（教育学专业论文）初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析.pdf

初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析中文摘要 中文摘要中又手两斐 本研究通过文献法、访谈法、调查研究法、纸笔测验等多元方式探讨初中生 学习分式方程过程中出现的错误类型和成因分析。以前的研究更多关注了解分式 方程过程中出现的某些方面的错误，而忽略了对学习分式方程过程中出现的错误 类型进行总体归类以及从理论上分析错误类型原因，因此本文运用皮亚杰的认知 理论、建构主义理论、方程的同解理论和数学思想方法，对上述问题进行研究。 本人首先对我校一个重点班和两个普通班进行跟踪观察、收集他们在学习分 式方程过程中所出现的错误类型，并进行成因分析。通过对学生的纸笔测验，对 测试结果进行逐题分析、统计。最后将测验分析结果、学生访谈结果等资料统一 整理。 另一方面，深入剖析学生错误的原因，从学生的认知原因、数学能力原因、 反思行为习惯对错误成因进行分析，并从教师方面和学生自身方面进行预防错误 的发生。 期盼教师在教授这一章节时，能针对学生可能产生的错误类型，设计出有效 的教学策略，使学生减少不必要的错误，期望有更多更好的素材能够加以补充， 帮助学生更好的学习分式方程这一内容。 关键词：分式方程、增根、错误类型、错误成因 作者：冯静静 指导老师：葛英 英文摘要 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 s t u d yf o rju n i o rm i d d l es c h o o lf r a c t i o n a le q u a t i o no f c o m m o ne r r o r sa n dc a u s e sa n a l y s i s a b s t r a c t t h i ss t u d yt h r o u g ht h el i t e r a t u r em e t h o d ，i n t e r v i e wm e t h o d ，i n v e s t i g a t i o nm e t h o d ， t h ep a p e ra n d p e n c i lt e s t sa n dm u l t i p l ew a y so fm i d d l es c h o o ls t u d e n t sl e a m i n gf r a c t i o n e q u a t i o na r i s i n gi nt h ec o u r s eo ft h ee r r o rt y p e sa n dc a u s ea n a l y s i s p r e v i o u ss t u d i e sp a y m o r ea t t e n t i o nt ou n d e r s t a n d i n gt h ef r a c t i o n a le q u a t i o na r i s i n gi nt h ec o u r s eo fs o m e a s p e c t so ft h ee r r o r , b u ti g n o r et h el e a r n i n gf r a c t i o ne q u a t i o na r i s i n gi nt h ec o u r s eo f e r r o rt y p e sw e r eg e n e r a l l yc l a s s i f i e da sw e l la sf r o mt h et h e o r e t i c a la n a l y s i so fe r r o r t y p e sa n dc a u s e s ，t h i sp a p e ra p p l i e sp i a g e t sc o g n i t i v et h e o r y , c o n s t r u c t i v i s mt h e o r y , e q u a t i o nw i t ht h es a m es o l u t i o nt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a lm e t h o do ft h i n k i n g ，r e s e a r c h o nt h eq u e s t i o n s a tf i r s t ，io b s e r v ea k e yc l a s sa n dt w og e n e r a lc l a s s e si nm ys c h o o l ，c o l l e c tt h e mi n l e a m i n gf r a c t i o ne q u a t i o na r i s i n gi nt h ep r o c e s so fe r r o rt y p e sa n da n a l y s i sc a u s e s b a s e do nt h es t u d e n t sp a p e r p e n c i lt e s t ，t h et e s