（管理科学与工程专业论文）向量均衡问题解集的稳定性.pdf

摘要 摘要 向量均衡问题作为变分不等式的更一般的形式，它包含优化问题、n a s h 平 衡问题、互补问题、不动点问题、鞍点问题以及变分不等式问题作为特例，在 数学规划、多目标规划理论、管理科学理论、工程技术、数理经济学与社会经 济系统等众多领域有着广泛的应用。向量均衡的稳定性是向量均衡理论的一个 重要研究课题。本文研究对称向量拟均衡问题、向量拟均衡问题系统、一有 效优化问题解集的稳定性和锥凸对称向量拟均衡问题解的存在性及其解集的稳 定性，并给出了一些应用。主要工作如下： 在第二章里，我们给出了对称向量拟均衡问题解集的两个稳定性定理，这 些稳定性定理包括一个通有稳定性定理及一个本质连通区存在定理。我们证明 了在一定条件下包含多种问题的对称向量拟均衡问题的解集是稳定的并给出了 一些应用。 在第三章里，我们首先给出了一个向量拟均衡问题解的存在性定理。在一 定条件下，我们证明了每个向量拟均衡问题的解集都至少存在一个本质连通区。 作为应用，我们给出了一个在目标函数与约束映射的一致拓扑空间中每个向量 拟均衡问题系统的解集都存在一个本质连通区的定理。 在第四章里，我们研究一有效解的稳定性。在赋范线性空间中用一致拓 扑定义向量值映射间的距离，利用著名的f o r t n l 定理，在此拓扑下我们证明了 向量优化问题中一有效解集关于单调连续线性泛函是通有稳定的，关于目标 映射是通有稳定的，当单调连续线性泛函和目标映射同时扰动时是通有稳定的。 在第五章里，我们研究锥凸对称向量拟均衡问题解的存在性及其解集的通 有稳定性。在拓扑向量空间中，利用第三章我们得到的锥凸向量拟均衡问题解 的存在性定理，我们证明了一个对称向量拟均衡问题在支付映射为锥凸条件下 解的存在性定理。该定理在较弱的条件下回答了f u 在 2 中提出的第二开问题， 即在支付映射为锥凸且连续的条件下对称向量拟均衡问题的解是否存在的问 题。最后我们在赋范线性空间中研究了锥凸对称向量拟均衡问题解集的通有稳 定性。 徐庆、朱道立和鲁其辉【3 】主要讨论了n a s h 平衡问题与变分不等式问题和广 义均衡问题的关系，给出它们之间解的等价关系，以及与之相应的映射之间单 i i 摘要 调性的关系。这些研究结果为进一步研究n a s h 平衡、广义均衡问题理论及算法 提供了理论依据。n a s h 平衡问题与变分不等式问题和广义均衡问题解集的稳定 性无论在理论上还是实际应用都是很重要的，但是徐庆、朱道立和鲁其辉【3 】没 有讨论它们的稳定性。在第六章里，我们应用本论文中第二章、第三章、第四 章和第五章中的结论、方法和技巧，研究了 3 中的n a s h 平衡问题与变分不等 式问题和广义均衡问题解集的稳定性，得到一些通有稳定性和本质连通区存在 性的结果。 关键词：向量均衡；稳定性；通有稳定性；本质连通区；对称向量拟均衡问题； 一有效解；向量拟均衡问题系统；锥凸映射：锥凸对称向量拟均衡问题 i i i a b s t r a c t a b s t r a c t v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e mi st h eg e n e r a l i z a t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , i t c o n t a i n sa ss p e c i a lc a s e s ，f o ri n s t a n c e ，o p t i m i z a t i o np r o b l e m ，n a s he q u i l i b r i u m p r o b l e m ，c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ，f i x e dp o i n tp r o b l e ma n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y i t st h e o r i e sa n dm e t h o d sa r ew i d e l yu s e di nt h ea r e a so fm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ， t h e o r yo fm u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g ，t h e o r yo fm a n a g e m e n ts c i e n c e ，e n g i n e e r i n g t e c h n i q u e s ，m a t h e m a t i c a la n dp h y s i c a le c o n o m i ca n dt h es y s t e mo fs o c i e t ye c o n o m i c ， e t c s t u d y i n gs t a b i l i t yf o rv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m si sa ni m p o r t a n ta s p e c ti n v e c t