不确定原理的理解及其应用

不确定原理的理解及其应用材料物理081 柳渊（08920110） 邬竞为（08920116）摘要：不确定原理是客观世界的自然规律之一,是物理学中极为重要的关系式。不确定原理可以从算符的对易关系中严格地导出, 也可以由电子的衍射中定性地简单导出。本文由普朗克的能量量子化假定,玻尔的角动量量子化假定, 以及德布罗意关系式-波粒二象性假定中非常简洁地导出不确定原理的各种表达式。试图在理解其意义的基础上例举其相关的应用，得出对不确定关系的理解，揭示了微观世界的本质。关键词：不确定原理 理解 推导 应用 引言：量子世界给我们展示了微观粒子的一种特殊属性：波粒二象性。而这种特性直接导致了不确定原理的产生。作为量子力学的一个基本原理，研究不确定原理的推导，理解及其应用对于正确认识量子力学理论，并更好地将量子力学应用于实践都有着巨大的作用和深远的意义。1.不确定原理的提出：在1926年夏天,量子理论的情况可以用两句话来表征:矩阵力学与波动力学在数学上的等价性已为薛定谔阐明,其数学方案的一致性( consistency)是很难怀疑的；但关于这一理论的物理解释却仍然争论得很厉害。波动力学创始人薛定谔等人致力于排除量子理论中的如量子跃迁等“不合理”性质,而在云室内观察到的微观粒子径迹的连续性看来对薛定谔等人是有利的。矩阵力学的代表海森堡集中精力研究如何用量子力学的数学方案表达云室中的电子路径。在爱因斯坦“决定什么东西能被描述的是理论”的思想下,终于使他意识到:“在云室中的电子并没有真正的路径。那里只有一连串的小水珠。每一小水珠粗糙地指明了电子的位置；而电子的速度可以从这一串小水珠粗糙地得出。”矩阵力学指出：，如果p是动量，q是位置，先观测动量p，再观测位置q，这和先观测q再观测p，其结果是不一样的。也就是说我们在观测一个量的同时必然会影响到另一个量。根据以上原理，海森堡于1927 年提出的一个关于微观粒子运动的基本规律：不确定原理。它指出：有这样一些成对的物理量（或称力学量）， 它们不可能同时具有确定值。其中一个量越是确定， 其共轭量就变得越不确定。例如, 坐标与相应方向的动量分量。海森堡发现，测量p和测量q的误差，它们的乘积必定要大于某个常数。如果我们把p测量得非常精确，也就是说非常小，那么相应地，必定会变得非常大，也就是说我们关于q的了解就要变得非常模糊和不确定。反过来，假如我们把位置q测得非常精确，p就变得摇摆不定，误差急剧增大。它数学表述形式为：。和分别是测量p和测量q的误差，h是普朗克常数。其另外一著名表达式为，称为能量-时间不确定原理。2.不确定原理的推导我们知道,物质的波动性质事实上表明了在微观物理学中,位置确定与动量确定的之间有直接的关联,就是说,我们不能同时测量一个粒子精确的位置和动量,即有: 我们的出发点是由波函数( x)描述的一个任意的粒子状态, 我们假定波函数( x )归一化为1, 并首先限制于一维运算。对于Px 或x 的偏差,由它们的平均值来定义其量度均方偏差： （1） （2）为方便推导,我们选择适当的坐标系:假定原点固定在x ,并使原点随分布x 的中心而运动, 以致任何时刻都有于是我们有:和由此得到: 和 （3）此平均值是容易运算的: 即 （4）为了建立和之间的关联,我们考虑积分 （5） （6）令 （7） （8）由于在积分边界上为零 （9）由(7) (8) (9)三式, (6) 式可写成由于按照(5) 式的二阶多项式是正定的,判别式必定小于等于零,对所有 , I()必须都为正,所以二次方程I() = 0 的根必为复数,因此有:将(7) (8) (9)三式代入上式,我们可以得到动量和位置的不确定关系3.不确定原理的理解:3.1.不确定原理的由来的物理解释:3.1.1.测不准关系:如果谁想要阐明“一个物体的位置”（例如一个电子的位置）这个短语的意义，那么他就要描述一个能够测量“电子位置”的实验，否则这个短语就根本没有意义。但是，要测电子，显而易见的办法是将光照到这粒子上，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明它的位置。我们首先必须观察到，这就需要有某个光子从光源出发，撞到这个球身上，然后反弹到你的眼睛里。关键的是，在量子力学研究的微小粒子，我们并不能忽略一个光子对一个电子撞击的影响。