（管理科学与工程专业论文）模糊双层优化方法及其应用研究.pdf

中文摘要 模糊多层次优化问题由于其广泛的实际应用背景而成为近年来研究的热点。 模糊双层优化问题作为模糊多层次优化问题的最基础形式，具有代表性，是模糊 多层优化问题研究的最基本内容。 目前对模糊双层优化问题进行的深入系统研究还比较少，而且主要是对某一 类特殊的模糊双层优化模型提出相应的算法，模型的模糊性主要表现在具有模糊 系数的情形。本文对国内外有关模糊规划和层次规划问题的研究文献作了深入的 调研，跟踪其最新研究成果，根据模糊规划和层次规划的通常分类方法，将模糊 双层优化问题分为具有模糊目标模糊约束的一主一从和一主多从双层规划问 题、具有模糊系数的一主从和一主多从双层规划问题。 对于具有模糊目标模糊约束的一主一从双层规划问题，对具有模糊约束的 一主一从双层规划问题运用参数规划法将其转化为确定性的双层规划问题 对具 有模糊目标和模糊约束的一主一从双层规划问题研究了两种算法，其一是利用 k t 条件将下层决策问题转化为上层决策问题的约束进行直接求解，其二是利用 满意度的概念，在上下层决策者提出期望满意度的初级上进行迭代运算得到上下 层均较满意的解。 对丁具有模糊系数的一主一从双层规划问题，对约束具有模糊系数的一主一 从双层规划问题利用已有的约束满意度的思想将其转化为确定的参数双层规划 模型；对于目标具有模糊系数的一主一从双层规划问题和约束和目标均具有模糊 系数的一主一从双层规划问题利用k - t 条件和满意度迭代法进行求解。 对于一主多从的模糊双层规划问题，对具有模糊目标模糊约束的一主多从 下层决策无关联规划问题利用k t 条件转化为单层规划问题；对具有模糊系数的 一主多从下层决策有关联规划问题定义了模糊满意解的概念，并利用基于模糊模 拟的遗传算法进行求解。 最后，对模糊双层规划问题进行了应用研究产品族协同优化设计。研究 了具有模糊系数的产品族协同优化设计模型和具有模糊目标的通用电机的产品 族优化设计，所用的模糊双层规划模型分别为约束和函数均具有模糊系数的一主 一从双层规划问题和具有模糊目标的一主多从双层无关联规划问题。 关键词：模糊双层规划、一主- - 3 , 、一主多从、方法研究、产品族 a b s t r a c t i ti sar e s e a r c h f u lh o t s p o to fh o wt o s o l v et h e f u z z ym u l t i l e v e lo p t i m i z a t i o n d r o b l e m st h a tc o m p r e h e n s i v e l ye x i ti nt h ee c o n o m i cm a n a g e m e n tf i e l d f u z z yb i l e v e l o p t i m i z a t i o np r o b l e m i sab a s i cf o r ma n dt y p i c a lc o m p o s i t eo ff u z z ym u l t i l e v e l o d t i m i z a t i o np r o b l e m s s o ，t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so n t h ef u z z yb i l e v e lo p t i m i z a t i o n p r o b l e m s of a r , f u z z yb i l e v e lo p t i m i z a t i o np r o b l e mh a sn o tb e e nd e e p l ya n dt h o r o u g h l y r e s e a r c h e d s o m em e t h o d sh a v eb e e np u tf o r w a r da i m e da ts p e c i a lf u z z yb i l e v e l p r o b l e m st h a tp o s s e s sf u z z yp a r a m e t e r s i n t h i sp a p e r , r e s e a r c hl i t e r a t u r e sa n dt h e l a t e s tr e s e a r c hf r u i t so nb i l e v e to p t i m i z a t i o na n df u z z ym a t h e m a t i c sp r o g r a m sa r e f u l l ys t u d i e d a c c o r d i n gt o t h es o r t i