（管理科学与工程专业论文）委托代理问题求解方法的研究及应用.pdf

北京邮电火学博上研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) 委托代理问题求解方法的研究及应用 摘要 委托代理问题因其在现实中的广泛存在而吸引了众多学者的深入研究，文献浩如 大海。出于对电信运营商现实管理问题研究的需要，作者针对委托代理问题的建模和 求解方法进行了较为全面的梳理和系统的归纳，并将这一研究成果成功地应用于现实 问题的建模和求解。 论文根据大量文献归纳出在现实情况发生变化时，委托代理问题的目标函数与约 束条件变化的形式，以及不同形式的具体求解方法，其中包括静态情况下的单期模型、 动态情况下的连续时间模型和多阶段模型。 论文将所归纳的求解方法成功地应用于公司资本预算与经理报酬设计问题。在前 人模型的基础上，讨论了该问题在静态时引入隐性激励后最优结果的变化；再引入奖 金池来研究该模型在两阶段和三阶段时参与人的策略变化。 论文还讨论了总部与分公司之间的激励问题。通过讨论在单期与连续时间情况下 的纯信息不对称问题与混合信息不对称问题对委托人和代理人在策略选择上的影响， 发现代理人的努力水平在单期与连续时间两种情况下保持不变。 根据上述研究内容，本论文将分六部分展开。在第一章的导论中介绍了本论文的 研究背景、研究目的和主要内容及结构。 建立模型需要对问题的相关条件进行描述，本论文的第二章便对委托代理问题进 行了较为完整的描述，并归纳出该问题目前的主要分析框架。对于委托代理问题而言， 不对称信息的来源、信息不对称问题发生的时序、以及与其他一些限制条件的不同组 合都将影响到该问题的目标函数和约束条件的具体形式。因此，针对一个现实问题， 应当使用分析框架来逐一分析其所涉及的各种条件，以便采用相应的求解方法。 当所优化的目标函数形式或约束条件发生变化后，需要采用相应的方法，第三章 的重点便在于归纳总结当上述条件发生变化时模型的求解方法，着重探讨了在具体限 制条件下的委托代理问题的静态单期模型和动态连续时间模型。其中，依照由易到难 北京邮电人学博f ：研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及戍用( 张磊) 的顺序，依次归纳了在信息完全、纯信息不对称和混合信息不对称时的求解方法，并 注明了每种情况下求解步骤中所用到的数学知识点以便于参考。本章最后，还简要介 绍了动态多阶段模型的处理方法。 作为对第三章研究成果的应用，本论文在第四章和第五章分别针对现实问题进行 建模、求解和分析。第四章着重研究企业所有者该如何利用资本预算与报酬设计这两 个工具，在信息不对称的情况下，有效地分配资本资源和激励经理努力工作，来最大 化自己的收益。 在第五章，根据对总部与分公司之间的激励问题的文献阅读，选取了其中较为典 型的多产品推广问题作为研究对象，依照第三章中介绍的求解方法，分别对在静态情 况和连续时间情况下，针对多产品推广的激励问题进行建模，并讨论了在不同的限制 条件下最优契约的变动情况。 作为最后一章，第六章对本论文的主要内容和结论进行总结，并指出了本论文研 究的主要创新点、不足以及未来的研究方向。 针对一个问题的建模、求解和分析，本论文仅着重研究了其中的“求解 一步， 主要目的是将委托代理问题的求解方法中每一步的变换以及期间所使用到的原理等归 纳总结出来，以便其他人更快更好地理解并使用委托代理工具来解决现实问题。希望 本论文能够起到抛砖引玉的作用，并借此搭建一个批判的平台，以便更多的同仁关注 此问题，共同发展完善之。 关键词：委托代理问题，求解方法，激励机制，资本预算，报酬设计，总部，分公司 2 北京邮电大学博上研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) r e s e a r c ho nt h ea p p u c a t i o no fm e t h o d s f o rs o l v i n gt h ep r i n c i p ai ，- a g e n tp r o b l e m s t h ep r i n c i p a l - a g e n tp r o b l e ma t t r a c t sm a n yr e s e a r c h e r sd u et oi t sp o p u l a r i t yi nr e a l i t y ， a n dt h e r ea r c e m e n d o u sa m o u n to fl i t e r a t u r e si nt h i sf i e l d i no r d e rt os a t i s f yt h en e e d sf o r r e s e a r c h i n go nt h ea c t u a lm a n a g e m e n tp r o b l e m so ft h et e l e c o mo p e r a t o r s ，t h i sd i s s e r t a t i o n s y s t e m a t i c a l l yd o e sr e s e a r c ho