学与工程专业论文）含缺陷产品的模糊库存理论研究.pdf

j il l f r i l li i f l llf l lflit 17 3 4 0 2 6 摘要 由于市场全球化、顾客消费行为个性多样化导致的市场需求不确定性，以及生 产系统不完善、机器故障、自然灾害、运输破损等原因造成了生产订购批量中存在 缺陷产品是不可避免的，这些对企业的库存管理决策提出了巨大的挑战。基于此， 本文研究了模糊环境下含缺陷产品的库存理论，本文主要内容与创新点如下： 1 根据经典的单周期库存问题，建立了模糊需求下含缺陷产品的单周期库存模 型，运用可信性理论将模糊模型转化为期望模型，进而获得了其最优订货量。最后 的算例分析了缺陷率对最优订货量的影响。 2 考虑到现实过程中由于缺货可能会导致一个不可接受的服务水平，建立了模 糊需求和模糊缺陷率下含服务水平约束的经济订货批量模型。运用符号距离和简单 代数方法确定了模糊模型的最优结果。然后设计了一算法确定了达到服务水平情况 下使利润最大的经济订货策略。算例分析了服务水平对最优订货策略的影响。 3 考虑到实际生产库存管理中的产品缺陷问题，研究了允许缺货情况下含模糊 产品缺陷率的经济生产批量问题。根据产品检验速率的不同，建立了含l r 型模糊缺 陷率和模糊需求的两种经济生产批量模型，运用符号距离和简单代数方法确定了其 最优生产策略。通过理论分析揭示了模型1 和模型2 的关系。结合算例，分析了产品 缺陷率的模糊性和检验速率对最优生产策略的影响。 4 考虑到生产库存中的服务水平限制问题，建立了模糊需求和模糊缺陷率下含 服务水平约束和无质量改进的两个经济生产批量模型，设计了一算法对模型进行了 求解。最后的算例分析了服务水平对最优生产策略的影响。 5 考虑到缺陷产品可以进行质量改进的情况，研究了两种检验速率情况下含质 量改进、模糊需求和模糊缺陷率的经济生产批量模型，运用符号距离和简单代数方 法确定了其最优生产策略。通过理论分析揭示了模型l 和模型2 的关系。最后的算 例分析了缺陷率的模糊性、废品率和检验速率对最优生产策略的影响。 6 考虑到生产库存中的服务水平限制问题，建立了模糊需求和模糊缺陷率下含 服务水平约束和缺陷产品可以进行质量改进的两个经济生产批量模型，设计了一算 法对模型进行了求解。最后的算例分析了服务水平对最优生产策略的影响。 关键词：库存；模糊集；缺陷质量；服务水平；最优策略 6 c o n s i d e r i n gs e r v i c e l e v e lc o n s t r a i n tp r o b l e mi n p r o d u c t i o ni n v e n t o r y , t w oe c o n o m i c p r o d u c t i o nq u a n t i t ym o d e l s 谢t l lf u z z yd e m a n d ，f u z z yd e f e c t i v er a t e ，s e r v i c el e v e lc o n s t r a i n ta n d q u a l i t yi m p r o v e da r ed e v e l o p e d t h ea l g o r i t h m sa r ed e s i g n e dt os o l v em o d e l s t h ei n f l u e n c es e r v i c e l e v e lo no p t i m a lp r o d u c t i o np o l i c i e sa r ea n a l y z e dv i an u m e r i c a le x a m p l e s k e yw o r d s ：i n v e n t o r y ；f u z z ys e t ；i m p e r f e c tq u a l i t y ；s e r v i c el e v e l ；o p t i m a lp o f i c y 目录 第一章引言1 1 1 选题的背景和意义l 1 2 国内外研究现状l 1 2 1 含缺陷产品的订货库存问题研究状况1 1 2 2 含缺陷产品的生产库存问题研究状况3 1 3 研究方案5 1 3 1 研究内容5 1 3 2 研究方法6 第二章模糊理论预备知识7 2 1 可信性理论7 2 2 符号距离理论8 第三章模糊环境下含缺陷产品的单周期库存模型1 1 3 1 模型符号与假设1 1 3 2 含缺陷率的模糊单周期模型建立与求解1 1 3 2 1 模糊模型建立1 1 3 2 2 模糊模型求解1 1 3 3 算例分析13 3 4 