n gm e t h o do fb i l e v e lo p t i m i z a t i o na n df u z z y p r o g r a m ，b i l e v e lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s a r ec l a s s i f i e di n t of o u rk i n d s ：o n el e a d e rw i t h o n e f o l l o w e rb i l e v e lo p t i m i z a t i o nw i t hf u z z yo b j e c t sa n df u z z yc o n s t r a i n sa n dw i t h f u z z yp a r a m e t e r s ，o n el e a d e rw i t hm u l t i f o l l o w e r s b i l e v e l o p t i m i z a t i o nw i t hf u z z y o b j e c t sa n df u z z y c o n s t r a i n sa n dw i t hf u z z yp a r a m e t e r s 0 d e1 e a d e rw i t ho n e f o l l o w e r b i l e v e l o p t i m i z a t i o n w i t h f u z z y c o n s t r a i n si s t r a n s f o r m e di n t od i s t i n c tb i l e v e lo p t i m i z a t i o n t h e r ea r et w om e t h o d sf o ro n el e a d e r w i t ho n e f o l l o w e rb i l e v e lo p t i m i z a t i o nw i 1f u z z yo b j e c t sa n df u z z yc o n s t r m n s o n ei s t ot r a n s f o r m et h em o d e lt o g e n e r a lo p t i m i z a t i o nm o d e lu s i n g k tc o n d i t i o n t h e o t h e ri sa r e p e a t e da r i t h m e t i cb a s e d o ns a t i s f a c t i o nd e g r e e o n el e a d e rw i t ho n e f o l l o w e rb i t e v e lo p t i m i z a t i o nw i t hf u z z yp a r a m e t e r si nt h e c o n s t r a i n t si st r a n s f o r m e di n t od i s t i n c tb i l e v e lo p t i m i z a t i o nu s i n gs a t i s f a c t i o nd e g r e e ； o n el e a d e rw i t ho n e - f o l l o w e rb i l e v e lo p t i m i z a t i o nw i t h f u z z yp a r a m e t e r si nt h eo b j e c t s a n di no b j e c t sa n dc o n s t r a i n t sa r es o l v e db yk tc o n d i t o na n d r e p e a t e da r i t h m e t i c o n el e a d e rw i t hm u l t i f o l l o w e r sn o n i n t e r c o r m e c t e db i l e v e lo p t i m i z a t i o nw i t hf u z z y o b j e c t s i st r a n s f o r m e di n t oag e n e r a lo p t i m i z a t i o nm o d e lu s i n gk tc o n d i t i o n ；o n e l e a d e rw i t hm u l t i f o l l o w e r sc o n n e c t e db i t e v e lo p