ns e v e r a lk i n d so ft h ep r i n c i p a l - a g e n tm o d e l sa n dt h e i rs o l v i n g m e t h o d s ，a n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e st h e s er e s u l t st os o l v et w oa c t u a lp r o b l e m s b a s e do na m o u n to fr e l a t i v el i t e r a t u r e s ，s u m m a r i z e st h ec h a n g e so ft h eo b j e c t i v e f u n c t i o na n di t sc o n s t r a i n t sw h e nt h er e a l i t yc h a n g e sa n da l s ot h em e t h o d so fs o l v i n gt h e c h a n g e dm o d e l s ，i n c l u d i n gt h e s t a t i c m o d e l s ，t h ec o n t i n u o u s - t i m em o d e l s ，a n dt h e m u l t i p e r i o dm o d e l s 、。 a p p l yt h es o l v i n gm e t h o d si n t ot h ec a p i t a lb u d g e t i n ga n dm a n a g e r i a lc o m p e n s a t i o n p r o b l e m t h r o u g hc o m b i n ga n dm o d i f y i n gt w om o d e l s ，b u i l dan e wm o d e l ，a n dc o m p a r et h e r e s u l t sa f t e ri n t r o d u c i n gi m p l i c i ti n c e n t i v e s t h e n ，a d da p r e m i u mp o o lt os t u d yt h ec h a n g e s o ft h es t r a t e g i e sa d o p t e db yb o t ht h ep r i n c i p a la n dt h ea g e n ti nt w o - - p e r i o da n dt h r e e p e r i o d r e s p e c t i v e l y d i s s c u s st h ei n c e n t i v ep r o b l e mb e t w e e nt h eh e a d q u a r t e r sa n dt h ed i v i s i o n s ，a n do b t a i n o n er e s u l ts h o w i n gt h a tu n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s ，t h ee f f o r tl e v e lo ft h ea g e n tr e m a i n s u n c h a n g e di nb o t ht h es t a t i ca n dt h ec o n t i n u o u s t i m em o d e l s a c c o r d i n gt ot h ea b o v em a t e r i a l s ，t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s t h ef i r s t c h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n ，i n c l u d i n gt h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，t h er e s e a r c hp u r p o s e ，t h e m a i nc o n t e n ta n dt h es t r u c t u r e t ob u i l dam o d e l ，t h eb u i l d e rn e e d st os p e c i f i c a l l yd e p i c tt h ep r o b l e m t h es e c o n d c h a p t e ri l l u s t r a t e st h ep r i n c i p a l - a g e n tp r o b l e mi nd e t a i l ，w i t ha l la n a l y s i sf r a m ef o rt