o re q u i l i b r i u mt h e o r y i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys t a b i l i t yo ft h es o l u t i o ns e tf o r v e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，s u c ha ss y m m e t r i c v e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m ，t h es y s t e mo fv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，a n d e - e f f i c i e n c y o p t i m i z a t i o np r o b l e m ，a n dw es t u d yt h ee x i m e n c er e s u l ta n ds t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n s e tf o rs y m m e t r i cv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ti t s p a y o f fm a p p i n g sa r ec o n e c o n v e x ，a n dg i v es o m ea p p l i c a t i o n s t h em a i nr e s e a r c h w o r k sa l ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w eo b t a i nt w os t a b i l i t yt h e o r e m so ft h es o l u t i o ns e tf o rs y m m e t r i c v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s t h e s et h e o r e m si n c l u d ea g e n e r i cs t a b i l i t yt h e o r e ma n d ae x i s t e n c er e s u l to fe s s e n t i a lc o m p o n e n t w es h o w t h a t ，u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n s ， t h es o l u t i o ns e tf o rs y m m e t r i cv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m si n c l u d i n gm a n y p r o b l e m si ss t a b l ea n dw ea l s og i v es o m ea p p l i c a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ef i r s td e r i v ean e we x i s t e n c et h e o r e mo ft h es o l u t i o n sf o rv e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n s ，w ep r o v et h a t ，f o re v e r y v e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m ，t h e r ee x i s t sa tl e a s to n ee s s e n t i a lc o m p o n e n to f t l l es e to fi t ss o l u t i o n s a sa p p l i c a t i o n s ，w es h o wt h a t ，f o re v e r ys y s t e mo fv e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，t h e r ee x i s t s a tl e a s to n ee s s e n t i a lc o m p o n e n to fi t s s o l u t i o ns e ti nt h eu n i f o r mt o p o l o g i c a ls p a c eo fo b je c t i v ef u n c t i o n sa n dc o n s t r a i n t c o r r e s p o n d e n c e s i nc h a p t e r4 ，i nan o r m e ds p a c e ，t h ed i s t a n c eb e t w e e nt w oo b j e c t i v em