tr e s u l t sa r eb yi t e ma n a l y s i s f i n a l l yt h e t e s tr e s u l t s ，t h es t u d e n ti n t e r v i e wr e s u l t sd a t ac o n s o l i d a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，i n - d e p t ha n a l y s i so ft h es t u d e n t st h ew r o n gr e a s o n s ，f r o mt h e s t u d e n t sc o g n i t i v ea b i l i t yi nm a t h e m a t i c s ，r e a s o n ，c a u s er e f l e c t i o nb e h a v i o ro fe r r o r c a u s e s ，t h e nt op r e v e n to c c u r r e n c eo fe r r o r sf r o mt e a c h e r sa n ds t u d e n t st h e m s e l v e s h o p et e a c h e rp r o f e s s o ri n t h i ss e c t i o n ，t h es t u d e n t sm a yp r o d u c ee r r o rt y p e s ， d e s i g n t h ee f f e c t i v e t e a c h i n gs t r a t e g i e s ，i n o r d e rt oe n a b l es t u d e n t st or e d u c e u n n e c e s s a r ym i s t a k e s ，m o r ea n db e t t e rm a t e r i a lc a nb ea d d e d ，t oh e l ps t u d e n t sb e t t e r l e a r nf r a c t i o no ft h i sc o n t e n t k e yw o r d s ：f r a c t i o n a le q u a t i o n ，e x t r a n e o u sr o o t ，t y p eo fe r r o r , e r r o rc a u s e s w r i t t e n b yf e n g j i n g j i n g s u p e r v i s e db yg e y i n g 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第一章问题的提出 第一章问题的提出 1 1 研究背景 1 1 1 中国的“双基”数学教育 我们国家在数学上的教育一直以来都是重视“数学双基”教育，它是我国数学教 育的一个很明显的特点。打好数学基础是非常重要的，因为，学生只有具备了扎 实的基础知识和基本技能，才能发展创新思维能力和更有效的学习数学。数学教 学上的“双基”在我们国家其基本内容可以概括为【l 】： ( 1 ) 我国所规定的课程的统一性和考试制度的相同性。 ( 2 ) 打好两个基础：基础知识和基本技能。中国的数学教育重视学生的基础 超过其他国家和地区的要求，从而形成了中国数学教育的主要特征。 ( 3 ) 培养学生三大能力：空间想象能力、逻辑思维能力、基本运算能力。 数学双基教学有三个层次构成：双基基桩教学、双基模块教学和双基平台教 学。双基基桩的建立：基桩是学习数学的基础，因此基桩的建立十分重要。数学 双基教学是为了双基基桩的建立，通过让学生理解数学的基本原理，对基本数学 事实进行训练，将对知识的记忆转化为熟练的数学活动行为。这种行为的形成就 是双基基桩的建立。熟练进行有理数和代数式的加减乘除运算、理解等式性质、 解一元一次方程等知识为解分式方程打下了基桩。双基模块的形成：双基模块的 形成主要由三个环节组成。第一个环节，将数学的主要内容通过相关点的联结， 形成一个紧密的链条；第二个环节，将线性的知识点通过变式教学，从横向上建 立关系，组成学生自己的知识结构；第三个环节，将学生头脑中的数学知识在经 历了数学思想和方法的熏陶后，形成了更深层次的双基模块。例如，分式方程模 块的建立，首先将分式、分式的性质、解一元一次方程等双基基桩，通过互相有 关联的知识点，联结为求分式方程。与此同时，学生体会了相关的数学思想方法， 如利用化归转化思想把分式方程转化为整式方程，利用类比思想把学生熟悉的分 数运算类比分式运算。 初中数学的运算很多人都认为就是具体的有理数的加减乘除的运算，这种理 解是狭隘的，它不仅仅包括具体的数字运算，还应包括整式、等式、不等式的恒 1 1 张奠宙、李l 筠、李俊数学教育学导论【m 北京：高等教育i l ；版社2 0 0 5 ：4 7 - 4 8 l 第一章问题的提出初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 等变形，平面几何和立体几何上的测量运算、初等的概率统计计算以及函数上的 有关对应、变换等【2 】。 