t i m i z a t i o nw i t hf u z z y 舭e t e r si s s o l v e db yg ab a s e do nf u z z yi m i t a t i o n f i n a l l y ，t h es o l u t i o nm e t h o d o f f u z z y b i l e v e lo p t i m i z a t i o ni sa p p l i e di nt h es y n e r g i c p r o d u c tf a m i l yo p t i m u md e s i g n t h ef i f t hc h a r t e re m p h a s i z e so nt h es y n e r g i cp r o d u c t f a m i l yo p t i m u md e s i g n w i t hf u z z y m a p p i n g sa n dg e n e r a l m o t o rp r o d u c tf a m i l y o p t i m u md e s i g n k e yw o r d s ：f u z z y b i l e v e lo p t i m i z a t i o n ，o n el e a d e rw i t ho n e f o l l o w , o n el e a d e rw i t h m u l t i _ f o l l o w e r s ，a l g o r i t h mr e s e a r c h ，p r o d u c tf a m i l y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨壅盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 乏西 签字日期： 舢；年二月；。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨壅盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨壅盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 翌孑t 导师签名缸纲 签字日期：沁弓年王月扣日 签字日期：及，。弓年【z 月弓。日 第一章绪论 1 1 本文研究的意义 第一章绪论 随着人类社会的发展，实际问题的规模越来越大，结构也越来越复杂，涉及 对问题做出决策的人越来越多，从而在现实世界的许多系统中形成一类具有多人 参与、呈递阶结构的决策系统，即这类决策问题涉及处于不同层级的多个决策者。 这类决策问题一般具有下列的特征：( 1 ) 多个决策者各自控制自己的决策变量， 以优化自己的决策目标，他们的目标一般是各不相同的；( 2 ) 处于上级的决策者 拥有更大的权利，他可以根据自己的决策目标对下级决策进行调控，下层的决策 也会对上级决策产生影响，上下级之间具有一种相互制约和影响的主从关系。 显然，这种具有主从结构的多人决策问题有着十分广泛的实际背景。例如制 定国民经济发展规划时，中央决策层从全国考虑，设立若干经济发展指标，并将 有关决策宣布给各省、市。各省、市决策层又从自身的条件和利益出发，根据自 身的权限，对本省、市的经济发展制度提出多个指标，并各自对中央决策层做出 “最优”的反应。由于中央决策层具有更大的权利，它可以通过各种直接和间接 的控制和协调手段来“修正”各省、市的决策，最终获得一个既充分体现中央利 益，又能体现各省、市的利益，使上、下决策层均“满意”的决策方案；又如在 经济管理领域，大型现代化企业集团如何对下属子公司的生产情况进行调控，国 家又如何运用经济手段对大型现代企业集团进行诱导；还有经济管理中的一个核 心问题资源分配问题，上级如何将紧缺资源分配给若干下级，以使总的产出 效益达到最大等等。这些问题都可以归结为具有主从结构的决策问题，它们的解 决恰当与否将直接或间接影响到我国社会主义经济建设的进程。又如在工程技术 领域，一类有着广泛应用背景的最优参数设计问题，也可以归结为具有主从结构 的两层优化问题。因此，对于这类问题的理论及其应用研究具有十分重要的实际 意义，近年来已引起经济、管理、控制、运筹等各界研究者的重视。 在实际复杂环境中做决策之前，必须要建立一个能贴切的描述和代表现实决 策背景的递阶优化模型，现实系统的各种因素都应该在数学优化模型的目标函数 和约束条件中得到体现。 现实社会中存在大量比较含糊的概念，比如说，年轻人，就是一个模糊概念， 不存在这样一个确定的判断标准：符合这个标准就是属于年轻人，不符合就不属 于年轻人。