a p p i n g s i v a b s t r a c t i sd e f i n e db yt h eu n i f o r mt o p o l o g y i nt h i s t o p o l o g y , u s i n gt h ef a m o u sf o r t 1 1 t h e o r e m ，w es h o wt h a t ，t h es o l u t i o ns e to fq e f f i c i e n c yi nv e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i s g e n e r i c a l l ys t a b l ea b o u ti t sm o n o t o n ec o n t i n u o u sl i n e a rf u n c t i o n ， g e n e t i c a l l ys t a b l ea b o u ti t so b je c t i v em a p p i n g ，a n dg e n e d c a l l ys t a b l ea b o u ti t s m o n o t o n ec o n t i n u o u sl i n e a rf u n c t i o na n do b j e c t i v em a p p i n g i n c h a p t e r5 ，a p p l y i n gt h ee x i s t e n c et h e o r e mo ft h es o l u t i o n sf o rv e c t o r q u a s i e q u i l i b - r i u mp r o b l e m sw eo b t a i ni nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nan e we x i s t e n c e t h e o r e mo ft h es o l u t i o n sf o rs y m m e t r i cv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e mu n d e rt h e c o n d i t i o nt h a ti t s p a y o f fm a p p i n g sa r ec o n e - c o n v e x t h et h e o r e m ，u n d e rw e a k e r c o n d i t i o n s ，s o l v e st h es e c o n do p e np r o b l e mp r o p o s e db yf ui n 2 】，w h i c hi sw h e t h e r t h e r ei sas o l u t i o nf o rs y m m e t r i cv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e mw h e ni t sp a y o f f f u n c t i o na r ec o n e c o n v e x a tl a s tw ed i s c u sg e n e r i cs t a b i l i t yo ft h es o l u t i o ns e tf o r s y m m e t r i cv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mu n d e rt h ec o n d i t i o no fc o n e c o n e c o n v e x i t yi n n o r m e dl i n e a rs p a c e s x u ，z h ua n dl u 3 】i n t r o d u c e ds o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nn a s he q u i l i b r i u 】【1 1 ， v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a n dg e n e r a l i z e de q u i l i b r i u m t h e ya l s oi n v e s t i g a t e dt h e r e l a t i o n sa m o n gm o n o t - o n i c i t i e so ft h e i rc o r r e s p o n d i n gm a p p i n g sa n db i f u c t i o n s t h er e s u l t so ft h e i rp a p e rw o u l db et h et h e o r e t i c a lb a s i sf o rf u r t h e rs t u d y i n gi nn a s h e q u i l i b r i u m a n d g e n e r a l i z e de