1 1 2 目前初中生计算能力情况 整个初中阶段，运算占了很大的一部分，如果学生能够对数的运算、式的运 算、图形的变换等进行正确的运算，那么他们在初中阶段的数学学习将会感觉轻 松愉快。 本人在数学教学中对于学生在运算中出现的现象，总结出以下三种现象：一： 一部分学生在数学运算过程中，对公式的应用不理解，对运算公式进行生搬硬套； 一- - 审题不仔细，根本不看题目最终要的结果是什么，直接对出现的运算进行盲目 运算；三：运算过程繁琐冗长，不能够选择简便有效的运算方法，致使运算过程 花费时间较多，运算结果正确率很低。不少老师和学生对运算能力的内涵缺乏科学 认识，常常将运算过程中的错误原因归结到非认知因素上，认为是“马虎”、“粗心”、 “不注意”才造成运算错误。他们总是认为只要解题的思路和方法正确，计算错了， 下次只要细心点就不会出错的侥幸心理。实际上，一道题解答正确与否，是与运 算有很大关系的。运算是与推理能力、观察能力紧密联系在一起的。要对运算过 程中的合理性、简洁性等给出足够的重视，高明和( 2 0 1 1 ) 从学生学习的内部原因分 析【3 】：很多学生认为计算题做得好并不代表数学学得好，计算题并不需要动脑筋， 对其产生轻视心理，遇到计算题不思考、不分析下笔就做，也不会从更深层次的 方面去思考计算题的算理；不善于总结经验、使用简便计算方法，不重视基础， 不会对数学学习所体现的思想方法进行整理、归纳。 董林伟【4 】( 2 0 0 9 ) 根据运算能力的两个特点，提出了培养运算能力的途径：1 让学生经历运算的过程，参与公式的推导，从而理解运算的本质意义，能够熟练对 公式进行运用。2 肩皂够根据运算的特点，对运算过程进行简便运算，达到快和准。 运算过程实际上是一种推理过程，它是由运算率、运算法则得出运算结果的过程。 在运算过程中，学生往往受思维定势的影响，习惯用固定的方法解决类似的运算， 例如学生看到解分式方程，很多人第一反应就是去分母，但对于有些题目，用去 分母就会使运算陷入复杂的计算中，甚至解错或解不出。我们教师要善于发现学 生创新的思维。3 学会反思，提高运算的准确性。学生计算错误有很多原因，特别 2 张奠宙、宋乃庆数学教育概论 m 一e 京：高等教育i j j 版社2 0 0 9 ：7 0 7 1 3 高明和刍议初中生计算技能缺失的现状及对策 j 数学学习与研究，2 0 11 ( 1 0 ) ：2 6 4 】董林伟倾听学生的，翌考：例谈运算能，j 及l 培养途径 j 数学通报，2 0 0 9 ，4 8 ( 9 ) ：1 4 1 6 2 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第一章问题的提出 是新知识与旧知识的联系上，要区分新旧知识的联系和不同，例如解分式方程与分 式的运算要区分能否去分母这一步骤。教师要利用教学资源，找 _ l _ 出错原因，研 究出与正确解法的联系，发挥错解在教学中的作用。教师要帮助学生理解运算的 实质意义，能根据已知条件快速找到简便有效的运算途径，提高运算的准确性。 1 1 3 分式方程在初中阶段的重要地位 分式方程是刻画现实世界相等关系的重要模型，它是在学生掌握了整式运算、 一元一次方程、分式四则运算等有关知识的基础上进行学习的，它既是分式有关 知识在解方程中的运用，也为进一步研究学习反比例函数及一元二次方程提供知 识与储备。在教材中起着承上启下的作用。分式方程是初中阶段初中数学重要的 内容，在数学课程标准中数与代数的具体目标中规定： ( 1 ) 了解分式的定义，会判断一个式子是否是分式，会利用分式的性质进行 分式的通分和约分，会进行分式的加减乘除四则运算。 ( 2 ) 能够熟练解出可化为一元一次方程的分式方程。 1 2 研究目的 在当前应试教育的今天，我国的数学以习题多、练习多而著称，进行大量重 复的机械的训练，使得很多学生在数学问题解答时，只是凭借记忆，模仿课堂上 老师的做法，依葫芦画瓢。很多学习用功的学生只会做熟悉的题目，遇到陌生的 题型就会感觉束手无策。对于那些多做多错的学生，时间长了就会对数学失去学 习的信心和兴趣。 如果能对学生学习过程中出现的错误进行分析，必能对提高数学课堂效率和学 生的学习有所帮助。要分析学生学习过程中的错误，需要对他们的学习结果进行 数据收集和整理，并对其进行理论上的分析。本课题研究目的是了解初中生在学 习分式方程方面存在的错误和原因，有助于教师在今后的教学中制定合理的教学 策略和有效的设计作业，帮助教师在有限的教学时间内可以尽可能提高学生的学 习质量。 1 2 1 待答问题： 以前的研究更多的关注学习分式方程过程中出现的某些具体错误，而忽略了 用教育学理论进行剖析出现错误的理论成因。对于学习分式过程中的错误类型， 有的类型已经研究过了，有的还没有研究，本文要对研究过的和没有研究过的错 误类型进行总体归类和进行理论上分析成因。提出以下两个问题： 第一章问题的提出初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 ( 1 ) 初中生学习分式方程过程中出现的错误有哪些类型? ( 2 ) 初中生学习分式方程过程中出现错误的理论原因是什么? 1 2 2 研究的内容和对象： ( 1 ) 研究内容为苏科版八年级数学第八章中解分式方程的内容。( 2 ) 研究对 象为我校初二三个班的学生共1 0 9 人。 