h i sk i n d o fp r o b l e m t h eo b j e c t i v ef u n c t i o na n di t sc o n s t r a i n t so ft h ep r i n c i p a l a g e n tp r o b l e m 哦 e a s i l ya l t e r e db yt h ec o m b i n a t i o no ft h es o u r c eo fa s y m m e t r i ci n f o r m a t i o n ，t h eo c c u r r i n g o r d e ro ft h ei n f o r m a t i o na s y m m e t r i cp r o b l e m s ，a n ds o m eo t h e rr e s t r i c t i o n s t h e r e f o r e ，i ti s 3 北京邮电大学博士研究生学位论文 委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) n e c e s s a r yt oa d o p tt h ea n a l y s i sf r a m et os e r i a t i ma n a l y z eac e r t a i np r o b l e m ，t h e n ，f i n dt h e c o r r e s p o n d i n gm e t h o dt os o l v e i t w h e nt h eo b j e c t i v ef u n c t i o no ri t sc o n s t r a i n t sc h a n g e ，t h e yn e e dn e wm e t h o d st os o l v e t h et h i r dc h a p t e ra i m sa tt os u m m a r i z et h em e t h o d sf o rs o l v i n gt h ep r i n c i p a l - a g e n tm o d e l u n d e rd i s t i n c tc i r c u m s t a n c e ，a n dp r i m a r i l yd i s c u s s e st h em e t h o d sf o rs o l v i n gt h es t a t i ca n d t h ec o n t i n u o u s - t i m em o d e l so ft h ep r i n c i p a l - a g e n tp r o b l e mu n d e rc e r t a i nc o n s t r a i n t s ， i n c l u d i n gc o m p l e t ei n f o r m a t i o n ，p u r ea s y m m e t r i ci n f o r m a t i o n ，a n dm i x e da s y m m e t r i c i n f o r m a t i o n t h em a t h e m a t i c a lc o n c e p t sa r ea l s op r e s e n t e dw h e ne m p l o y e di nr e l e v a n t s o l v i n gs t e p s a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r , t h em e t h o d sf o rs o l v i n gt h em u l t i p e r i o dm o d e la r e a l s og e n e r a l l yi n t r o d u c e d a st h ea p p l i c a t i o no ft h er e s u l t so fc h a p t e rt h r e e ，c h a p t e rf o u ra n df 如cb u i l dm o d e l sf o r a c t u a lp r o b l e m sr e s p e c t i v e l y t h ef o u r t hc h a p t e rs t u d i e st h a th o wc o u l dt h ee n t e r p r i s eo w n e r u t i l i z ec a p i t a lb u d g e t i n ga n dm a n a g e r i a lc o m p e n s a t i o n ，u n d e ri n f o r m a t i o na s y m m e t r y , t o e f f e c t i v e l ya l l o c a t ec a p i t a la n dm o t i v a t em a