小结1 3 第四章模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e o q 模型1 5 4 1 含缺陷率的模糊e o q 模型建立与求解1 5 4 1 1 模糊模型建立1 5 4 1 2 模糊模型求解1 6 4 2 服务水平限制的模糊模型1 8 4 3 算例分析l8 4 4 小结1 9 第五章模糊环境下含缺陷产品且允许缺货的e p o 模型2 0 5 1 模型符号与假设2 0 5 2 含缺陷率的模糊e p q 模型建立及求解2 0 5 2 1 模糊模型建立2 0 5 2 2 模糊模型求解2 2 5 3 算例分析2 4 5 4 j 、结一2 6 第六章模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e p o 模型2 7 6 1 考虑服务水平限制的模糊模型2 7 6 2 算例分析2 8 6 3 小结。2 9 第七章模糊环境下考虑质量改进的e p o 模型3 0 7 1 模型符号与假设3 0 7 2 含质量改进的模糊e p q 模型建立与求解。3 0 7 2 1 模糊模型建立3 0 7 2 2 模糊模型求解3 2 7 3 有质量改进和无质量改进模型的成本比较分析3 5 7 4 算例分析3 6 7 5 小结3 9 第八章模糊环境下考虑质量改进和服务水平的e p o 模型4 1 8 1 考虑服务水平限制的模糊模型4 1 8 2 算例分析。4 2 8 3 小结4 3 第九章总结与展望4 4 9 1 总结一4 4 9 2 进一步研究方向4 5 参考文献4 6 攻读硕士学位期间的研究成果4 9 致谢5 l 学位论文独创性声明5 2 学位论文知识产权权属声明5 2 第一章引言 第一章引言 1 1 选题的背景和意义 随着全球化竞争同益激烈，库存成本的降低在生产经营过程中发挥着举足轻重 的作用。从某种意义上说，合理控制库存成本是一个企业成功的关键，如库存过多， 资金占用过大，企业负担沉重；库存过少，容易发生缺货，造成生产被迫中断或丧 失销售机会。因此如何合理制定库存策略一直受到企业界和学术界的高度重视。 在市场全球化、顾客消费行为个性多样的经济环境下，库存设置的一个重要原 因就是为了应对实际情况中的不确定性。在实际库存中往往面临的是需求不确定，有 时可能许多参数都难以精确确定。为了度量这种不确定性，人们引入了概率理论，通过 分析历史资料得出现有条件下需求不确定性发生的概率，由此建立随机库存模型。但 用概率来描述不确定性必须依靠精确的历史统计数据，否则有关概率就无法获得。在 生产经营过程日益复杂、产品生命周期越来越短的今天，要获得精确的历史统计数据 很难，甚至不可能。于是在不能得到精确值的情况下，人们开始用模糊理论来表达库 存管理中的各种经验或猜测性的近似值。例如当市场需求方面的可获信息不足时， 往往需要根据管理人员的判断、直觉和经验对市场需求进行估计，这就可以运用模 糊语言进行描述，例如“需求大约是每周d 个产品”或“供应商在交货方面是非常可靠 的”。 另一方面在现实的运营环境中，由于生产系统不完善、自然灾害、运输破损等 原因，生产或订购批量中很可能包含缺陷产品，而缺陷产品的存在会对生产或订货 批量产生一定的影响。 目前，有关含缺陷产品的库存问题多是围绕确定或随机环境下展开的，模糊环 境下含缺陷产品的库存问题鲜有报道。因此，开展模糊环境下含缺陷产品的库存理 论研究具有重大的现实意义和理论意义。这一成果可能为处于该环境下的库存管理 者提供一定的参考。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 含缺陷产品的订货库存问题研究状况 ( 1 ) 含随机缺陷率的订货库存问题 s a l a r n e h & j a b e r l ( 2 0 0 0 ) 基于对到货产品1 0 0 的检验，且检出的缺陷产品以某 一折扣价格一次性出售的假设，分析了缺陷率和经济批量的关系；c f i r d e n a s b a 拍n 【2 】 ( 2 0 0 0 ) 坌q 正了s a l a r n e ha n dj a b e r ( 2 0 0 0 ) 模型中最后一个等式的错误；g o y a l c a r d e n a s b a r r o n 【3 1 ( 2 0 0 2 ) 提出了s a l a m e h & j a b e r ( 2 0 0 0 ) 模型中确定最优批量的一种 青岛人学硕十学位论文 简化算法：m a d d a h j a b e r t 4 1 ( 2 0 0 8 ) 重新探讨了s a l a m e h & j a b