同时在我们观测它的时候，因为其极其微小，根据显微镜分辨率原理，我们要分辨一个电子，必须要用波长极短的波去观测，根据，分辨率越高，粒子的能量越大，这样这就在我们测得他位置的瞬间，也正是光子被电子散射的瞬间，电子的动量产生了一个不连续的改变，因此，在知道电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度，而且位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。以电子为例，设电子的速度接近光速，即1010cm/s数量级，此时，电子的动量是10-17g.cm/s数量级。在“射线显微镜”实验中，光子具有极短的波长，它的动量数量级要比电子动量大几千倍。因此，光子碰上电子，就像火车碰上小客车一样，通过碰撞所观察到的电子的运动，电子已经完全变了样。光子对电子的干扰太大了，人们无法通过“光子显微镜”了解电子的详情。关于仪器，也可以这样理解：微观世界是不能用人的感官直接观察的，人类对微观世界的了解必须借助于测量仪器，但仪器输入的是微观世界的信息，仪器必须对付那些遵从量子规律的现象；而仪器输出的却是供经典语言记录下来的信息，因为人的感觉器官不懂得其它任何语言。仪器没有功能同时提供位置和速度信息，因为它不能同时测量两个互不相关的量。在测量速度时，如果不问位置，它便能提供有关速度的信息。反之，如果测量位置时可以不问速度，它便可以提供有关位置的信息。这两种解释有相同之处，也有不同之处。相同之处在于测不准都是仪器自身的问题，而不是原子世界的本性问题。也就是说，一个电子实际上是同时具有准确的位置和动量的，只不过我们出于某种限制无法得知罢了。不同之处在于前者认为仪器是可以测量微观世界的物理过程的，只是仪器精度不够；而这种精度，本质上体现为仪器对原子世界的干扰太严重了，我们得到的结果是不准确的，有误差；后者则认为仪器本来就不能测量微观世界的物理过程，以经典力学框架生产的仪器，测量微观世界的物理过程是办不到的。仪器输出的是宏观现象，仪器在微观宏观的“翻译”中走样了，出现了测不准。所以说，本文认为这种观点所支持的不确定关系更应该被称为“测不准关系”。3.1.2.不确定性原理:本文认为，不确定原理更像自旋一样，是量子客体本身内含的一种自身秉性，与测量毫无关系。即量子力学中的力学量本身具有不确定性，而不是我们测不准，它是量子客体的波粒二象性导致的必然结果。因为动量总是通过关系式与波长联系在一起，谈论某一位置的动量就等于谈论某一位置的波长， 然而，波长根本不是位置的函数,严格说来，它是无限长的一列波的特征，所以，谈论“某一位置的波长”是毫无意义的！相应地，在确定的坐标上还想得到确切的动量，自然就不可能了，所以在微观世界中，粒子的位置和速度是彼此没有关系的量。因此，不确定关系称为“不确定原理”比较合理。3.2.不确定关系同互补原理的在波粒二象性上区别与联系我们注意到，玻尔更着重于从哲学上考虑问题，1927年玻尔提出著名的互补原理。在他的互补原理里提出：一些经典概念的应用不可避免的排除另一些经典概念的应用，而这“另一些经典概念”在另一条件下又是描述现象不可或缺的；必须而且只需将所有这些既互斥又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成对现象的详尽无遗的描述。这里的另一条件可以理解为量子理论下，也就是说对经典理论来说是互相排斥的不同性质，在量子理论中却成了互相补充的一些侧面。波粒二象性正是互补性的一个重要表现。 如果说海森伯的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二象性。那么互补原理则从哲学高度概括了波粒二象性。互补原理与不确定关系是量子力学哥本哈根解释的两大支柱。3.3.不确定关系在量子力学理论中的意义及地位：不确定原理虽然可以由薛定谔方程推导出来，但并不是说它不存在独立的理论价值，相反，不确定关系完全可以脱离薛定谔方程而独立存在，是量子力学中的一个独立的原理，具有和薛定谔方程，波函数几率解释具有同等重要的地位。因为，不确定原理从薛定谔方程推导过程是不严格的，它只能说明不确定关系和薛定谔方程是自洽的。不确定原理是人们在探索微观世界时所遇到的一个界限，正如时间简史中霍金所说的那样，“这个极限既不依赖于测量粒子位置和速度的方法，也不依赖于粒子的种类。海森堡不确定性原理是世界的一个基本的不可回避的性质。”当人们在相对论中看到了最快不能超过光速这一对物体运动速度的限制之后，在微观世界，人们遇到了由不确定性原理界定的另一条界限！4.