n a g e r s i nc h a p t e rf i v e ，t h em u l t i p r o d u c tm a r k e t i n gp r o b l e mi ss e l e c t e da st h es t u d yo b j e c t ，a n d c o n s u l t i n gt h em e t h o d si nc h a p t e rt h r e e ，t h i sc h a p t e rb u i l d st h es t a t i ca n dt h ec o n t i n u o u s t i m e m o d e l sf o rt h i sp r o b l e m ，s o l v e st h e ma n dd i s c u s s e st h er e s u l t su n d e rd i s t i n c tr e s t r i c t i o n s a st h el a s tc h a p t e r , t h es i x t hc h a p t e rc o n c l u d e st h ew h o l ed i s s e r t a t i o n ，a n dp o i n t so u t t h em a i ni n n o v a t i o n ，t h el i m i t sa n dt h ef u t u r er e s e a r c hf i e l d s t os o l v eap r o b l e m ，w en e e dt ob u i l dam o d e l ，s o l v ei ta n da n a l y z et h er e s u l t s t h i s d i s s e r t a t i o ne m p h a s i z e so n l yt h es o l v es t e p ，w i t ht h ep u r p o s eo fs u m m a r i z i n gt h em e t h o d so f s o l v i n gt h ep r i n c i p a l - a g e n tp r o b l e ma n dp r e s e n t i n gt h et h e o r i e su s e di ne a c hs t e p ，f o rt h e c o n v e n i e n c eo fw e l lu n d e r s t a n d i n ga n du s i n gt h ep r i n c i p a l a g e n tt h e o r y k e yw o r d s ：p r i n c i p a l a g e n tp r o b l e m ，s o l v i n gm e t h o d s ，i n c e n t i v em e c h a n i s m ，c a p i t a l b u d g e t i n g , m a n a g e r i a lc o m p e n s a t i o n ，h e a d q u a r t e r s ，d i v i s i o n s 4 北京邮电大学博上研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) 图目录 图1 - 1 本论文的主要结构。4 图2 2 纯信息不对称问题发生的时序1 3 图2 3 混合信息不对称问题发生的时序。1 4 图2 4 委托代理问题的分析框架1 5 图4 5 公司资本预算与经理报酬设计问题的研究情况。4 6 表目录 表3 - 1 静态委托代理问题在求解过程中的关键点。2 6 表3 2t t m s s 方法和w 方法在求解过程中的关键点。4 4 表5 3 第5 2 1 5 2 3 小节的结果比较。8 3 表5 - 4 采用两层规划来优化的结果比较。8 5 3 北京邮电人学博十研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及戍用( 张磊) l 七o ) c e f t ( q ，f ，p ) ( q ，f ，q ) 符号说明 全称量词 存在量词 受约束于( s u b j e c tt o ) 几乎一定( a l m o s ts u r e l y ) 几乎处处( a l m o s t e v e r y w h e r e ) 随机变量( r a n d o mv a r i a b l e ) 期望算子 最大值最小值 x 的上确界 以e 为底，以x 为指数的指数函数 方阵4 的迹( a 的对角元素之和) 函数，的反函数 函数，的导数 函数厂关于第f 个自变量毛的偏导数 函数，的一阶导数函数厂的二阶导数 动态优化中状态变量关于时间t 的导数 k 阶偏导数存在且连续的函数 b r o w n 运动 o r 代数f 的某个子o r 代数 概率空间 由空间q ，仃域f 及测度q 构成的测度空间 ( ，盯2 )均值为z ，方差为盯2 的正态分布 1 