又如，由于问题所处的环境的不确定性和由于人们对事物认知的不完 全性而存在的诸如产品的市场价格在一定时间内随市场供求而波动，产品生产中 的原材料消耗存在一定的偏差等等不确定现象。 第一章绪论 目标函数和约束条件的确定工作一般由专家来完成，在传统的确定方法中， 专家通过在问题形成阶段的试验和主观方式达到对其本质的理解，最后获得相应 的目标函数和约束条件。但是，在现实背景的大部分情况下，存在大量模糊的概 念和现象，不可避免的，目标函数和约束条件中可能存在着对于专家来说经常是 不准确的，比较含糊的概念和现象，或者说，为了获得比较确定的目标函数和约 束条件，需要花费大量的时间和金钱，不够经济，从而在建立优化模型中存在一 定的困难。 1 9 6 5 年，z a d e h 的开创性论文“模糊集合”( f u z z ys e t s ，i n f o r m a t i o na n d c o n t r 0 1 ) 的发表，创造了讨论研究模糊不确定性问题的方法一一模糊数学，提 出了使用隶属函数来处理模糊概念。 1 9 7 8 年，z a d e h 【2 j 提出了可能性理论的基本思想，用可能性分布来处理模糊 现象的问题，大大扩展了模糊数学的应用范围。 模糊数学从它诞生到现在，短短3 0 多年的时间，以其强大的生命力被广泛 应用于运筹学、管理科学、人工智能、控制论、统计和其他软科学领域。由于模 糊现象在经济管理领域中广泛存在，因此模糊数学被广泛应用于运筹学的数学规 划领域，在普通规划问题的基础上形成了模糊规划问题，其或多或少的几乎在各 行各业中应用，研究模糊规划问题具有很重要的意义。 把专家不准确或比较含糊概念和现象的理解看作模糊的，从而可能建立含有 模糊目标、模糊约束的模型，也可能建立的目标函数和约束条件中含有模糊系数， 形成比较符合实际决策环境的模糊递阶层次优化模型，是确定性的递阶层次决策 模型的推广形式，是模糊数学和递阶层次决策理论的结合，对决策科学具有重要 的意义。 目前，对模糊递阶层次优化问题的系统深入研究还比较少，而双层优化问题 作为递阶层次优化问题最基本的形式，可以认为是多个双层决策系统复合而成多 层决策系统。因此，研究模糊双层优化问题具有典型性，故而本文重点研究各种 形式的模糊双层决策系统。 1 2 研究发展概况 具有主从结构的递阶决策问题最初是由v o ns t a c k e l b e r g ( i 9 5 2 ) 1 3 1 在研究市 场经济时提出的，这方面的早期研究工作主要是从对策论的角度出发，对 s t a c k e l b e r g 对策问题进行研究，取得了一定的成果。随着人们对具有主从结构的 决策问题研究成果的增多，s t a c k e l b e r g 对策问题受到越来越多的关注。人们一方 面逐渐认识到这一问题的重要意义，另一方面也感到从对策论角度研究 s t a c k e l b e r g 问题的局限性，无法处理问题中的各种约束条件，研究对象主要是无 2 第一章绪论 约束的s t a c k e l b e r g 问题。于是，研究者开始寻找新的处理方法，并将注意力投 向了当时正在蓬勃发展的数学规划领域，特别是投向了7 0 年代中期提出并开始 研究的多层数学规划模型。 多层次数学规划模型或称为层次优化( h i e r a r c h i c a lo p t i m i z a t i o n ) 问题，最早 是b a c a h e n 和m c g i l l ( 1 9 7 3 ) 4 1 在研究一类约束中包含着子优化问题的数学规划 时提出的。这类问题的一般模型可分为上下两层，下层是一个以上层决策变量为 参数的参数规划，上层是一个下层决策变量的复合优化问题。 研究者们很快发现，静态s t a c k e l b e r g 问题恰好能抽象成一类层次优化模型， 这就为利用数学规划的有利工具来研究主从对策问题提供了可能| 5j 。a i y o s h i 和 s h i m i z u ( 1 9 8 4 ) 6 1 ，a n a n d a l i n g a m 和w h i t c ( 1 9 9 0 ) 1 7 1 ，( 1 9 9 3 ) 【8 】等人先后利用 不同的罚函数形式对线性和非线性有约束s t a c k e l b e r g 问题的求解方法进行了研 究。 s t a c k e l b e r g 对策问题的研究逐渐形成了两大分支，一是从控制论角度对动态 s t a c k e l b e r g 问题加以研究，另一是从数学优化理论角度对静态s t a c k e l b e r g 问题 加以研究【7 】 8 1 。 对策论与优化理论的结合不仅促进了对主从对策研究的发展，而且使得以 s t a c k e l b e r g 问题为重要背景的层次优化理论迅速成长为优化理论的一个重要分 支，1 9 9 2 年的运筹学年刊( a n n a l so fo p e r a t i o nr e s e a r c h ) 出版了一期关于层次 优化的专辑，从而具有主从结构的多人决策问题逐渐成为决策科学的一个重要的 分支。 