不确定原理的应用：不确定原理在量子理论中占据着基础性无可比拟的作用，它的应用也深入到了微观世界的各个领域。我们在文章中举例说明他的各方面的应用，以更深刻理解他的不确定的本质与意义。4.1.不确定原理在量子理论计算中的应用不确定关系常用来对一些微观物理问题作定性分析，而且往往能得到一些非常有意义的结果。在原子物理中我们能利用不确定关系去求解舒服粒子的最小平均动能，估算氢原子可能具有的最低能量，还可以去解释电子不能落入核内的原因以及计算一维谐振子的基态能量等。这里我们举例说明其束缚态最小平均动能的计算。设质量为m的粒子被束缚在线度为r的范围内，即假定 而 根据统计规律，对于束缚在空间的粒子，其动量在任何方向的平均分量必定为0，即 由此可得束缚粒子的最小平均动能为 4.2.不确定原理在测量中的应用4.2.1.显微镜测量在显微镜测量中，一束光垂直于x轴并照明被观察的物体，由显微镜的理论知道粒子的坐标能以精度作测量。粒子的像由光子产生，此光子被粒子散射并运动通过透镜进入显微镜，按照康普顿效应，在散射过程中光子的动量要改变。粒子经受量级为的反冲动量，因为光子在角度为的锥内任意方向，粒子的动量不能确切地知道，所以，对粒子的动量转移一定在下列范围内：位置和动量的积:4.2.2.解释光谱的自然宽度在测量光谱线时，我们会得到谱线呈一自然宽度，这个也可以应用不确定原理进行解释。我们知道光谱线系中，电子在两能级间跃迁可产生一条谱线。电子处于不稳定的激发态会自发向低能级跃迁，在激发态能级上必有一固有寿命（能级的寿命会受外界的影响，如原子间的碰撞会因损失激发能而缩短寿命），即不能是无限长。按不确定关系，此能级必存在相应的宽度，这正是谱线的自然宽度，这就完全解释了为什么谱线自然宽度的存在。4.3.不确定原理在核物理中的应用：我们先来考虑一个非常有趣的例子。中子的衰变：，这是一种弱相互作用过程，用费恩曼图来表示如图1所示：图1 我们注意到起传递作用的是玻色子，其质量约为100GeV/C2。图1左边表示的是中子和电中微子，右边表示的是质子和电子，其质量之和均小于1GeV/C2 显然，实验可以测量到的左右两边是能量守恒的 即： 而对于无法测量的中间过程： 和其是能量不守恒的。中间玻色子所传递的弱作用的力程极短，若令其为d，则在反应中间过程里以光速传递的虚粒子的平均寿命应为，这就是反应过程中的不确定度，根据不确定关系式，我们可以得到，它就是为了产生虚粒子所需要“透支”100GeV的能量。将此数值代入上式，便可算出弱作用力程。这已是目前实验上能测量到的极限距离。20 世纪30 年代，实验上测量不出小于m的距离，因为此，类似的，费米研究衰变理论时认为弱作用是四费米子直接作用，即四费米子直接作用于一个“点”。 用同样的方法，1935 年，日本科学家汤川秀树根据他所提出的核力介子场论，预言在核子之间传递核力的介子的质量，当时，人们已经知道核的力程大概为m将其作为d代入式，便可算出介子质量约为200MeV。1947年，莱梯斯等利用核乳胶在宇宙射线中发现了介子并测出其质量约为140MeV，与汤川秀树的预言在数量级上是一致的。由此可见，不确定原理在粒子物理和核物理中有广泛的应用。4.4不确定原理与在有关微观理论的哲学中的应用：芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的，由多个悖论组成，其观点相关，主要是否定运动，所以我们这里只讨论讨论其中的一种悖论“飞矢不动”。芝诺认为，飞着的箭是静止的。因为，箭在飞行的某一瞬间，一定处于也只能处于整个飞行轨迹中的一个位置，并且是一个确定的位置上，它不能同时占据两个位置，具有两个长度。因此，箭在某一瞬间上是静止的。箭此时在这个位置上，彼时在那个位置上，整个过程便由一系列的静止组成，而静止的总和不能构成运动。表面看来,芝诺疑难是个宏观问题,仔细分析我们发现芝诺谈及的“无穷”个点和“一系列”静止，实际上已让运动物体进入微观领域，因此我们可以用不确定原理去解决问题。辩证唯物主义告诉我们：静止是相对的，运动是绝对的，物质永远处于不断运动之中。如果一微观粒子处于一个确定的位置（静止）即，按照不确定原理，这时候的，那么粒子可以在的时间内到达空间内任何位置，这也就意味着微观粒子不可能处于一确定位置，而应处于不断运动之中，因此，“飞矢不动”是不可能的，芝诺疑难也就就不复存在了。参考文献：1金尚年.量子力学的物理基础和哲学背景.复旦大学出版社.2007.72赵国求.物理学