可积函数空间1 - x ：f l 置i 出 哿蒜f 1 泰r 毫f 壶- _ 1 蠡静 拿洗 宁亏11 2- 31 41 5 鞴雪：耋： 土土 王亡土 卜 鬻磊l 蓊磊i 燕1 拓稿间 图2 - 3 混合信息不对称问题发生的时序 2 3 3 其他限制条件及分析框架 除了不对称信息的来源和信息不对称问题发生的时序之外，根据现实中存在的现 象，研究者们还在基本问题上增添诸如参与者的个数、参与者风险偏好( r i s kp r e f e r e n c e ) 的类型、参与者是否具有其他偏好( p r e f e r e n c e ) 、交易时间的长短、委托人交付给代理 人的任务个数( t a s k ) 、代理人的隐匿行为或隐匿信息等参数离散( d i s c r e t e ) 或连续 ( c o n t i n u o u s ) 、代理人是否具有有限责任( 1 i m i t e dl i a b i l i t y ，简记为l l ) 、参与者是否 必须履行承诺( c o m m i t m e n t ) 、是否存在隐性激励( i m p l i c i ti n c e n t i v e s ) 、是否允许参与 者重复谈判( r e p e a t e dn e g o t i a t i o n ) 等等不同的限制条件。再根据所添加的限制条件， 采用相应的数学工具来求解出这些限制条件对参与双方所签订的契约的影响，并对结 果进行经济分析。 排列组合的知识表明仅上述列举出来的这些限制条件，便能构造出多种不同的组 合，一个一个的组合就成为一篇一篇的经典文献。这些组合有的得出相近的结果，有 的则得出差异迥大的结果，它们共同推进着委托代理问题研究上的进步。当然，随着 研究的继续和对现实生活了解的加深，还会出现更多的条件，这些条件将使得模型的 结果与现实更加相符，也更加具有指导意义。 第1 4 页共1 1 0 页 北京邮电大学博：i = 研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) 根据上述所列出的各种限制条件，可归纳出目前委托代理问题的主要分析框架1 1 ， 如图2 4 ： 委托人：单个v s 多个 参 彩 风险中性v s 风险回避v s 风险偏好 其他偏好 与 者 代理人：单个v s 多个 每每 风险中性v s 风险回避v s 风险偏好 其他偏好 信息 不对 称带 来的 问题 信息 纠盒擎于 不对 称问 题发 刘竿冀爹 生的 时序 时 ；d 静态：单期模型 间 刊动l：塞篓筹高 yl h j 图2 _ 4 委托代理问题的分析框架 需要说明，在有的文献中，对“静态 ( s t a t i c ) 和“动态( d y n a m i c ) 的划分依据 是参与者的行为是否发生改变，而非如图2 4 中所依据的“时间。但笔者认为，按行 为划分的情况可分为两种，一种是在离散时间情况下，即有的文献中的“两阶段一、“多 阶段，参与者行为发生变化或隐匿信息发生变化；另一种是引入“重复博弈 ( r e p e a t e d g a m e s ) ，主要会考虑“有限承诺 、“隐性激励1 2 、“重复谈判 等条件，但具体模型中 通常会假定是在不同时期发生的。因此，可将这两种因“行为改变或隐匿信息改变 而发生的动态问题均划归在离散时间情况下，本论文中称之为“多阶段 。 因此，在本论文中的“静态 和“动态 均按时间来划分，其中静态问题包括单 期模型，动态问题包括连续时间模型和多阶段模型。 1 1 毫无疑问，仅靠简单一张图示是无法涵盖目前所有的研究内容，这里列出的仅是一些使用较广的限制条件 n 此处隐性激励包括诸如精神奖励、外部声誉等激励方式 第1 5 页共1 1 0 页 险=择=险择风= 选= 风选德=向=德向道= 逆= 道逆 北京邮电大学博士研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及戍用( 张磊) 第三章委托代理问题的求解方法 本章摘要：在前人研究的基础之上，本章重点归纳总结了静态委托代理问题在不 同信息不对称情况下的主要求解方法，和动态的连续时间下委托代理问题在不同信息 不对称情况下的两种求解方法，并简要介绍了动态的多阶段模型下委托代理问题的处 理方法 基于参与人理性的假设( 即最大化其效用) ，可猜测委托代理问题属于优化问题， 其求解的难易程度主要取决于所要优化的目标函数形式及约束条件。当所优化的目标 函数形式或约束条件发生变化后，有可能很难用熟知的方法1 3 直接求出结果，需要通过 不同的方法将问题转化成可处理的问题。本章的重点在于归纳总结当上述条件发生变 化时模型的求解方法，并不对模型的结果进行探讨1 4 ，因此在可以用熟悉的方法来求出 结果时便结束求解步骤，并省略了分析部分。 本论文重点探讨单期模型及连续时间模型的求解方法，并在其后对多阶段模型 进行简要介绍。 3 1 静态：单期模型及求解 本节首先对静态情况下委托代理问题的模型及求解进行介绍。作为基准参照 ( b e n c h m a r k ) ，首先从信息完全情况下开始，然后引入隐匿行为带来的道德风险问题。 