q u i l i b r i u mp r o b l e m s t h es t a b i l i t yo fn a s h e q u i l i b r i u m ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a n dg e n e r a l i z e de q u i l i - b r i u mi sv e r y i m p o r t a n tw h e t h e ri nr e a la p p l i c a t i o n so ri nt h e o r y , b u tx u ，z h ua n dl u 3 1d i dn o t d i s c u s s e dt h e i rs t a b i l i t y i nc h a p t e r6 ，a p p l y i n gt h es t a b i l i t yr e s u l t s ，m e t h o d sa n d t e c h n i q u e si nc h a p t e r2 ，c h a p t e r3 ，c h a p t e r4a n dc h a p t e r5 ，w es t u d yt h es t a b i l i t y o ft h en a s he q u i l i b r i u m ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a n dg e n e r a l i z e de q u i l i b r i u mi n 【3 】，a n do b t a i ns o m eg e n e r i cs t a b i l i t i e sa n ds o m ee s s e n t i a lc o m p o n e n te x i s t e n c e r e s u l t sf o rt h e m k e yw o r d s ：v e c t o re q u i l i b r i u m ；s t a b i l i t y ；g e n e r i cs t a b i l i t y ；e s s e n t i a lc o m p o n e n t ； s y m m e t r i cv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ； z 给定。f u 【2 1 引进了对称向量拟均衡问题( 简称s v q e p ) ， 该问 题就是要寻找( j ，y ) c xd 使得；s ( x ，歹) ，夕t ( x ，多) ， 且 f ( x ，y ) 一f ( x ，y ) 仨一i n t p ， v x s ( x ，y ) ， g ( x ，y ) 一g ( x ，y ) 仨一i n t p ，vy t ( x ，少) a 9 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 定义2 1 1 【1 2 1 1 设f 为一个从h a u s d o r f f 拓扑空间形到另一个h a u s d o r f f 拓扑空间9 的集值映射。 ( i ) 称f 是在x o 矿上半连续的，若对任意的f ( x o ) 的邻域u ( f ( x o ) ) ，都存 的一个邻域u ( x o ) 使得 f ( x ) cu ( f ( ) ) ，vx u ( x o ) 。 称f 在是上半连续的，若在任意的x 处，都是上半连续的。 ( i i ) 称f 是在x o w 处下半连续的，若对任意的y o f ( x o ) 以及任意的 邻域u ( y o ) ，存在而的一个邻域u ( x o ) 使得 f ( x ) n u ( y o ) 矽， v x u ( x o ) 。 称f 在形上是下半连续的，若在任意的x 处，f 都是下半连续的。 ( i i i ) 称f 在矿上是连续的，若，在上既是下半连续的又是上半连续 的。 ( i v ) 称f 是u s c o 的，若它是上半连续的且具有非空的紧值。 ( v ) 称f 是闭映射，若g r a p h ( f ) = ( x ，y ) ：x w ，y 丁( x ) ) 为w xq 中的一 个闭子集。 下面的定义由f e r r o 1 2 2 1 引进的。 定义2 1 2 设( z ，p ) 为一个序拓扑向量空间，又设c 为向量空间x 中的 一个非空凸子集。设向量值映射f ：c z 给定。厂称为真拟凸的，若对任意 的x ，y c 以及t 【o ，1 】， 都有 f ( t x + ( 1 一r ) y ) f ( x ) 一尸， 4 戤 f ( t x + ( 1 一f ) y ) 厂( y ) 一p 。 函数厂称作真拟凹的，若一厂是真拟凸的。 由文献 2 】中的存在性定理，我们得到下面的引理。 引理2 1 1 设x ，j ，z 为赋范线性空间，c 为x 的一个非空紧凸子集， d 为，的一个非空紧凸子集。又设pcz 为一个闭凸点锥且i n tp 矽。 