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第二章文献综述 第二章文献综述 弟一早 义l 颚练怂 2 1 与解分式方程相关的数学知识 2 1 1 方程式 本文方程式指元一次方程式、二元一次方程式、分式方程。 2 1 2 解分式方程相关内容项目 依据苏科版数学教师教学用书八年级下 5 1 和全日制数学课程标准( 实验稿) 6 1 ， 将解分式方程的主要内容列在如下： a 1 分式的概念 2 分式的性质 3 分式的通分、约分 4 分式的加减、乘除运算 5 一元一次方程式的求解运算与方程的解的意义 6 会解一元二次方程 7 代数式的概念与意义 b 1 基本运算 2 等式性质 3 去括号和添括号的运算 4 整式的运算 5 解分式方程的运算 6 方程的检验运算 7 增根与无解的区分 2 1 3 错误解题： 以上述所列内容为依据，当学生无法理解与应用某一内容时，解分式方程出 现错误，就认为该生解题错误。 5 】杨裕前，董林伟苏科版数学教师教学用书八年级下 m 】南京：江苏科学技术出版社2 0 1 0 ：3 2 - 5 3 6 】中华人民共和国教育部制订数学课程标准( 实验编) m 北京：北京师范大学出版社2 0 0 7 第二章文献综述 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 2 1 4 与分式方程具体计算相关的知识 苏科版数学七年级上册第三、四章7 1 苏科版八年级下册第八章8 】 用字母表示数 j j 代数式 l 代数式的值 u 合并同类项 j j 去括号 j 解一元一次方程 分式的乘除运算 ， 分式方程 2 1 5 运算原则 ( 一) 基本运算【9 1 ( 1 ) 加法、乘法交换律 a + b = b + aa b = b a ( 2 ) 结合律 ( a + b ) + c = a + ( b + c )( a x b ) c = a ( b x c ) ( 3 ) 分配律 a ( b + c ) = a b + a c ( 二) 去括号法则【1 0 】 如果括号前面是“+ ”号，那么把括号和它前面的“+ ”号去掉，括号里各项的符号 7 】杨裕前，董林伟苏科版数学七年级上册 m i 南京：江苏科学技术出版社，2 0 1 0 ：6 0 1 1 6 8 】杨裕前，董林伟苏科版数学八年级下册 m 南京：江苏科学技术出版社，2 0 1 0 ：3 4 5 4 9 高冠群逻辑代数a b c m 】兰州：甘肃人民出版社，1 9 8 0 ：2 8 1 0 杨裕前、董林伟苏科版数学七年级上册 m 】南京：江苏科学技术出版社，2 0 0 9 ：7 9 6 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第二章文献综述 都不变； 如果括号前面是“一”号，那么把括号和它前面的“- ，号去掉，括号里各项的符 号都要改变。 ( 三) 等式性质 在等式的两边都乘以( 或除以) 同一个数或代数式( 除数不能为零) ，所得的 结果仍是等式。即如果a = b ，那么a c = b c ( c 0 ) 。在解分式方程时，需要利用等式的 性质即在方程两边同时乘以最简公分母，使分式方程的分母去掉，将原方程变为 整式方程，但在此过程中分式方程可能产生增根。 2 2 解分式方程的相关理论 2 2 1 皮亚杰的认知发展理论 皮亚杰在发生认识论里主要研究形成知识的过程以及知识的发展过程，他把 知识的发生和发展归纳为两个主要方面：( 1 ) 知识在形成过程中人的心理结构；( 2 ) 知识在发展过程中出现的新知识是如何与旧知识相互联系、相互作用的。他认为 新知识是在与i n c h 识反复的相互作用所产生的结果。 皮亚杰认为，儿童的智力不是直线式或斜坡式发展，而表现为阶段式发展， 衡量儿童智力发展的基本标准是看他们的活动是否具备了不同要求的运算水平。 在研究儿童智力发展的过程中，他将其过程划分为四个阶段1 2 1 ： 1 感觉运动阶段 这个阶段年龄为旺2 岁期间，即婴儿期。在此阶段儿童尚缺少思维、表象和 语言能力，仅有直觉能力。通过自己的感觉一运动，他们的活动不具有运算的性质。 2 前运算阶段 这个年龄段从2 岁到7 、8 岁，称为前运算期。在这一阶段，儿童开始有语言 能力，会模仿活动，会做象征性游戏。在思维方面已经有了一定的表象力，能用 符号作为媒介描述自己接触到的外界事物。然而他们的表象还只能依赖感知活动， 依赖具体对象，表示静态的具体的思维。 3 具体运算阶段 自7 、8 岁至1 1 、1 2 岁，儿童开始具有运算能力了。这个阶段的儿童已经具 有运算的能力，因为他们的思维具有了从事物的反方向进行思考的能力。然而这 11 文i j 福初中数学易用表 m 合肥：安徽科学技术；f 版社，2 0 0 7 ：2 9 1 2 张莫宙、李 ：鲔、李俊数学教育学导论【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 5 ：i 8 7 1 9 0 7 第二章文献综述初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 一阶段的运算仍受到一种限制，即尚不能脱离具体事物和具体情境，在很大程度 上要借助具体对象进行思维操作。现在的思维只是具体运算。 4 形式运算阶段 从1 1 、1 2 岁开始，儿童进入形式运算阶段，逐步具备了类似成人的思维结构。 