e r ( 2 0 0 0 ) 模型，并指出 其在求解期望利润所使用的评估方法是错误的；j a b e r , g o y a l & i m r a n 【副( 2 0 0 8 ) 通过考 虑学习型曲线会使缺陷率减少扩展了s a l a m e h & j a b e r ( 2 0 0 0 ) 的模型；p a p a c h r i s t o s & k o n s t a n t a r a s t q ( 2 0 0 6 ) 修正了s a l a m e h j a b e r ( 2 0 0 0 ) 的错误，指出在这篇文献中所给 出的充分条件不能防止发生缺货；l i n 刀( 2 0 1 0 ) 考虑买方具有强势地位，在s a l a m e h & j a b e r ( 2 0 0 0 ) 基础上研究了含随机缺陷率和价格折扣的供应链e o q 模型；k h a n ，j a b e r w a h a b t 8 】( 2 0 1 0 ) 考虑对缺陷产品检验过程中的学习性曲线重新探讨了s a l a m e h & j a b e r ( 2 0 0 0 ) 的模型。k h a n ，j a b e r & b o n n e y t 川( 2 0 1 0 ) 假设缺陷产品的检验过程可能存 在检验错误的情况，研究了检验错误对含缺陷产品的e o q 模型的影响；e r o g l u & o z d e m i r t l 0 1 ( 2 0 0 7 ) 和w e e ，y u & c h e n t 1 ( 2 0 0 7 ) 对s a l a m e h j a b e r ( 2 0 0 0 ) 进行了拓展， 考虑了允许缺货的库存模型。以上模型均假设订货提前期为常数，w u & o u y a n g t l 2 1 ( 2 0 0 1 ) 研究了提前期可变的含随机缺陷率的库存模型；庄博仁和戴嫒坪【l 习( 2 0 0 3 ) 研 究了含随机缺陷率和订货成本可控的可控提前期库存模型。 ( 2 ) 含模糊缺陷率的订货库存问题 c h a n g t l 4 1 ( 2 0 0 4 ) 基于对到货产品1 0 0 的检验，且检出的缺陷产品以某一折扣 价格一次性出售的假设，探讨了含模糊缺陷率以及含模糊缺陷率和模糊需求量的两 个库存问题；周威和金以慧( 2 0 0 6 ) 考虑了模糊缺陷率和模糊订货费情况下的e o q 模型。郭彩云和胡劲松( 2 0 0 8 ) 研究了含模糊缺陷率和价格折扣的e o q 模型。以上 关于模糊缺陷率的文献均基于不会出现缺货的假设，实际中由于缺陷率及其它不确 定因素的存在，出现缺货是很难避免的。王晓莉，胡劲松，张贞齐【1 7 1 ( 2 0 0 8 ) 以及张 群，李群霞，谷炜，朱晓宁【1 8 】( 2 0 0 8 ) 研究了允许缺货情况下含模糊缺陷率和模糊需 求的e o q 模型。 ( 3 ) 含模糊缺陷率和服务水平约束的订货库存问题 当允许缺货时，可能会导致顾客服务水平不可接受，从而使顾客流失。因此在 商业领域，设定一个允许缺货的最大量来维持一个稳定的服务水平。王晓莉，胡劲 松，张贞齐【l 叨( 2 0 0 8 ) 研究了一个含模糊缺陷率的周期性盘点模型，探讨了服务水平 对安全库存的影响。王晓莉，张贞齐，胡劲松刚( 2 0 0 8 ) 建立了一个模糊需求及模糊 缺陷情况下的连续性盘点模型，并利用安全库存来保证预定服务水平的满足。李凌 云，达庆利【2 u ( 2 0 0 9 ) 研究了服务水平限制下含模糊缺陷率的e o q 模型，但未考虑到 缺货补充需要一定的时间。 以上文献涉及到了模糊环境下含缺陷产品以及服务水平约束的订货库存问题， 但值得指出的是：1 ) 在含模糊缺陷率和服务水平的库存策略研究上相关学者未考虑 到缺陷产品的存在会影响缺货补充的时间；2 ) 以上文献均考虑的是多周期含缺陷率 的库存问题。 2 第一章引言 综上所述，目前对于1 ) 模糊环境下含缺陷产品的单周期库存问题：2 ) 模糊环境 下含缺陷产品和服务水平的经济订货批量问题尚缺乏研究，进行该方面的研究将具 有较大的现实意义和理论意义。 