具有主从结构的多人决策问题广泛的应用于经济管理领域之中，而模糊概念 和现象在经济管理领域中广泛存在，因此具有主从结构的多人决策问题如何处理 其中的模糊概念和现象成为当今的研究热点。 1 9 6 5 年，z a d e h 提出了模糊集合的概念，提出了使用隶属函数来处理模糊 概念，创造了讨论研究模糊不确定性问题的方法模糊数学。 自从模糊数学诞生就被广泛应用于决策领域，在运筹学中，模糊数学与优化 理论相结合，b e l l m a n 和z a d e h ( 1 9 7 0 ) 【9 】定义了模糊规划的基本概念：模糊目 标、模糊约束和模糊决策，形成了数学规划的新的研究课题模糊规划。 1 9 7 8 年，z a d e h 2 1 提出了可能性理论的基本思想，用可能性分布来处理模糊 现象的问题，大大扩展了模糊数学和模糊规划的应用范围。 此后，z i m m e r m a n n ( 1 9 8 4 ) 【”1 ，d e l g a d o 等人( 1 9 8 9 ) 1 1 1 ，c a m p o s 和v e r d e g a v ( 1 9 8 9 ) m ，m s a k a w a 和h y a n o ( 1 9 9 1 ) 【1 3 1 ，r o n g j u n l i 和e s t a n l v l e e ( 1 9 9 3 ) 州，l l u s h u 和s z h a o h a n ( 1 9 9 6 ) 1 5 1 t r a p p e y ( 1 9 9 8 ) 1 6 1 ，w m o h a m m e d ( 2 0 0 0 ) 1 7 1 ，x i n w a n gl i u ( 2 0 0 1 ) 1 8 】，李荣钧( 2 0 0 2 ) 1 9 1 ，宋业新、姜礼平和陈绵云 第一章绪论 ( 2 0 0 2 ) 例，f j i m e n e z 等人( 2 0 0 3 ) 【2 l j 等对模糊线性、非线性、多目标规划等 问题进行了深入的研究，使模糊规划得到不断的发展。 近年来，付永红和杜纲( 1 9 9 9 ) 2 ”，m a s a t o s h is a k a w a 和i c h i r on i s h i z a k i 等 人( 2 0 0 0 ) 2 3 1 【”，( 2 0 0 1 ) 【2 ”，( 2 0 0 2 ) 【2 6 1 j 哿模糊数学和层次优化理论结合起来， 建立模糊层次优化问题，并研究了具有模糊系数的线性、线性分式和o 一1 层次 规划问题的求解方法。 1 3 本文的主要工作 模糊层次优化问题比确定性的层次优化问题更加符合实际决策环境，在实际 中的应用更加广泛，而且模糊层次规划的研究总的来说比较少，缺乏系统深入的 研究，因而具有进一步研究的价值。 本文主要基于层次优化理论和模糊优化理论，对模糊双层规划问题的理论、 方法和应用进行研究。全文由“绪论”、“双层规划与模糊规划的一般方法”、 “主一从模糊双层规划的方法研究”、“一主多从模糊双层规划的方法研究”、 “应用研究：具有模糊参数的产品族协同优化设计”共五章组成。 第一章绪论阐述了本文的研究意义并综述了国内外研究发展概况。 第二章阐述了作为模糊层次规划的两部分主要基础层次规划和模糊规 划的一般方法，层次规划按照一主一从和一主多从的层次规划问题分别进行阐述 其一般方法，模糊规划按照具有模糊目标、模糊约束和具有模糊系数的规划问题 分别进行阐述其一般方法，为下文的第三、四、五章做基础性的准备工作。 第三章对一主一从的模糊双层规划的方法进行了研究，主要工作包括： ( 1 ) 研究了具有模糊约束的双层规划问题，直接将其转换为确定性参数双 层规划问题，利用第二章介绍的层次规划的一般方法直接进行求解。 ( 2 ) 研究了具有模糊约束和模糊目标的双层规划问题，提出了两种方法， 方法一是利用k t 条件将其转换为单层规划进行求解，方法二是结合单调隶属 度函数满意度的意义，提出的一种基于期望满意度的转换方法。 ( 3 ) 研究了约束具有模糊系数的双层规划问题，直接将其转换为确定性参 数双层规划问题，利用第二章介绍的层次规划的般方法可直接进行求解。 ( 4 ) 研究了目标函数具有模糊系数和目标函数、约束条件均具有模糊系数 的双层规划问题，提出了两种方法，方法一是利用k - - t 条件将其转换为单层规 划进行求解，方法二是结合单调隶属度函数满意度的意义，提出了一种基于期望 满意度的转换方法。 第四章对一主多从的模糊双层规划的方法进行了研究，主要工作包括： ( 1 ) 研究了具有模糊目标的一主多从下层无关联的双层规划问题，利用k 4 第一章绪论 一t 条件将下层决策问题转换为上层决策问题的约束条件，求解单层规划模型得 到最优满意解。 ( 2 ) 研究了具有模糊系数的一主多从下层有关联的双层规划问题，提出了 一主多从的模糊双层规划满意解的概念，并采用基于模糊模拟的遗传算法来求解 获得满意解。 第五章对本文研究的模糊双层优化的方法在产品族协同优化设计中的应用 进行了研究，主要工作包括： ( 1 ) 对一类具有模糊参数的产品族协同优化设计进行了研究，利用第三章 提出的迭代算法进行运算，并给出了一个数值算例。 ( 2 ) 将模糊双层规划模型应用于具有模糊目标的通用电机产品族协同优化 设计，利用第四章所研究的具有模糊目标的一主多从下层无关联的双层优化方法 进行了具体的优化设计。 论文的整体结构框架体系可参看图l l 。 图1 1 本文内容结构框架体系 第二章双层规划与模糊规划的一股方法 第二章模糊规划与双层规划的一般方法 2 1 模糊规划的一般方法 2 1 1 具有模糊目标模糊约束的模糊规划 21 1 1 基本原理 美国控制专家z a d e h 在1 9 6 5 年正式发表了著名的文章模糊集，标志着 模糊数学的诞生。模糊数学的诞生，给研究复杂、难以用精确数学描述的问题带 来了方便而简单的方法。模糊数学的最基本研究对象是模糊集，而模糊集的概念 实际上包含了普通集，模糊集理论是普通集理论的推广。而隶属度函数是用精确 数学方法描述模糊集概念的关键。 定义2 1 ：隶属度设在论域z 上给定映射”， “：x 斗【o ，1 则说“确定了x 上的一个模糊集合a ，u 叫做a 的隶属函数，亦写作“。，“。( “) 叫做对a 的隶属度，它表示“属于a 的程度，x 上的模糊集合简称模糊集。 当“。( 甜) = l 时，则“完全属于模糊集合a ，当“。( 1 , ) = 0 时，则“完全不属 于模糊集合a ，“。( h ) 越接近于1 ，“属于a 的程度就越大。 由于模糊现象在经济管理领域中广泛存在，因此模糊数学被广泛应用于决策 领域。在运筹学中，模糊数学被应用于优化理论，促进了模糊规划成为新的研究 热点。 b e l l m a n 和z a d e h ( 1 9 7 0 ) 【9 】定义了模糊规划的基本概念：模糊目标、模糊 约束和模糊决策。 定义2 2 ：模糊目标设z 代表可能采用的全部策略。模糊目标g 是决策 者对目标的某种不分明的要求，被表示为论域x 上的一个模糊集合，其隶属函 数“。b ) 反映策略x 相对于目标0 所能达到的满意程度。 如何正确地构造模糊概念的隶属函数是模糊决策的关键所在，但这个问题至 今尚未获得令人满意的解决。 定义2 3 ：模糊约束模糊约束e 是对决策运作的一种不严格的限制，表 示为论域上上的一个模糊集合，其隶属函数u ，( x ) 反映策略x 符合约束条件的程 度。 定义2 2 和定义2 3 揭示了模糊决策的一个重要的性质，即模糊目标和模糊 约束是被定义在同一个策略空间的两个模糊子集，因而具有同等的地位，在本质 上起着相同的作用。目标和约束之间的这种对称性质为我们提供了一种可能性： 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 即用相对简单的方法将目标和约束直接联系在一起，既能最大限度地实现目标， 又能最大限度地满足约束。 定义2 4 ：模糊决策 设g 和0 是策略空间x 中的模糊目标和模糊约束， 则模糊决策石也是x 中的一个模糊集合0 和0 的交集：d ：g n c ，具有隶属函 数： “j ( x ) = m i n u 。g ) ，“。g ) i 搬x 其最大决策集合为：“i b 卜m ，a x m i n 每d g ) ，“。g ) l v x e 爿 2 1 1 2 具有模糊约束的模糊规划 具有模糊约束的规划又被称为模糊线性规划非对称模型。即规划模型的目标 是清晰的，求其在全部或部分模糊限制下的优化值，此时目标和约束不在是对称 的，具体模型表示如下： 求解模型不对称的模糊规划问题( p 2 1 3 ) ，实质上就是求解模糊限制下的 目标函数的条件极值，主要有以下几种方法： 第一是v e r d e g a y i z 7 1 提出的用参数线性规划方法求问题( p 2 ，l 策集， 根据定义2 2 的口一截集，n t a e 0 ，1 】，相应的求解模型为 ，m a x z 2c r x ls t 口“( x ) ，i = 1 , 2 ，m 弋z x b “ l x o 1 ) 的模糊决 第二是w e r n e r 2 8 1 提出的将目标函数模糊化求最优解。 这种方法基于下面的理由：如果约束条件是模糊的，那么目标函数也应该是 模糊的，因为在资源情况不十分清楚时，对目标的追求也不可能十分明确。 