形式运算的主要特征是儿童不再依赖具体事物和具体情境，能够运用数学符号、 数学概念、原理方法等知识进行分析和处理问题，对数学对象做抽象的运算。 皮亚杰【1 3 理论中的一种重要的观点就是平衡化观点，他将平衡化视为认知发 展的动力，保持智力发展的平衡就是主客体之间不断的在平衡与不平衡中来回的 转化，推动智力向前发展。学生学习中，由于新知识的纳入，学生原有的认知平 衡不断的被打破，重新建立认知结构的平衡。 根据皮亚杰的理论，我们可以得到皮亚杰理论强调学生智力发展的阶段性， 平衡性。在进行学生分式方程的相关概念教学时，要了解学生原有的知识水平和 个别差异，学生在解分式方程过程中产生错误是必然现象，如何发现产生错误原 因和避免错误的产生，要通过对学生学习分式方程的过程进行分析。 2 2 2 建构主义理论 建构主义 1 4 认为，学生所获得的知识，是在教师、家人、社会等帮助下，利 用学习资源，通过自己意义建构而获得。创设问题情境、学生之间的协作、学生 发表见解与知识的有意义建构是学习环境的四大要素。它提倡的是教师创设问题 情境，激发学生学习欲望；学生通过相互协作，对问题进行讨论；教师指导、协 助学生对新旧知识进行意义建构，强调教师为指导、学生为中心的学习。 建构主义学习理论强调学习者的主动建构和已有知识经验，建构主义的发展 推动了传统数学教育的模式发生了改变，这些改变【l5 】有： 1 对学生给予充分的尊重 建构主义理论论述了对于同一认识对象，不同人有不同的理解，这种理解有 明显的差异。对于同一个数学知识，有的学生能够理解它的本质，有深刻的数学 洞察力，有的学生只能看到它的表面，不同的学生对其理解会有不同层面的差异。 因此，从数学学科的特点出发，考虑到每个学生的认知水平、基础知识和生活经 验，进行课堂教学，充分发挥每个学生的潜能。在教学时，教师应让学习者自主 1 3 】陈国平皮亚杰的平衡化观点对初中数学教学的启示 j 中学数学研究，2 0 11 ( 3 ) 1 4 陈华庆基于建构主义理论的信息化数学教学模式 j 】数学通讯，2 0 0 4 ( 3 ) ：1 1 5 翔j 忠东建构主义的发展及其对数学教育的启示 j 数学通报，2 0 0 6 ，4 5 ( 4 ) ：1 4 8 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第二章文献综述 探索，独立学习，鼓励学生勇于发表自己的意见，尊重学生的想法，并对不同的 学生进行适时的指导。 2 关注数学活动中的自主探索与合作交流 数学知识的建构离不开数学活动，问题情境给学生提供数学活动素材，学生 一般利用已有的知识经验，尽力去搜索与之相关的知识并把它们组织起来解决问 题。但在探索过程中，因为每个人都有自己的知识基础，不同学生所取得的效果 是不同的，在学生独立思考和探索中自己解决不了的问题，经过合作交流，每个 人把自己的认识、理解和相关信息交流出来，再进行比较、组织就可能把数学问 题解决。 3 不能否定数学知识的传授 由于数学是一门具有高度抽象、高度形式化的科学，对于大多数学生来说， 单凭学生的自主性是很难建构的，也是费时费力的。因此，教师的引导和讲授也 是至关重要的，关键是抓住数学的本质，找到适合学生有效建构的平衡点，促进 学生的有意义建构。 2 2 3 方程的同解理论 在解方程( 组) 中，必须对方程( 组) 进行数学变形，使之转变为最简单的方程 ( 组) ，然后，求得方程( 组) 的解集在变形和运算过程中，有时会改变原方程( 组) 的定义域，使求得的解集m 与原方程的解集m 不相同，当m 真包含m 时，m 中含有某些解不是原方程的解称这些解为原方程的增根，反之称为失根在分式 方程的变形中，变形后的定义域范围扩大，所以必须对分式方程进行验根1 6 】。 讨论形如! 罂：0 的分式方程，式中p ( x ) 和q ( x ) 是整式。形如这样的方程， q ( x ) 一 一 通常的方法是消去分母，变成整式方程p ( x ) = 0 。这个变形有时是同解变形，有时 不是同解变形，如果是后一种情况的，产生原方程的增根。关于同解变形的条件， 有如下定理。 定理【1 7 】：若器- o 是既约分郏旧蛳口q ( x ) 无公共根) ，则方程器_ 0 ( a ) 与 1 6 】林国泰初等代数研究教程 m 】广州：暨南人学版社，1 9 9 6 ：2 5 7 1 7 】余炯沛，张鸿菊方程的同解原理与增根失根原 ：e - l j 】数学通报，1 9 8 9 ，1 1 ：6 9 第二章文献综述初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 p ( x ) 2 0( b ) 同解。 2 2 4 解分式方程过程中的数学思想 学生学习数学，不仅要掌握数学技能，更重要的是要体会数学思想方法。很 多学生都有这样的困惑：自己数学知识掌握的很牢固，但是遇到灵活多变题，往 往做不出来。原因就是数学知识没有转化成数学能力，要实现这种转化就得依靠 数学思想，数学思想是数学知识的灵魂。数学思想单靠教师讲是没多大效果的， 只能在学习中慢慢体会，逐步形成。初中阶段数学学习过程中，主要数学思想方 法有：分类讨论思想、数形结合的思想、转化思想、整体思想、类比的思想、化 归的思想、归纳思想、函数的思想、辩证思想、方程与函数的思想方法等。提高 学生的数学能力，提供学生有效的学习方法，必须在教学中逐渐渗透数学思想方 法，引导学生领悟数学思想，只有学会用数学思想思考数学问题，才能抓住数学 本质，学好数学。