1 2 2 含缺陷产品的生产库存问题研究状况 ( 1 ) 含确定缺陷率的生产库存问题 r o s e n b l a t t & l e e 2 2 】r 1 9 8 6 ) 探讨了生产系统在某一时刻出现故障而生产一定比例 缺陷产品的e p q 问题，他们认为生产系统出现故障时刻服从指数分布；k i m & h o n g 2 3 】 ( 1 9 9 9 ) 扩展了r o s e n b l a t t & l e e ( 1 9 8 6 ) 的模型，他们假设生产系统出现故障时刻服从任 意分布；c h u n g & h o u 2 4 1 ( 2 0 0 3 ) 在k i m & h o n g ( 19 9 9 ) 的基础上进一步研究了允许缺 货的e p q 模型；c h e n ，l o & “a o ( 2 0 0 8 ) 通过考虑学习型曲线对缺陷生产系统的影 响扩展了c h u n g & h o u ( 2 0 0 3 ) 的模型；r a h i m & a 1 h a j a i l a n t 2 6 1 ( 2 0 0 6 ) 通过考虑缺陷 率随生产系统出现故障时刻的变化而变化扩展了c h u n g & h o u ( 2 0 0 3 ) 的模型。l o ， w e e & h u a n g 2 7 1 ( 2 0 0 7 ) 考虑了有通货膨胀和缺陷生产过程的供应链系统，其中生产 系统出现故障时间服从任意分布；s a n a ，g o y a l c h a u d h u r i 2 8 1 ( 2 0 0 7 ) 研究了单位生产 成本为决策变量，包含确定缺陷率的缺陷生产模型，其模型中将单位生产成本假设 为生产率的一个函数。t r i p a t h y , w e e & m a j h i 2 卅( 2 0 0 3 ) 研究了一个带有缺陷生产过程 的e p q 模型，最基本的假设是单位生产成本直接与过程可靠性正相关，与需求率负 相关。s a n a 划( 2 0 1 0 ) 将产品可靠性和生产率作为决策变量，研究了带有时变需求的 缺陷生产库存模型。j a m a l ，s a r k e r & m o n d a l t 川( 2 0 0 4 ) 基于缺陷产品经重新生产后都 为合格品且缺陷率为常数的假设，研究了允许缺货和不允许缺货的两种单周期生产 库存模型；c f i r d e n a s b a r r 6 n 3 2 1 ( 2 0 0 7 ) 坌t t 正了j a m a l ，s a r k e r & m o n d a l ( 2 0 0 4 ) 模型中两 个算例的错误；s a r k e r & j a m a l & m o n d a l t ”1 ( 2 0 0 8 ) 将j a m a l ，s a r k e r m o n d e ( 2 0 0 4 ) 的模型从单周期扩展到多周期；c h r d e n a s b a r r 6 n 蚓( 2 0 0 9 ) 改正了s a r k e r , j a m a l & m o n d a l ( 2 0 0 8 ) 中的一些数学表达式。以上文献均没有考虑缺陷产品的重新生产时间 ( 2 ) 含随机缺陷率的生产库存问题 h a y e k & s a l 锄“3 5 1 ( 2 0 0 1 ) 在假设缺陷率服从j 下态分布且允许缺货情况下，研究 了缺陷产品经及时检出并重新生产后都为合格产品的e p q 模型；c h i u 3 6 1 ( 2 0 0 3 ) 假 设正常生产阶段会生产到一定比例的缺陷产品和一定比例的废品，而缺陷产品可以 全部修复的情况扩展了h a y e k s a l a m e h ( 2 0 0 1 ) 的模型；c h i u & c h i u t 3 刀( 2 0 0 6 ) 研究了 正常生产阶段会生产到一定比例的缺陷产品，而缺陷产品可以部分转化为合格品的 e p q 模型；c h i u 3 8 1 ( 2 0 0 7 ) 综合了以上模型假设，研究了正常生产阶段会生产到一定 比例的缺陷产品和一定比例的废品，而缺陷产品可以部分转化为合格品的e p q 模型； c h i u ，w a n g c h i u 【3 川( 2 0 0 7 ) 研究了不允许缺货情况下含有随机机器故障的e p q 模 3 青岛人学硕+ 学位论文 型，得出了其最优生产时间；m o n d a 、 b h u n i a & m a i t i l 4 0 1 ( 2 0 0 9 ) 研究了生产率可变 情况下含有随机缺陷率的e p q 模型；韩良智【4 ( 2 0 0 4 ) 建立了仓库容量有限条件下含 随机缺陷率的两种e p q 模型，第一个模型假设缺陷产品随时处理而不存入仓库，第 二个模型假设缺陷产品先储存起来、待本批产品检验完毕后一次性处理。以上文献 均考虑用传统求导方法得出了其最优策略，这让计算能力比较差的学生和管理者无 法把握现实。因此，c h i u 4 2 ( 2 0 0 8 ) 用一种简单代数方法重新探讨了c h i u & c h i u ( 2 0 0 6 ) 的模型；l i n ，c h i u & t i n g 4 习( 2 0 0 8 ) 用简单代数方法重新探讨了c h i u ( 2 0 0 7 ) 的模型。 