张维迎教授在其著作中认为“委托人一代理人理论习惯上只是隐藏行动道德风险模 型的别称【9 1 ，但拉丰指出“在现实背景下，更为常见的是，委托人为了控制 代理人而必须同时解决逆向选择和道德风险的问题”【6 。因此，随后将介绍针对隐匿信 息带来的逆向选择问题该如何解决，最后介绍同时存在道德风险和逆向选择时该如何 解决。 在静态问题下，用到的数学知识主要有静态优化( s t a t i co p t i m i z a t i o n ) 、动态优化 ( d y n a m i co p t i m i z a t i o n ) 等及一些前人所证明过的充要条件。下面将一一进行介绍。 3 1 1 信息完全 在信息完全下，只需依靠古典经济学中强调的“边际( m a r g i n a l ) 的概念即可， 只要参与者的“边际成本= 边际收益 ( m a r g i n a lc o s te q u a l sm a r g i n a lr e v e n u e ) ，一切都 将变得完美。 求解方法可简述为： 1 3 例如，构造拉格朗1 1 函数来求解优化问题。 建立经济模型的日的即为分析现实，此处忽略的是其内容而绝非其重要性，感兴趣的读者请参阅文中给出的文献。 第1 6 页共i i o 页 北京邮电大学博上研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及臆用( 张磊) ( 1 ) 写出委托人的目标函数及其约束条件； ( 2 ) 此时的约束条件通常为不等式约束组成的集合，求解方法可遵照库恩一塔 克定理( k u l l l l t u c k e rt h e o r e m ) 1 5 。 此处模型采用张维迎【9 】教授书中的相关假定1 6 。代理人的行为( e f f o a ) e e m ， 芎是外生随机变量，分布函数和密度函数分别为g 0 ) 和g o ) 。e 和共同决定一个可 观测的收入y ，占) ，其中艺 0 ，圪s0 ，k 0 。假定委托人和代理人的冯- 诺依曼- 摩根 斯坦效用函数1 7 ( v o nn e u m a n n m o r g e n s t e mu t i l i t yf u n c t i o n ，简记为v - n m 效用函数) 分别为v ( x ) 和u ( x ) ，其中匕 o ，ks o ；u x o , u 。墨0 ，并假定代理人努力带来的负效 用函数为c ( e ) ，其中巳 0 ，吒 0 。委托人的问题是设计一个激励合同( i n c e n t i v e c o n t r a c t ) ，提供报酬( s a l a r y ) s ( y ) ，使得代理人按委托人希望的程度努力。假定分 布函数、收入函数、及效用函数均为共同知识。 ( 1 ) 写出委托人的目标函数及其约束条件； 当信息完全下，委托人可观测到代理人的努力水平，任何委托入希望的努力水 平都可通过强制手段来实现，如，要么签约要么走人( t a k ei to rl e a v ei t ) ，则问题可 表示为： m 。胛a x ) p ( y q ，) 一l s ( y ( 印) ) 活( ) 如 s t i u ( s ( r ( e ，) ) k g ) d e - c ( e ) “。( 1 r ) 其中约束条件后面的i r 指代个人理性约束( i n d i v i d u a lr a t i o n a l i t yc o n s t r a i n t ) 也 称参与约束( p a r t i c i p a t i o nc o n s t r a i n t ) ，其含义是“代理人从接受合同中得到的期望 效用不能小于不接受合同时能得到的最大期望效用 ，该效用也称为“保留效用 ( r e s e r v a t i o nu t i l i t y ) ，即式中的l l o 。满足参与约束的机制称为“可行机制( f e a s i b l e m e c h a n i s m ) 1 9 l 。 ( 2 ) 遵照库恩一塔克定理求解。 由函数y ，“，c 的假设可知，库恩一塔克条件是优化的充分必要条件，因此构 造拉格朗日函数： l ( e ，s ( y ) ) ，f v ( y ( e , e ) 一s ( y ( e , e ) ) ) g g ) d g + a 【p ( s ( y ( p ，) ) k ( ) d - c ( e ) - u 。】 最优化的两个一阶条件分别为： 1 5 关于库恩塔克定理及其应用请参见文献【1 叼第七章。运用该定理的难点在于确定哪些约束条件在最优情况下 是紧的。 1 6 选入本论文的模型，来自不同的文献，使用不同的符号，为统一起见，均进行一定的调整。以下同 1 7v - n m 效用函数的特征：单调性( 多比少好) 和凹性( 风险回避) i 习 第1 7 页共1 1 0 页 北京邮电大学博十研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) - v , + 知，= 0 ( 3 - 1 ) v 。( a y a ya e ( 州m 俨。石o s a y , 争。 由式3 1 及函数y 和h 的假设，可知a 0 ，因此，由库恩一塔克定理知约束条 件i r 是紧的( b i n d i n g ) 1 8 , 也即取等号。 