定义2 5 ：设g ，0 和蚕分别表示策略空间x 中的模糊目标、模糊约束和模 糊决策，设厶和i 分别代表目标函数的上界和下界，则任意目标值z ：厂( x ) 在g 中的隶属度可以表示为： 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 h 厂( 功z 咏垆 等，斛( 嘲 1 1 ，( 功f o 而决策的隶属度取决于相应目标和约束的隶属度，即 “。g ) = m i n 讧。g l “。g ) j _ m i n 0 。b l 。r a ：i n 。“。g ) j 式中的“，x ) 的形式与( 2 1 1 ) 表达式相似。 f o 和z 的值可分别从下面的线性规划中解得： ， f l = m a x f ( x ) = c t x t篙 和 ，兀= m a x 厂( x ) = c 1 x “，塞d ( 2 1 1 ) 令卢= “d ( x ) ，用求解对称型模糊线性规划的方法，得到直接求解的规划模 r 嚣，聊 第三是文献 2 9 在方法二的基础上提出的应用单纯形法与( p 2 1 一1 ) 相应 的普通线性模型问题，然后通过模糊约束集d 和模糊目标集g 的隶属度的比较， 获得d ( x ) n6 ( x ) 的最优值，最后将模糊约束集d 和模糊目标集g 的交集的最优 隶属度代入最优单纯形表中，即可获得( p 2 1 1 ) 的解。 令( x ) = l 一五，引入参数z ( o 兄1 ) 后，得到与( p 2 1 - - 3 ) 相应的普通线 性规划模型( a l p ) ： rm a x z = c x js t a x b + 幽 _ l x - 0 8 ( p 2 1 6 ) 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 根据( a l p ) 建立初始迭代单纯表。 r l x 6 x 工 卜 bdai i 盯 一co 如果( a l p ) 存在最优解，则通过迭代可得到一张最优单纯表( 盯。0 ) 。 _ x 6a z 工 x b b +d b +n + 盯 o 盯 当旯= 0 ，( a l p ) n n 优n x 矿= 6 + ，x = o 及最优值= o = c 口b ；当a = 1 ， ( a l p ) 的最优解x 日= 6 + d + ，x _ = o 及最优值z j = ( 6 + d + ) ；一般地，当 0 五 1 时，( a l p ) 的最优解为：x b = 6 + + 划+ ，x = 0 ，此时，“。( x ) = l - 2 ， 吲x 卜去h ( 6 删卜z o , d o = z 沁。 令“i ( x ) = “。( x + ) ，可以求得参数咒的一个取值 z ： 型! d o + 。口d ( 2 1 2 ) 文献 3 0 提出了使用罚函数来处理此类模糊约束问题，将模糊约束a x 至b ， 转化为罚函数形式d m a x ( 0 ，a x 一6 ) 放到目标函数之中，形成新的求解模型( p 2 1 7 ) ： rm a x z = 甜一d m a x ( o ，a x b ) _s , t a ”x b “ lx 0 21 1 3 具有模糊目标和模糊约束的模糊规划 具有模糊目标和模糊约束的规划问题又称为模糊对称模型。对称模型中，决 策者不要求目标函数达到最大值，只是要求达到一定的水平，即决策的最优性换 成决策的满意性，同时对约束条件也不要求严格满足，允许它们有一定程度的松 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 弛，则形成下列的模糊规划形式： r f f a 硪z = c r x is t a x 至b ja ”x b ” i x o 其中：茄赢表示模糊目标优化。 如果z 。表示决策者期望的目标，则一种由z i m m e r m a n n 提议的规划形式为： 求x ，使得 rc 7 x 兰z o l 爿x s 6 ( 2 1 3 ) l ! 式中，“兰”和“至”是模糊不等式的符号，前者表示“基本上大于或等于”，后 者表示“基本上小于或等于”，为了便于表示，将c 7 x 三z 。改写为一c 7 x 至一z 。， 便与约束条件a x 至6 的方向保持一致。，于是上式改写为： ra x 至6 + a “x b ”( 2 1 - 4 ) lx o 定义隶属函数满足下列条件13 1 ：当限制被严重违反时，“，：0 ：当限制完全 满足时，“，= 1 ；随着限制从被严重违反到被完全满足，“，从0 单调的增加到1 。 卜口x ) ，( 6 ) ， 姒曲2 1 一百1 m 砘_ ( 6 m ，( 6 ) ，洲。破+ ) ，慷圳，1 ，m ( 2 1 - - 5 ) l o 口。曲。( 6 ) 。+ 每 式中( 爿。) 。= 啊，( 6 1 ) 。= z 。，d 。是由决策者给定的常数，分别表示相应目标或约束容 许违反的限度。 