以上文献均基于成本最小或利润最大得出了其最优策略。而现实中顾客服务水平也 是必须考虑的一个方面。 ( 3 ) 含随机缺陷率和服务水平约束的生产库存问题 c h i u ，c h i u l i n 4 4 1 ( 2 0 0 6 ) 研究了服务水平限制下缺陷产品经及时检出并重新生 产后都为合格产品的e p q 模型；c h i u ，t i n g & c h i u 4 习( 2 0 0 7 ) 综合了以上模型假设， 研究了服务水平约束下考虑j 下常生产阶段会生产到一定比例的缺陷产品和一定比例 的废品，而缺陷产品可以部分转化为合格品的e p q 模型。以上研究成果均是在随机 环境下取得。 ( 4 ) 模糊环境下含缺陷产品的生产库存问题 w a n g t a n g 4 q ( 2 0 0 9 ) 将订货成本、存储成本和生产系统出现故障时刻看为模糊 变量，研究了一个不允许缺货下含确定缺陷率的生产系统；z h a n g ，z h a o & t a n g 4 ” ( 2 0 0 9 ) 将订货成本、存储成本看为模糊变量，生产系统出现故障时刻看为随机模糊 变量，研究了一个不允许缺货下含确定缺陷率的生产系统；r o y , m a i t y , k a r & m a i t i 4 8 】 ( 2 0 0 9 ) 考虑了在有限时间水平内含确定缺陷率和模糊缺陷率的缺陷生产库存模型； p a n d a ，k a r , m a i t y & m a i t i 4 9 1 ( 2 0 0 8 ) 研究了在模糊资金和模糊缺货量约束下含随机缺 陷率的扩展e p q 模型；王小斌和唐万生【5 0 1 ( 2 0 0 7 ) 探讨了不允许缺货情况下含模糊缺 陷率的e p q 模型，采用模糊模拟技术得出了其最优生产量。 以上关于生产库存问题的研究主要涉及到了如下三方面：1 ) 随机环境下对缺陷 产品进行检验并修复的考虑；2 ) 对顾客服务水平的考虑；3 ) 对生产系统出现故障时 间以及缺陷率的模糊性刻画。但值得指出的是研究1 ) 和2 ) 默认检验速率远远大于生 产速率。然而在许多实际生产系统中，可能由于技术设备落后、人员调配和检验操 作困难等原因，缺陷产品在生产结束后一段时间才能被全部检出，这就有必要考虑 检验速度大于生产速率和检验速率小于生产速率两种情况来研究含缺陷产品的生产 库存模型。研究3 ) 中忽略了对缺陷产品进行质量改进的成本和时间考虑。研究1 ) 、 2 ) 和3 ) 均考虑对缺陷产品进行质量改进，而实际过程中有些产品因质量改进成本过 高而考虑直接处理。 鉴于此，基于两种检验速率下考虑1 ) 模糊环境下含缺陷产品且允许缺货的e p q 4 第一章引言 模型；2 ) 模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e p q 模型；3 ) 模糊环境下含质量改进 的e p q 模型，且与无质量改进模型进行比较分析：4 ) 模糊环境下含质量改进和服务 水平的e p q 模型将更具有现实意义和理论意义。 1 3 研究方案 1 3 1 研究内容 本文研究模糊环境下含缺陷产品的库存理论，主要按照以经济订货批量领域为 出发点，逐步向经济生产批量领域扩展，从仅以成本或利润为目标决策到以成本或 利润与服务水平的权衡决策的方向深化。论文的章节安排如下，其内容结构见图1 1 。 引言 上 模糊理论预备知识 上 模糊环境卜含缺陷产品的单周期库存模型 1 l 模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e o q 模型 上 模糊环境下含缺陷产品且允许缺货的e p q 模璎 土 模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e p q 模型 上 模糊环境下考虑质量改进的e p q 模型 土 模糊环境下考虑质量改进和服务水平的e p q 模型 上 总论与展望 图1 1 “含缺陷产品的模糊库存理论研究”内容结构图 第l 章绪论。阐述本文的研究背景和研究意义，综述国内外含缺陷产品的库存 问题的研究现状，介绍了研究内容及论文结构。 第2 章模糊理论预备知识。本章介绍了文中用到的模糊集理论、可信性理论和 5 青岛人学硕十学位论文 符号距离等基本概念及基本运算法则。 第3 章模糊环境下含缺陷产品的单周期库存模型。本章根掘经典的单周期库存 问题，建立了模糊需求下含缺陷产品的单周期库存模型，运用可信性理论将模糊模 型转化为期望模型，进而获得了其最优订货量。