再根据以上两个等式对 p ，s ) 的性质进行讨论。具体请参见文献【9 】第五章。 3 1 2 道德风险 当委托人无法观测到代理人的行为时，他将无法有效地“奖勤罚懒，这将挫伤代 理人努力的积极性，转而“听天由命 。理性的委托人将会比较这种消极行为所带来的 产出的损失和提供一部分产出给代理人激励他努力所带来的净产出的增加，通过权衡 得失找出最理想的做法，实现资源的有效配置。 l 、求解方法 针对纯道德风险问题的求解方法可简述为： ( 1 ) 列出目标函数及约束条件； ( 2 ) 通过“分布函数的参数化方法”转换原问题1 9 ； ( 3 ) 采用“一阶条件方法 替换掉激励相容约束； ( 4 ) 对新问题构建拉格朗日函数，验证库恩一塔克条件。 下面简要介绍“分布函数的参数化方法 和“一阶条件方法。 “分布函数的参数化方法 由莫里斯和霍姆斯特姆提出，将前一节模型中的外生 变量s 的分布函数g ( ) 通过一定的转换，导出y ( e ，占) 的分布函数f ( y ，e ) 例。 当委托人无法观测代理人的行为e 时，他将无法强制代理人按照某种努力水平来 工作，因此激励合同的作用就是让代理人在自己效用最大化的情况下，选择委托人想 要的行为。这样，在这个委托代理问题中就存在着委托人和代理人都最大化自己效用 的双重优化问题。该问题的求解并非易事。 综述中提到，莫里斯【1 8 】和霍姆斯特姆【2 2 j 通过引入“一阶条件方法 来求解该问题， 即“将代理人的最大化问题以其一阶条件来替代一，但莫里斯本人最先认识到一阶方法 “仅是一个必要条件 1 9 】。因此，随后莫里斯【1 9 1 ，罗杰森【矧，以及格罗斯曼和哈特1 2 4 1 证明了一阶条件方法的适用条件，即要求产出的分布函数满足m l r p 和c d f c ，此时 一阶条件方法是求解该问题的充要条件。下面介绍m l r p 和c d f c ： 假定代理人付出努力岳委托人和代理人司以观测翻一个实值信号 r e r , ，k ，刀2 ，质以辫事分笏 见 ) ，f = 1 ，肌，j 一1 ，刀 ，直彩历方 1 8 注意：应用库恩一塔克定理所得到的一个重要结论足“i r 约束为紧的”，以下不再证明。 1 9 继“分布函数参数化方法”提出之后，在建模时通常便直接导出产出的分布函数，省略此步。 第1 8 页共1 1 0 页 北京邮电大学博士研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) 的s 和i ，( 条件) 概率分稚ps 3 p i i y s e 、都大子零，并在e i 上二次连 续可微o m l r p ：努力程良越高。它暖带来的信号在单调似然率条件意义上也随机 献瑚：e 。矾一”j 酱镐懑驮鞍栽努旒始猕黼 较大的信号。且该条件比一阶随机占优条件( f i r s t o r d e rs t o c h a s t i cd o m i n a n c e c o n d i t i o n 。简记为f s d ) 如更强o c d f c ：y 的累积概率分布，p r q 3 ，p s q 3 在e t 上对所有的s 一、，n 和 t | 、。m 都是凸性的。表明努力程度的增加对低产量出现的概率产生负的但 递增的边际影响，强 关于m l r p 和c d f c ，具体请参见文献【5 】第十一章。 2 、基本模型 继续3 1 1 小节中的模型，并假定f o r ，p ) 满足m l r p 和c d f c 。此时代理人的行 为e 不可观测，因而只有代理人知道自己的努力水平。 ( 1 ) 列出目标函数及约束条件： 通常假定委托人在面临此类问题时会在提供契约的同时，向代理人建议一个努 力水平e ，则问题可表示为： 恐笏f v ( r ( e , e ) 一s ( r ( e , e ) ) 活( f ) d 占 s t p ( s ( y o ，s ) ) k o ) d f c o ) 苫“。 ( 1 r ) e e a r g m a xp ( s ( y ，f ) ) k o ) d 占- c ( o ( i c ) 其中约束条件后面的i c 指代激励相容约束( i n c e n t i v ec o m p a t i b i l i t yc o n s t r a i n t ) 其含义是代理人所采取的行动将最大化他自己的效用。满足激励相容约束的机制称 为“可实施机制( i m p l e m e n t a b l em e c h a n i s m ) 叫9 1 。 ( 2 ) 通过“分布函数的参数化方法来转换原问题： 将外生变量f 的分布函数g ) 通过一定的转换，导出y ( e ，) 的分布函数f o r ，p ) 和 密度函数，( y ，p ) ，将步骤( 1 ) 中的模型换为： 关于f s d 请参见附录。 