近年来，我国越来越强调对中学生进行数学思想渗透，掌握了 数学思想才可以提高学生的数学思维能力和数学创新能力。所谓数学思想方法【l 8 】 是“数学思想和数学方法的合称。数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对 数学知识本质的认识，它在数学活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学 问题的指导思想。所谓数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、途径、 方式、步骤、程序等，它通过一些可操作的规则或模式达到某种预期的目的。” 全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 1 9 中指出：教师应培养学生的学 习兴趣，教学要创设来源于学生实际生活的问题情境，激发学生学习数学的好奇 心，提供学生一些理性或感性的数学活动机会，使学生能够为抽象的数学找到具 体形象的原型，帮助他们在独立探索和与他人合作中达到对数学知识的深刻理解 和灵活应用。 数学思想的呈现并不是直接由书本告诉学生或老师的，学生要领会数学思想， 更多的时候是从老师那获得。这就需要教师在备课时，要对书本进行深入的研究， 不仅要熟悉书本上的知识点，把新旧知识进行比较、区分，还要把每一个知识单 元里所体现的数学思想方法进行归纳总结，通过恰当的途径适时向学生渗透。解 分式方程过程中主要体现了化归思想，这种思想在整个初中阶段经常会有所体现， 它以知识和技能为载体。 1 8 】熊惠民数学思想方法通论 m 北京：科学i t 版社，2 0 1 0 ：4 1 9 q h 华人民共和国教育部制订数学课程标准( 实验稿) 北京：t l 京师范火学f i ；版社，2 0 0 7 ，2 1 0 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第二章文献综述 初中阶段涉及的分式方程都是可化为一元一次方程的分式方程，求分式方程 解的一般步骤是： 可化为一元一 去分母 一兀一解一元一次方 次方程的分式 次方程程 方程 从解分式方程的步骤来看，其问用到的最主要的数学思想是化归转化思想， 即把分式方程转化为整式方程。化归，“即转化与归结的意思。把没有解决的问题 或正要解决的问题，通过转化过程，把陌生的问题转化为大家以前解决过的问题， 从而解答出问题的思想【2 0 1 。” 2 3 分式方程解题错误分析的相关研究 2 3 1 对数学概念理解错误的研究 数学概念是数学基础知识的基础，加强数学概念的教学，对于提高整个数学 课的教学质量有着很重要的意义。在数学教学中，学生只有在正确理解和掌握了 数学概念的前提下，才有可能形成运算的技能和技巧，提高解题能力；才有可能 发挥独立思考能力和自学能力，才有可能提高分析问题和解决问题的能力。 李善0 ( 2 0 0 2 ) 认为数学概念学习中的错误主要有2 种类型：( 1 ) 过程性错误。 学生理解概念时，往往熟练的记住概念的文字表述，对概念的本质不理解，运用 时不知所措，对概念的内涵与外延理解不到位，对概念的应用生搬硬套。( 2 ) “合 理性”错误。数学概念的学习具有阶段性，学生的认知水平与概念的发展有时会有 差异，学生习惯用原来的思维方法来理解、学习新的概念，按过去的学习经验对 新概念作不恰当的推广，忽略了新旧概念之间的区别和联系，不自觉地限制了思 维【2 l 】。 错误概念形成的原因可能是：( 1 ) 从直接的实际经验或日常生活经验和观察 得来的；( 2 ) 由通常的用语或隐喻的使用得来的；( 3 ) 由正式或非正式的教学而 来的；( 4 ) 同伴的影响而来；( 5 ) 从课本中涉及的内容或老师在教学中而来；( 6 ) 2 0 章士藻中学数学教育学【m 】南京：江苏教育出版社，】9 9 6 ：1 0 0 2 1 李善良数学概念学习中的错误j z jn 4 - i 一数学教育学报2 0 0 2 ，1 1 ( 3 ) ：6 - 1 0 1 l 第二章文献综述 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 不理解概念中文字的实际意思，不能正确的把文字表述转化为数学语言，与其他 概念混淆，缺乏理解新概念的知识基础。而错误概念的类型，从逻辑上看，主要 有类化不足、过度类化和概念偏离三种错误概念【2 2 | 。 2 3 2 对数学解题错误的研究 钱学森指出，大量的错误是得到正确结果的前提，从错误中可以寻求到正确 结果的解决途径。从小学到初中，知识在广度上、深度上对学生的要求逐层次提 高，但随着学生年龄的增长，学习习惯、学习方法的不同，不同的学生在智力上 的发展是存在差异的，这些因素导致学生在学习过程中，不可避免的会出现这样 那样的错误。这些错误对教师的教学和学生以后的学习是非常重要的，对这些错 误进行归纳、整理、分析，是非常必要的。学生在解决数学问题中，所表现的错 误是多种多样的，这些资源是教师教学实践最有效的第一手资料，我们要对这些 资源进行有效系统的分析，分析学生之所以出现这些错误的成因，以免更多的人 再犯这些错误，可以提高教学效率。 