最后的算例分析了缺陷率对最优订 货量的影响。 第4 章模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e o q 模型。本章考虑到现实过程 中由于缺货可能会导致一个不可接受的服务水平，建立了模糊需求和模糊缺陷率下 含服务水平约束的e o q 模型，运用符号距离和简单代数方法设计了一算法确定了其 最优策略，算例分析了服务水平对最优策略的影响。 第5 章模糊环境下含缺陷产品且允许缺货的e e q 模型。本章考虑到现实生产 过程中缺陷产品需要检验才能被识别，建立了检验速率大于生产速率和检验速率小 于生产速率两种情况下含模糊缺陷率的e p q 模型，运用符号距离和简单代数方法确 定了其最优生产策略。最后的算例分析了缺陷率的模糊性对最优策略的影响。 第6 章模糊环境下含缺陷产品和服务水平的e r , q 模型。本章考虑到现实生产 过程中必须达到一定得服务水平，建立了模糊需求和模糊缺陷率下含服务水平约束 和缺陷产品无质量改进的e p q 模型，设计了一算法对模型进行了求解。最后的算例 分析了服务水平对最优策略的影响。 第7 章模糊环境下考虑质量改进的e e q 模型。本章考虑到缺陷产品可以进行 质量改进的情况，建立了两种检验速率情况下含质量改进和模糊缺陷率的e p q 模型， 运用符号距离和简单代数方法确定了其最优生产策略。然后将质量改进策略与第五 章中无质量改进策略进行了比较分析。最后的算例分析了缺陷率的模糊性和废品率 对质量改进模型的影响，探讨了不同修复成本和废品率下的最优方案选择。 第8 章模糊环境下考虑质量改进和服务水平的e r , q 模型。本章考虑到现实生 产过程中必须达到一定得服务水平，建立了模糊需求和模糊缺陷率下含服务水平约 束和缺陷产品可以进行质量改进的e p q 模型，设计了一算法对模型进行了求解。最 后的算例分析了服务水平对最优策略的影响。 第9 章总结与展望。本章对整个论文的研究成果进行总结，并给出了本文研究 的不足之处以及将来可行的研究方向。 1 3 2 研究方法 在求解最优决策时主要采用可信性理论、符号距离方法和简单代数方法，并以 m a t l a b 7 1 软件辅助计算。 6 第：二章模糊理论预备知识 第二章模糊理论预备知识 模糊集理论已被广泛应用于表征不确定性或信息偏好，比如计划、市场需求、 产品质量等。当缺乏确定性数据或可用的历史数据时，1 9 6 5 年z a d e h t 5 1 1 提出的模糊集 理论对处理不确定的库存参数( 如顾客需求或缺陷率) 提供了一个可选的简便方法， 因此本章将介绍所探讨模糊库存问题中用到的模糊理论和模糊方法。 2 1 可信性理论 目前，用模糊集理论处理不确定性环境下的库存问题时，许多学者利用了质心 法、可信性理论嘞3 、符号距离瞄3 1 等反模糊化方法。2 0 0 2 年l i u & l i u 5 2 1 给出了模糊 事件的可信性测度定义，说明了在模糊现象中与随机事件概率测度并行的是可信性 测度，而非可能性测度。近来，闫伟，胡劲松【5 4 1 ( 2 0 0 7 ) 矛1 胡劲松，闰伟，王磊【5 5 1 ( 2 0 0 9 ) 分别利用可能性和可信性理论研究了模糊单周期库存问题，其研究表明利用可信性 理论解决模糊单周期库存问题较可能性理论优。故本文第3 章将采用可信性理论解 决的模型。 定义1 5 6 1 设乎为从可能性空间( p ，p ( p ) ，p o s ) 到实直线吼上的函数，则称善为模糊变量。 定义2 t 5 6 】设手为( p ，p ( p ) ，p o s ) 上的模糊变量，其隶属函数为雎( x ) ：p o s 8p i 善( 臼) = 石 ， z 吼，则事件a 的可能性为p o s a = s u p a e ( x ) 。其中p o s 为可能性测度。 j e a 。 定义3 假设0 为非空集合，尸( p ) 为0 的幂集。如果可能性测度p o s 满足以下三条 公理，则称三元组( p ，尸( p ) ，p o s ) 为可能性空间。 公理1p o s o = 1 ； 公理2p o s o = 0 ： 公理3 对尸( p ) 中任意集合“) ，p o s u , 4 = s u p ，p o s 4 。 定义4 圈设善为0 9 ，p ( p ) ，p o s ) 上的模糊变量，a 尸( p ) ，则称c r a = 1 ( p o s a + 1 一p o s a 。，) 为事件a 的可信性测度。其中a 为a 的补集；三元组( p ，p ( p ) ，c r ) 称为可信性空间。 定义5 5 2 1 设善为模糊变量，则称e ( 宇) = r c r 芋， d r l c r ( 手厂) d ，为模糊变量乎的期望 值。 