假设： ( i ) s ：c x d - = c 和t ：c x d ；d 为连续集值映射且对任意( z ，y ) c x d ， s ( x ，y ) ，t ( x ，y ) 都是非空闭凸子集： 1 0 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 ( i i ) 厂，g ：c x d z 是连续的； ( i i i ) x v j 任意固定的y d ，f ( x ，y ) 关于x 是真拟凸的；对任意固定的x c ， g ( x ，y ) 关于y 是真拟凸的。 则s v q e p 有解。 现在我们来回顾一些相关的知识。设( x ，d ) 为一个距离空间。k ( x ) ，b c ( x ) 和c k ( x 1 分别表示x 的所有非空紧子集、x 的所有非空有界闭子集、x 的非 空紧凸子集( 若x 是一个线性距离空间) 。对任意的c l ，gc x ，定义 办( c l ，c 2 ) = m a x h 。( c l ，c 2 ) ，h 。( c 2 ，c 1 ) ， 其中 办。( c 1 ，c 2 ) = s u p d ( b ，c 2 ) ：b c 1 ) 且f ( x ，y ) d ( b ，c 2 ) = i n f d ( b ，c ) ，c c 2 。 显然，h 分别为k ( x ) ，b c ( x ) 和c k ( x ) 上h a u s d o r f f 度量。 引理2 1 2 【1 1 2 】设x 为一个距离空间，且彳，a 。k ( x ) ( 刀= l ，2 ，) 满足：若 对任意包括a 的开集0 ，存在整数使得当n n 时，有以c 0 。则对任意序 列 吒 ，毛4 0 = 1 ，2 ，) ， 矗) 都存在一个子序列收敛到a 中的点。 引理2 1 3 设c 为( x ，f j f f ) 中的一个非空紧子集，且d 为( 】，j | i i y ) 中的 非空紧子集。设s ：c xd = c 和t ：c xd j d 为连续集值映射。假定对任意 ( x ，y ) cxd ，s ( x ，y ) 和t ( x ，y ) 都是非空紧子集。则在c xd 上，当 ( x ，y ) _ ( 妒，y ) 时，有 s ( x ，y ) 鸟s ( 矿，y 木) ，以及t ( x ，y ) 与丁( 矿，y 幸) ， 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 其中h 为足( c ) 上的h a u s d o r f f 度量，且 为k ( d ) 上的h a u s d o r f f 度量。 证明设曰，吼和毋分别为x x y ，x 以及y 中的开单位球。 首先，我们证明，对任意 幸，y 幸) c x d 以及任意取定的占 0 ，存在( 矿，矿) 在c x d 中的开邻域m 幸，y 幸) ，使得 h o ( s ( x ，y ) ，s ( x 辜，y ) ) s ， v ( x ，y ) l ( x 事，y ) 。 e ht ：s 在0 枣，y 宰) 处连续且( s ( 矿，y 奉) + ( e 2 ) b x ) n c 为s ( 矿，y ) 在c 上的一 个开邻域，故存在 木，y 幸) 在c x d 上的邻域l ( 矿，j ，) 使得，对任意的 ( x ，y ) e l o 拳，y 木) ，有s ( x ，j ，) c ( ( s ( 矿，y 宰) + ( 6 2 ) b x ) n c ) 。于是我们得到 h o ( s ( z ，y ) ，s ( x + ，y 幸) ) 岛2 ，v 玎。 ( 2 1 2 ) 于是我们得到序列 乙) cs ( 矿，y + ) 。由于s ( 矿，y ) 是紧的，故 乙) 存在收敛的子 列。不失一般性，设乙哼z s ( 矿，y + ) a 取z 在x 上的一个开邻域( z + ( 4 ) 毋) 。 由于乙一z ，故存在自然数o ，使得 1 2 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 z n ( ( z + ( e 4 ) s x ) r 、c ) ，vn n o 。 ( 2 1 - 3 ) 下面证明 ( ( z + ( 4 ) b x ) n c ) n s ( x ，y n ) = ，vn n o 。 ( 2 1 4 ) 事实上，若( 2 1 4 ) 不成立，则存在一个n o n o ，使得 ( ( z + ( 岛4 ) s x ) n c ) n s ( x , o ，) 矽。 于是存在 ( u ( z + ( 氏4 ) b x ) n c ) n s ( k ，y o ) 。 由( 2 1 3 ) ，便有 i i 气一“l l j = 1 1 z 一z + z - u i i j l l z 一zx + 0 z - u 0 z z o 这与( 2 1 4 ) 矛盾。因此( 2 1 1 ) 成立。 取( 妒，y 木) = i ( 矿，y ) n 2 ( 妒，y ) ，则有 h ( s ( x ，y ) ，s ( z ，y ) ) 0 ，存在( 矿，y ) 在c d 上的邻域( 妒，旷) ， 使得 h ( s ( x ，y ) ，s ( x + ，y 木) ) 0 ，使得 ( ( s ( 矿，y 木) + s 毋) n c ) co ， 其中吼为x 中的开单位球。 对上述的s 0 ，由( 2 1 5 ) 知，存在( 妒，旷) 在c d 上的邻域( 矿，y 木) ， 使得 h ( s ( x ，y ) ，s ( x 木，y 木) ) 0 ，使得 ( ( z + g 毋) n c ) co 。 ( 2 1 6 ) 由假设知，存在( 矿，y ) 在c d 上的一个邻域( 矿，矿) ，使得 h ( s ( x ，y ) ，s ( x ，y 木) ) 0 ，存在使得 夕( ，“，) 6 4 ，v n ，m n 。( 2 2 1 ) 于是，对任意( x ，y ) c x d ，有 啊( s ( x ，y ) ，咒( x ，y ) ) e 4 ，缟( 乙( x ，y ) ，乙( x ，y ) ) e 4 ，( 2 2 2 ) 且 0 l ( x ，y ) - f 。( x ，y ) l l c 4 ，恢( x ，y ) - g m ( x ，y ) i i c 4 。 ( 2 2 3 ) 于是对任意取定的( x ，y ) c xd ， 邑( x ，y ) ) 为c k ( c ) 中的c a u c h y 列， 瓦( x ，y ) ) 为c k ( d ) 中的c a u c h y 列，且 l ( x ，少) ) ， 既( x ，y ) ) 为z 中的两个c a u c h y 列。 由引理2 1 5 及假设条件，( 似( c ) ，啊) ，( c k ( d ) ，红) 及( z ，i | i j ) 都为完备距离空 间。于是，存在s ( x ，y ) c x ( c ) ，t ( x ，y ) c k ( d ) ，f ( x ，j ，) z 以及g ( x ，y ) z 使得 最( x ，j ，) 山s ( x ，y ) ，乙( x ，y ) 山t ( x ，y )( 2 2 4 ) 且 l ( x ，y ) 山f ( x ，y ) ，晶( x ，y ) 山g ( x ，j ，) 。( 2 2 5 ) 于是，我们得到映射s c xd j c ，t c x d = d ，f ，g ：c xd z 。由于啊( ，) ， ( ，) 及| 1 1 | 是连续的，由( 2 2 2 ) 以及( 2 2 3 ) ，对任意固定的刀n 以及任 意( x ，y ) c x d ，让聊专c o ，我们得到 啊( 咒( x ，y ) ，s ( x ，y ) ) e 4 ，h 2 ( r o ( x ，y ) ，r ( x ，y ) ) s 4( 2 2 6 ) 且 0 l ( x ，y ) - f ( x ，y ) 0 n ，由瓯的连续性及引理2 1 4 ，存在( 而，儿) 在_ c xd 中的一个邻 域n ( x o ，y o ) 使得 啊( 瓯( x ，y ) ，瓯( x o ，y o ) ) s 4 ，v ( x ，y ) n ( x o ，y o ) 。 ( 2 2 1 0 ) 由( 2 2 6 ) ，( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 以及( 2 2 1 0 ) ，我们有 h ( s ( x ，y ) ，s ( x o ，y o ) ) f ， v ( x ，y ) n ( x o ，y o ) 。 因此s 在c x d 上连续。 用类似的方法，我们可以证到丁，厂，以及g 是连续的。 现在，我们要证，对任意取定的y d ，f ( x ，y ) 关于x 真拟凸。对任意n ， 任意x l ，x 2 c 以及任意， o ，1 ，由z ( ，y ) 的真拟凸性，我们便有 l ( t x l + ( 1 一t ) x 2 ，y ) z ( ，少) 一p 或 z ( t x i + ( 1 一t ) x 2 ，y ) f 。( x 2 ，y ) 一p 。 由于z ( + ( 1 一，) t ，y ) 山f ( t x , + ( 1 一，) 屯，y ) ，z ( _ ，y ) 山厂( 一，y ) 以及 f o ( x ：，y ) 山厂( 叠，y ) ，f hp 的闭性，我们便有 厂( t x , + ( 1 一，) 而，y ) 厂( 葺，y ) 一p 1 7 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 - 二二二二二= ：= ：二= ：= l 戥 f ( t x l + ( 1 一t ) x 2 ，y ) f ( x 2 ，y ) - p 。 因此，厂( ，y ) 是真拟凸的。同样可证g ( x ，) 是真拟凸的。 由( 2 2 6 ) 以及( 2 2 7 ) ，对任意取定的以以及任意( x ，y ) c x d ，我们 有 啊( 鼠( x ，少) ，s ( x ，y ) ) - f 1 4 ，红( ( 石，j ，) ，t ( x ，j ，) ) 占4 以及 忧( x ，y ) 一( z ，y ) i f 0 ，使得 x c ：d ( x ，s ( x ，y ) ) n ，我们有 s u p ( 叉( x ，y ) ，s ( x ，y ) ) 8 0 2 【j ，y ) e c d 且 s ( x 。，y 。) c x c ：d ( x ，s ( x ，y ) ) n 时，我们有 咒( x 。，y 。) c 7 x c ：d ( x ，s ( 吒，儿) ) 6 0 2 ) c x c ：d ( 石，s ( x ，y ) ) 一x ， 我们有 x 。x o s ( x ，y ) 。( 2 2 1 4 ) 用类似的方法，我们可以证到 歹t ( 一x ，歹) 。( 2 2 1 5 ) 由于s 在( x ，y ) c d 处下半连续， 故对任意x s ( x ，y ) ，存在口。