王宝顺【2 3 】( 2 0 0 8 ) 认为由于初中数学知识比小学的知识有了大幅度的提高，学 生在智力上和学习方法上的差别，导致学生初中阶段在数学上出现更大的两极分化 现象，学生出现的错误种类也在增加。教师要对学生出现的错误有正确的态度和宽 容的心态，找出学生出错的原因。他分析了初中学生解题错误原因可以追溯到小 学知识对初中知识的干扰，教师要讲清楚新知识与旧知识的区别和联系。此外， 随着知识的增加，学生已有知识对新知识的学习也有很大的干扰。 戴再平【2 4 1 ( 1 9 9 6 ) 详细分析了数学解题错误的原因。他从四个方面进行分析，一、 他认为学生解题错误是因为对数学概念理解不清，对于一些性质、结论成立的限 制条件往往忽视，对题目的已知条件理解不正确，弄不清题目的最终意图；二、 学生的逻辑推理能力引起解题错误。三、学生的解题策略导致解题错误。学生由 于不能快速的识别题目类型，对不熟悉题目不能正确转化为熟悉问题，不会运用 逆向思维，使他们采用了繁琐的解题策略或错误的解题策略导致解题产生错误。 四、心理性错误导致解题错误。有些学生已经具备了解决问题的相关知识，但由 于心理上非常想正确做对这道题而导致心理紧张，大脑一片空白，致使解题错误。 蒋省吾( 1 9 8 3 ) 把解题错误分成了七种：即由概念不清造成的错误，忽视条件造 2 2 顾泠沅主编鲍建生，周超著数学学习的心理基础与过程【m 】l 海：上海教育出版社，2 0 0 9 ：1 2 6 - 1 2 7 2 3 】王宝顺初中学生数学解题错误原因及对策【j 】中小学数学初中版2 0 0 8 ( 3 ) ：6 2 4 戴再平数学习题理论 m 卜海：上海教育出版社、s ：1 6 2 - 1 8 3 1 2 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第二章文献综述 成的错误，套用相近知识造成的错误，考虑不周造成的错误，循环论证造成的错 误，判断无据造成的错误，一字( 词) 造成的错误【2 5 】。 郑馨春【2 州( 2 0 0 8 ) 对数学解题的策略性错误进行分析，认为数学解题的策略性错 误主要指解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过大。策略性错误主要有： ( 1 ) 变更不当 ( 2 ) 不善于正难则反 ( 3 ) 不善于从整体出发 ( 4 ) 不善于运用“黑箱”方法 ( 5 ) 类比不当 董培仁唧( 2 0 0 8 ) 认为策略性错误有两种：- q , 是策略使解题的过程变得繁琐 冗长，使题目变得更复杂，花费太多的精力和时间，没有足够的时间解决其余的 问题；另一种是策略本身就是错误的，根本就不能正确解答出问题。 李翔2 8 1 ( 2 0 1 0 ) 对中职生学习三角函数出现的错误进行了研究，主要针对三角函 数的概念与运算方面的错误进行分类和形成错误成因分析。陆似华2 9 ( 2 0 1 0 ) g , q - 学q 三 学习高中阶段的函数中出现的常见错误和成因进行了系统的分析。他们针对的是 非义务教育阶段的学生在某一具体内容学习中出现的错误及成因分析。 薛彬 3 0 1 ( 1 9 9 5 ) 认为对学生解题中出现的错误进行分析非常有价值：首先教 师可以从错误中发现学生哪些知识掌握不牢固，从而教师可以有针对性的重点讲 解；其次，错误可以反映出学生在接受新知识的过程中，哪个环节是他们最薄弱 的；最后，错误也是学生掌握知识的一剂良药，学生在初次出现错误时，教师给 予一定的指导，学生明白自己出错的原因，从而下次再出现类似的题目时不会再 犯相同的错误，它并不能反映学生最终的学习水平。 潘振荣 3 1 1 ( 2 0 0 3 ) 发现尝试错误的做法，是学生学习的催化剂。他从尝试错 误的情景设置和功能的四个方面进行研究： 1 寓“尝试错误”于“惊讶”中，激发学生学习探索的兴趣。 2 寓“尝试错误”于“陷阱”中，故意使学生出错，提高学生的自我监控能力。 f 2 5 蒋省吾中学生数学解题错误的分析【m 】南京：江苏人民 n 版社，1 9 8 3 ：l 一9 8 【2 6 郑馨春数学解题中的策略性错误分析 j 数学教学2 0 0 8 ( 5 ) ：2 7 【2 7 董培仁数学解题中常见的策略性错误【j 】数学通讯，2 0 0 8 ( 1 2 ) ：2 0 2 1 2 8 1 李翔对中职生三角函数错误类型的研究 d ，2 0 1 0 ，1 0 2 9 陆似华学生学习函数的常见错误及其成因分析【d 】，2 0 1 0 ，1 0 f 3 0 薛彬初中学生数学解题错误分析 j 】数学通报，1 9 9 5 ( 6 ) ：7 f 3 1 潘振荣尝试错误学习的催化剂【j 】数学通报，2 0 0 3 ( 9 ) ：3 6 3 7 第二章文献综述初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 3 寓“尝试错误”于“重蹈歧路”中，通过暴露错误过程，培养学生思维的批判性。 4 寓“尝试错误”于“解题错误”中，增强学生的辨别分析能力。 使学生通过尝试错误这种做法来避免或减少学生在以后的解题过程中出现相 同的错误，达到正确解题。 匈菲尔德( s c h o e n f e l d ，1 9 8 7 ) 研究表明，学生在数学问题解决中之所以出错或 失败，常常不是因为缺乏相关的知识和认知策略，而是对知识和认知策略的无效 应用。从专家和新手的对比研究中，可以看到，专家的一个典型特征是始终监控 和调整自己在解题过程中的行为。