为了避免出现一0 0 的情形，要求上式右端两个积分至少有一个有限。特别地， 对非负的模糊变量有e ( 乎) = f c r 手 r d r 。 定义6 【5 刀设芋为定义在可信性空间( p ，尸( p ) ，c r ) 上的模糊变量，则善的可信性函数定义 为( 曲= c r oo i 孝( 口) z ，工吼。 7 青岛人学硕十学位论文 定义7 【5 7 1 设乎为定义在可能性空间( p ，p ( p ) ，c r ) 上的模糊变量，( x ) 为乎的可信性分 布。若函数妒：吼叫o ，椰) 对所有x ( - o o ，佃) 满足( x ) = l 矽( y ) d y ，则称矽为模糊变量手 可信性密度函数。 f ( x ) 1 x k 若模糊变量手的隶属函数为雕( 工) = r ( 互) k xs 玎，其中，三( x ) 为i 石k 上增 【0 其它 函数，r ( 工) 为k z 以上减函数，则乎的可信性分布函数( z ) 和可信性分布密度函数 矽( 工) 分别为( 石) = 特别地，对于三角形模糊变量善= ( ，k ， ) ，有 心( x ) 2 x - i ，工七 k 1 n - - x k z 以； ( x ) = ，l 一席 0 其它 f l 2 ( k 一，) ，石k ( x ) = l 2 ( n - k ) k z ，l 。 【0 其它 2 2 符号距离理论 然而当所提出模型中存在两模糊量相乘时其隶属函数往往不易确定，此时质心 法和可信性理论无法求出其期望估计值，而符号距离利用口截集的区间值运算规则 能较容易地求出其期望估计值。故本文第4 8 章模型将采用符号距离方法来解决。下 面简要介绍一下符号距离相关理论知识，更详细的介绍见y a o & w u 5 2 ( 2 0 0 0 ) 。 定义8 如果定义在实数域r = - - o o ，佃) 上的模糊集五( 0 口1 ) 的隶属函数为 心( x ) = 菪二；：，则我们称模糊集五为一个口水平模糊点。 令兀( 口) 为所有口水平模糊点的全集，c ( 1 ) 为l 水平模糊点的全集。 定义9 如果实数域r 上的模糊集k ，吃】，0 口 1 的隶属函数为以厶p ) = 毒嘉s 6 ， 则将其称为口水平模糊区间。 定义l o 若i 为r 上的模糊集，当o s 口l 时，称彳( 口) = 杠k ( 曲口 为j 的一个口截集。 定义1 1 如果定义在r 上的模糊子集j 满足：1 ) j 是正规的，即存在r ，使 8 七 行 一 一 x x 占“如沱k 如其 、j协脚 l 一2 _ i ：一 o = 一 一 ，z x x 一 一 一 x，后 以 、-，2 扭 一 ， 一 疗 ： 一 浦 孙 奎 x 心 卜 一 疗 叫坐心 兰旷兰洳 o撇竺烈， 第二章模糊理论预备知识 j ( 而) = 1 ；2 ) v a ( o ，l 】，j 位) 是闭区问，则称j 为模糊数。 令f 表示模糊数的全集；令f = 目u ( 1 ) 。 定义1 2 若实数域r 上的模糊数j 的隶属函数j ( 力= 上( n - - 。x ) 尺( 等) 仙 o i ；x 疗 刀x 易 其它 其中，三为i t , ，n 】j 【o ，l 】的增函数，r 为i n ，砭】寸【o ，l 】的减函数，且( 玎) 2r ( 刀) 2 1 ， 舡= 胛一_ r i ，a 。= 呸一刀，则称j 为从型模糊数。记为j = ( 甩，a 舡，a 。) 。 因为( # ) 的反函数f 1 ( 口) ：_ h - - 一x ，即石= 以一舡f ( 口) ；同理，r ( 竿) 的反函数 儿 j 月 ( 口) = _ x - - ? i ，即x = r t + a 。r 一( 口) ，则j ( 口) = 【，l 一肚( 口) ，n + a 。r 心一1 ( 口) 】。 三角模糊数为特殊l r 型模糊数，其中的和r 为线性，表示为( 一，a 儿，a 肌) 。 定义1 3 令j 目，j 的口截集为j ( 口) = 心一1 似) ，岛。( 口) 】，则 、j2 怄l 蚓ja 3 ( 口) 2u【乞一位)a，呜一1)a】或心(力2。羔fet。，(x)=o o ，则 4 ) 【口，6 】【c ，d 】= 【4 c ，b d 】； 5 ) 【口，6 】【c ，d 】= 【a d ，b c 。 定义1 4 设模糊数j 的口截集j ( 口) - 【幺一1 ( 口) ，也一( 口) 】，则区间数五( 口) 的符号距离定义为 砸( 毗0 ) ：窆掣粤塑。 对于任意口【o ，l 】，模糊数j 的口水平模糊区间【乞一( 口) 。，如。1 ( 口) 。】