s ( x 。，y 。) ， 使得- - - x 。由于户( ( 只，乙，厶，g 。) ，( s ，丁，g ) ) 专0 ，故存在 瓯) 的子列 最。) ， 使得 s u pi l z l ( 最。( x ，y ) ，s ( x ，y ) ) 1 k 。 ( j y ) e c x d 于是，存在 ( x 。，y 。) ) 的一个子列 ( x ，y ) ) ，使得 1 9 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 啊( ( x 矿) ，s ( h ，) ) 0 ，使得对任意u m 且 p ( u ，u ) 0 ， 存在“l ，u 2 m 且p ( u ，u 1 ) 万，p ( u ，u 2 ) 0 使得对任意满足 p ( u ，u 。) 0 ，由( 2 3 1 ) ，存在“l ，甜2 m 使 得 p ( u ，u 1 ) 万2 ，p ( u ，u 2 ) 万2 ， - e ( u 1 ) n u t = ，甲( “2 ) n = 。( 2 3 3 ) 由于u 。，u 2 m ，我们有u 1 = ( s ，石，f o ，g o ) r u 2 = ( 是，互，f o ，g o ) 。现在我们分别定 义s 。：c x d j c 和t ：c x d = d 如下： s 。( 石，y ) = 名( x ，y ) s i ( x ，y ) + a ( x ，y ) 叉( x ，y ) ，v ( x ，j ，) c xd 以及 丁。( x ，y ) = a ( x ，y ) t l ( x ，y ) + l a ( x ，y ) t 2 ( x ，y ) ， v ( x ，y ) c x d ， 其中 兄c x ，y ) 2j i 石i 歹赛鼍卑 ，vc x ，y ) c 。、“7 d ( ( x ，y ) ，u ) + d ( ( x ，y ) ，【，2 ) 且 ( 石，y ) = j i 石i 了量鼍牟 粝，v ( x ，y ) c 。 显然， 五和都是c xd 上的连续函数且对任意( x ，y ) c xd ，见( x ，y ) 0 ， ( x ，y ) 0 r 五( x ，y ) + z ( x ，y ) = 1 。注意至0 s ( x ，y ) ，s z ( x ，y ) ，夏( 工，y ) ，以及 瓦( x ，y ) 是连续集值映，我们可以证到u = ( s 。，丁，f o ，g 。) m 。由引理2 3 1 ，我 们有 啊( s ( 石，y ) ，s 。( x ，少) ) z ( x ，y ) 向( s ( 石，y ) ，s ( x ，j ，) ) + ( x ，y ) 扛( s ( x ，y ) ，是( x ，y ) ) 扛( s ( x ，j ，) ，墨( x ，y ) ) + ( s ( x ，y ) ，叉( x ，y ) ) ，v ( x ，y ) c xd 日 2 4 第二章对称向量拟均衡问题解集的稳定性 红( r ( x ，y ) ，t ( x ，y ) ) x ( x ，j ，) ( r ( x ，j ，) ，五( x ，少) ) + ( x ，j ，) 呜( z ( x ，j ，) ，乏( 工，y ) ) - ( 丁( x ，y ) ，互( x ，少) ) + ( r ( x ，y ) ，瓦( x ，少) ) ，v ( x ，y ) c xd 。 于是，由( 2 3 3 ) ，我们有 p ( u ，甜。) 2s u p 啊( s ( x ，y ) ，兄( x ，y ) s l ( x , y ) + a ( x ，y ) s 2 ( x ，y ) ) ( j 。y ) e c x d + s u ph 2 ( r ( x ，y ) ，见( x ，y ) t i ( x ，y ) + u ( x ，y ) t e ( x ，y ) ) ( x ，y ) e c x d + s u pi l i o ( x ，y ) - f o ( x ，y ) 忡s u p i l g o ( x ，y ) - g 。9 ，y ) 0 ( x , y ) e c x d( j y ) e c x d 5 s u p 向( s ( x ，y ) ，s l ( z ，y ) ) +s u p 魄( s ( x ，y ) ，s 2 ( x ，y ) ) o ，y ) e c x d( z ，y ) e c x o + s u ph 2 ( 丁( x ，y ) ，互( x ，y ) ) +s u ph e ( 丁( x ，y ) ，疋( x ，y ) ) 。 ( j ，y ) c - , c d( j ，y ) c x d ip ( u ，u 1 ) + p ( “，u 2 ) 万2 + 6 2 = 万。 由( 2 3 2 ) ，我们有 w ( u 。) n ( u luu 2 ) 。( 2 3 4 ) 若( x ，) ，) u 1 ，则五( x ，y ) = l ，j u ( x ，少) = 0 ，s 。( 工，j ，) = s l ( x ，y ) 且丁( 石，y ) = 互( x ，y ) 。 若( x ，y ) w ( u ) ，贝0j s ( x ，y ) ，y t ( x ，y ) ， f o ( x ，y ) - l ( x ，y ) 仨- i n t p ， v x s