引入一个新的变量a ，0 - 0 对于具有模糊目标模糊约束的非线性规划研究文献不是很多 1 6 , 3 2 , 3 9 , 4 0 , 4 1 1 ，主 要可分为二类，第一是目标函数或约束条件的表达式为非线性，模糊型表现在目 标和约束的非精确定义上【1 6 , 3 2 , 3 9 , 4 1 。这种模糊非线性规划的求解主要是通过已有 的方法，如容差法【3 0 1 ，建立- * t l 应的目标函数或约束条件的线性隶属度函数，通 过定义： 丑= m i n u 。0 ) ，“：g l “。g l 或者 ( 2 1 _ 7 ) 2 m i 也= m i 屯m i n 。u , i x ) j 将此类模糊非线性规划问题转化为上文提到的对称或非对称模型，运用已有 的确定非线性规划方法直接求解：第二是目标或约束的表达式虽然是线性，而目 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 标或约束条件是模糊的，而且决策变量是整数或0 1 形式。 ，m 3 x ，( x ) ls t a x 兰b 。 x 0 且x 是整数 文献 4 0 讨论了 ( p 21 1 6 ) 通过定义隶属度函数将模糊不等式转化为一个参数不等式模型进行求解 rm a x f ( x ) j s t a x b + 0 b + l x o 且x 是整数 并提出了先使用线性搜索对目标函数和约束条件进行近似估计，然后使用遗 传算法来提供可行解和可行整数搜索方向，最终得到最优整数解； 2 1 2 具有模糊系数的模糊规划 2 1 2 1 基本原理 模糊系数是模糊数，其含义见定义2 9 ，具有模糊系数的线性规划模型也被 称为可能性线性规划模型，它的一般表达形式为： r m a x z = ( f7 ) x 卜謦 其中f ，a ，b 的全部或部分元素是模糊数。 定义2 6 ：口一截集设有模糊集合4 ， 模糊集a 的a 一截集。 0 口1 ，称a 。= x i “( x ) a ) 为 模糊集合的口- 截集是联系模糊集与普通集的桥梁，在模糊集的理论及应用 中发挥着重要的作用。 定义2 7 ：凸模糊集口7 1 设a 为实数r 论域上的模糊集，对任意x ，v r 和 任意五 o ，1 都有m i n , u 。( x ) ，以( y ) ) 儿( 触+ ( 1 一丑) y ) ，则成a 为r 上的凸模糊 集。 定义2 8 ：j 下规模糊集【3 7 1 设爿为u 论域上的模糊集， 3 x u 使得儿( x ) 一l ，则称a 是正规的模糊集。 定义2 9 ：模糊数设a 为实数r 论域上的模糊集，满足条件： ( 1 ) a 是凸模糊集，且对任意口 0 ，1 ，其截集彳。是有界闭区间： ( 2 ) a 是正规模糊集，且只有惟一的口r ，使得以( 日) = l 。则称4 为模 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 糊数萏。 21 22 约束具有模糊系数的线性规划 张曾科( 1 9 9 7 ) 先从两个卜r 模糊数的比较情形出发，提出了模糊数的 排序准则。模糊数厨= 伽；口；) 。= ( n ；y ；j ) 。，则有等价关系： m n 营m ”，a y ，j ，然后以此为基础考虑下面的资源系数为模糊数的 规划问题： r m a x z = ( c 。) o _ s t a x b l x 0 假定j ，b “中的元素瓦，e ，i = 1 ，2 ， e , j = ( d ，a f ，口) r ，b 。= ( 6 ，垒，6 ) m ( p 2 1 一1 9 ) ，m ，j = 1 , 2 ， 都是l r 型模糊数，记为 由l r 模糊数的运算法则可知： v x ，= l 2 ，n ，8 , j x 也是l - r 模糊数，且有： n 月一 _ = ( x ，旦，x ，a t j x ，) j = 1，= 】= l ，= 1 于是问题( p 2 1 1 0 ) 中的约束条件可以表示为 ( 2 1 8 ) ( n ，x ，旦。x ，五。x ，) ( n ，。，云。) 。 ( 2 卜一9 ) j = lj = t ；1 按照作者的排序方法，上述约束条件等价于： hn 一一 口。x ，兰6 ，旦，x ，鱼，a , j x ，6 j = 1j = i= i 因此问题( p 2 1 1 8 ) 可以改写成下面的普通线性规划 m a x z = ( c 。讧 s t 口x s 6 ，i = 1 2 ，m j 5 1 月 旦。z ，鱼，i = 1 2 捌( p 2 1 2 0 ) ，= i 石。x j 石。i = i 2 。聊 j = 1 1 4 第二章双层规划与模糊规划的一般方法 x 0 ，j = 1 , 2 ，月 李荣钧( 2 0 0 2 ) 3 2 1 对张曾科的排序提出了异议 序准则： m n m 玎，行一a n 一，m + n + 万 于是求解模型转换为： 提出了新的l r 模糊数排 m a x