和j 的口截集 心一1 ( 口) ，r ；一1 ( 口) 】间存在一对一的映射。 9 青岛人学硕十学何论文 定义1 5 口水平模糊i 噩i b j 心一( 口) 。，尺j 一1 ( 口) 。】的符号距离定义为 d ( 【j 一1 ( 口) 。，心一( 口) 。】，6 ) = d ( 【幺一( 口) ，如- 1 ( 口) 】，o ) 。 定义1 6 对模糊数互雪的符号距离定义如下： d ( 五，雪) = 吉f 【匕一c a ) + 心。似) 一雪一似) 一如。1 ) h 口。 性质1 对于任意的j f ，则d ( j ，6 。) = i 1n 乞。( 口) + 呜一( 口) 】d 口。 性质2 对于互雪f ，有d ( 互雪) = d ( 互a ) 一d ( b ，6 。) 。 性质3 对于任意两个模糊数互雪，有： 1 ) j + 雪= u 。【o j 】 ( l j 一( 口) + 岛_ 1 ( 口) ) 。，( 心。1 ( 口) + 心。( 口) ) 。】； 2 ) j 一雪= u 。o j l 【( 幺_ 1 ( 口) 一岛- ( 口) ) 。，( 心一( 口) 一岛。1 ( 口) ) 。】； 3 ) 如果k 0 ，丘a 。= u 。e l o _ l l 【( 地j 一( 口) ) 。，( a 次j 一( 口”。】； 4 ) 如果k o + e c 尸 s p 。 3 2 含缺陷率的模糊单周期模型建立与求解 3 2 1 模糊模型建立 在订货到达，立即对所有产品进行检验，不合格产品以残值p 卖出，合格产品 如有剩余则以残值s 处理。模糊利润于( q ) 由模糊销售额、购买成本、货物检验成本和 完好产品和缺陷产品的残值组成，故本周期的模糊利润函数 于( q ) = p m i n ( q ( 1 一，竹) ，西) 一c , q c e q + s m a x ( q ( 1 一m ) 一西，0 ) + e q m3 - ( 1 ) 3 2 2 模糊模型求解 采用可信性理论可得式( 3 1 ) 中模糊利润函数于( q ) 的期望函数 e 于( 9 】= p e m i n ( q ( 1 一m ) ，西) 】一q q c 。q + s e m a x ( q ( 1 一m ) 一西，0 ) + e q m3 - ( 2 ) 为求最优订货量q ，需做以下工作：1 ) 根据模糊变量的期望值定义5 ，给出期望模 糊利润函数的表达式e 【于( q ) 】；2 ) 分析函数的性质，求出其最优订货量。 定理1a ) e m i n ( q ( 1 一肌) ，西) 】- q ( i 一聊) 爵训o ) d x + r 。1 矽( x ) 血； b ) e m a x ( q ( 1 一所) 一西，o ) 】：f 0 1 ( q ( 1 一m ) 一工髟 ) 血 证明a ) ：e m i n ( q ( 1 - m ) ，o 】= r c r r a i n ( q ( 1 一埘) ，6 ) ， d r - l c r m i n ( q ( 1 - m ) ，西) ， d r = r 帕c r r a i n ( q ( 1 一所) ，西) 厂 d r + e 埘) c r r a i n ( q ( 1 一肌) ，西) ， d r 1 1 定理a 证毕。 研) 一d ，0 ) r d r d x 定理b 证毕。 由定理1 司得期望利润函数 e 【于( q ) 】= p q 0 一所) 。) 矿 ) d x + 广哪彬( 工) 州 + sf o 一厨 ( q ( 1 一m ) 一x 渺o ) 出一g q c ：q + p q m 3 ( 3 ) 由3 - ( 3 ) z - i 得期望利润最大的订货量最优性条件。 定理2 订货量的最优性条件满足f n m ( 工= 垒若鬻。 期望利润函数e 瞰9 】关于q 的一阶和二阶导数为 堡譬掣= ( p c ，一c c + 绷) 一( p 一州l 一所) r 。m 名 d 2 e 石 t 厂( q ) = 一( p s ) ( 1 一所) 2 妒( q ( 1 一所” o 此时，e 【于( q ) 】为q 的严格凸函数。令d e c ( q ) d q = o ，定理2 得证。 定理3 设三角模糊需求1 5 = ( ，七，刀) 的隶属函数具有定义7 中的形式，则 1 ) 当p ( 1 + ，竹) 一2 c , 一2 e + 2 册l + j 一册0 时 1 2 第三章模糊环境卜含缺陷产品的单周期库存模型 最优订货量q 【，( 1 训州”删，且满足q = 坐等铲+ 南； 2 ) 当p ( 1 + 所) 一2 g 一2 e + 2 e m + s s m 0 时 最优订货量q 【吖( 1 一所) ，( 1 一小