他们首先弄清楚问题，如果问题是书写的，他 们就仔细阅读；如果问题是口头的，他们就反复提问，直到自己理解为止。高效 的问题解决者如果感到对解题没有进展，就及时的停下来，毫不犹豫的考虑其他 途径 32 1 。 2 3 3 分式方程中错误的研究 秦振3 3 1 ( 2 0 0 8 ) 对解分式方程过程中对出现错误进行分类为： 1 变形不当失根； 2 变形不当增根； 3 去分母漏乘以某些项； 4 考虑欠严谨； 5 未掌握相关性质 贺宁( 2 0 0 9 ) 对解分式方程常见错误【3 4 1 进行归类为： ( 1 ) 忽视分母为零分式没有意义( 2 ) 不该约分时约分( 3 ) 不能正确运用完 全平方公式( 4 ) 忽视题设条件 2 3 4 对分式方程相关内容的研究 漆发明3 5 1 ( 2 0 0 2 ) 通过举例从以下五个方面浅谈了分式方程的增根：弄清增根 产生的原因、注意验根排除增根、防止形式上的增根、学会避免增根的解法、学 会应用增根解题。 马兆亮、王季迎( 2 0 1 2 ) 对分式方程的无解和增根这两个学生不容易理解的概念 进行分析，认为3 6 1 分式方程的无解包含两个方面：一是原分式方程化为整式方程 3 2 s c h o e n f e l d c o g n i t i v es c i e n c ea n dm a t h e m a t i c se d u c a t i o n h i l l s d a l e ，n j ：e r l b a u ma s s o c 19 8 7 3 3 秦振分式方程问题错解辨析 j 】中小学数学初中版，2 0 0 8 ( 5 ) ：2 9 3 l 3 4 贺宁解分式方程常见错误 j 】初中生辅导，2 0 0 9 ( 3 3 ) ：1 4 1 8 3 5 漆发明关于分式方程的增根 j 】数学教学通讯，2 0 0 2 ，8 ( 下) ：4 l 3 6 马兆亮、千季迎例谈分式方程的无解与增根 j 数学学习与研究，2 0 1 2 ( 2 ) ：9 2 1 4 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析第二章文献综述 时本身就无解；二是原分式方程化为整式方程后的解，但此解使原分式方程的最 简公分母为零，则原分式方程也无解 田富信【3 ( 1 9 9 4 ) 认为传统的分式方程的验根通用方法即把求得的各根代入原 方程各个分母或各分式的最简公分母而验出增根。但在实际验根中显得不足。用 求增根比较排除法验根，因其用口算或笔算求增根的计算量远比相应地逐个代入 的计算量小所以学生乐于接受，且广为运用，不再出现空说“经检验”的现象。 刘顿【38 】( 2 0 0 2 ) 认为传统的解分式方程的方法只适用常见的一般方程，对于 有些包括特殊结构的分式方程如果按照常规方法求解，往往会显得很繁琐，甚至 使求解陷入困境，因此他提出解特殊分式的一些常用技巧：移项通分法、换元法、 配方法等等。 傅常【39 】( 1 9 9 8 ) 发现学生在解分式方程过程中，有时还可能出现失根的现象， 这种现象往往被学生所忽视，导致求根不完整，产生解题误区。他根据失根的原 因，认为解题中一方面尽量避免用合分比定理解题，而采用其他有效方法代之， 可以避免失根；另一方面求出公共根，已找回失根。最后分类讨论以堵住根的漏 失，也就是说，对原方程实施合分比变换后所得到方程的分母进行分类讨论，使得 在各种情况下的根都全部求出来，以堵住根的漏失。 从以上的综述中可以发现，理论上系统研究解分式方程的错误类型和错误成 因少之又少，本人想针对上述问题进行研究，为教师以后在分式方程的教学中提 供一些教学参考，使学生们减少不必要的错误，以便提高课堂教学效率。 3 7 】【l i 富信关于分式方程验根的改进 j 】中学数学教学参考，1 9 9 4 ( 1 0 - l1 ) ：5 5 【3 8 】刘顿解分式方程的方法与技巧 j 数学教学通讯，2 0 0 2 ，8 ( 下) ：7 6 - 7 7 3 9 傅常解分式方程的误区【j 】数学教学通讯，1 9 9 8 ( 1 ) ：2 6 第三章研究方法与研究工具 初中生学习分式方程的常见错误及其成因分析 3 1 研究方法 第三章研究方法与研究工具 本文主要采用文献分析法、调查法和访谈法三种方法相结合进行研究。 文献分析法【4 0 1 是从现存的或特别收集来文字记载、儿童作品、公文、档案、 报告、记录、信札等，加以分析、比较、综合：这种方法称为文献法。 调查法【4 1 】是通过直接的观察，在系统而周密地掌握第一手资料的基础上，从 大量事实中进行分析综合，找出数学规律的一种研究方法。调查法是通过各种方 式、方法对所研究的对象不加任何干涉地搜集反映实况的材料。调查法常通过访 问、发问卷、开调查会、测验、评价等手段，包括研究调查对象与范围，拟定调 查提纲和计划，开展实际调查活动，得出调查结论等步骤。有时还要将有关文件、 表格、数据、绘图等资料作为附件列出。 本研究主要通过自编分式方程测试卷，对每一题学生出现的错误率进行统计， 从中找出与解分式方程相关题目时出现错误的几种主要类型。 访谈调查法【4 2 1 是调查者事先准备好问题向被调查者提问，以一问一答的形式 与被调查者当面进行的调查方法。这种调查法通常通过口头问答的形式，对被调 查者对某些事情的想法、某些社会现象的看法和某些教育方法、体质进行口头访 谈