第1 9 页共1 1 0 页 北京邮1 1 1 人学博 ：研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) 罂衢v ( y s ( y ) ) f ( y , e ) d y s t f u ( s ( y ) ) 厂( y ，e ) d y - c ( e ) 2h o ( 瓜) e f e a r gm a xf u ( s o o ) 1 0 ，e ) d y - c ( e )( i c ) c v ( 3 ) 采用“一阶条件方法 替换掉激励相容约束： 采用一阶条件方法，将问题转化为： 踹f v ( r s ( y ) ) f o r , e ) d y s t f u ( s o o ) 1 0 ，e ) d y - c ( e ) 苫口o ( 瓜) f u ( s 何) 坑，p ) d y c e ( e ) ( i c ) ( 4 ) 对新问题构建拉格朗日函数，验证库恩塔克条件； 通过构建拉格朗日函数，验证库恩一塔克条件，即可对此问题进行求解，再通 过比较静态分析( c o m p a r a t i v es t a t i ca n a l y s i s ) 、结果对比分析等方法来讨论引入信 息不对称后对最优解的影响。 综述中所提到的一部分参考文献均采用此方法，例如文献 5 2 7 2 1 等，理解该方 法后便可将精力更多地放在他们如何对结果进行经济分析上。 3 1 3 逆向选择 当代理人在签订合同之前拥有隐匿信息，而委托人又采用平均期望来对代理人进 行评价，那么将会造成“劣币驱逐良币 的后果，也即常说的逆向选择问题。解决逆 向选择的方法主要有信号传递和信息甄别( s c r e e n i n g ) ，前者是代理人为解决逆向选择 而采用一定的办法向委托人传递自己所拥有的私人信息，后者是委托人为解决逆向选 择而采用一定的办法将代理人彼此区分开来。本论文中仅讨论信息甄别，其中主要的 一种方法就是通过在优化时引入“讲真话 ( t r u t ht e l l i n g ) 的约束条件，来使得代理人 暴露他所拥有的隐匿信息，而新的约束条件要求新的知识才能求出结果。 1 、求解方法一 在下面的基本模型中将看到，逆向选择问题下的目标函数和约束条件具有与动 态优化问题中相类似的性质，因此将用到动态优化中的贝尔曼方程( b e l l m a n e q u a t i o n ) 及庞特里雅金最大值原理( p o n t r y a g i n sm a x i m u mp r i n c i p l e ) 。 要指出，虽然如综述中所讲，是莫里斯【1 8 。2 0 】最早提出用动态控制理论来求解此 类问题，但“对直接显示机制的微分方法的系统分析是由拉丰和马斯金( l a f f o n t & m a s k i n ，1 9 8 0 ) 在一个更为一般的多代理人占优策略机制的框架下完成 【6 j 的。 因此，针对纯逆向选择问题的求解方法可简述为： ( 1 ) 列出目标函数及约束条件2 1 ； 2 1 此时的目标函数及约束条件已经过“分布函数参数化方法”转化，以下同 第2 0 页共1 1 0 页 北京邮电大学博士研究生学位论文委托代理问题求解方法的研究及应用( 张磊) ( 2 ) 借助显示原理2 2 ，将“讲真话 约束条件限制在只考虑报告真实隐匿信息上； ( 3 ) 通过包络定理2 3 ，由“讲真话约束求出移动定律2 4 ； ( 4 ) 构建汉密尔顿函数并判断庞特里雅金条件及横截性条件来求解。 2 、基本模型 此处模型参考s u n g 1 0 8 l 在其讲义中设计的模型以及拉丰【6 l 书中第三章附录1 中 的模型，并进行适当修改。 假定代理人拥有隐匿信息( 如项目质量) 0 e o ，委托人仅知道口的分布函数f 佃) 和密度函数厂p ) ，通常假定委托人在面临此类问题时会在提供契约前，要求代理人 报告他所拥有的信息，假设代理人的报告为6 e e2 5 。假定代理人的工作带给委托人 的收入为y p ) ，其中匕 o ，so ，带给代理人的负效用为c i y p ) ，占) 。委托人和代 理人的效用函数分别为v ( x ) 和u ( x ) ，其中匕 o ，ks o ；u ， o , u 曩s 0 。假定分布函数、 收入函数、及效用函数均为共同知识。 ( 1 ) 列出目标函数及约束条件； 此时，委托人的问题是根据代理人的报告和最终的产出，设计一个激励合同 s y p ) ，分) 使得代理人报告真实信息。则此时问题变为： 嬲，上v ( y ( 口) 一s ( y ( 口) ，6 ) ) f ( o ) d o s t “( s ( y ( 口) ，占) ) 一c ( y ( 口) ，占) 苫“。 ( i r ) 占 二( ( y ( p ) ，否) ) ( ，占) ( t r u t h e a r g m a x u s - c ( r ( o ) t e l l i n g ) 日 ii y ( p ) ，p ij，秒) 二 、 、 ， ， ( 2 ) 借助显示原理，将“讲真话 约束条件限制在只考虑报告真实隐匿信息上； 根据显示原理，我们只需考虑代理人讲真话时的情况。对于“t r u t ht e l l i n g 约 束即“讲真话”约束中的最优策略，可暂不考虑否一0 的情形，而只考虑否。p 的情 形，也即代理人报告真实信息是他的最优策略之一。原问题可写为2 6 ： 丑关十硅示原理，文献【6 l 第二章和文献【9 】第三章均有详细介绍和数学证明，若觉难理解的读者请参见文献f 1 】第七 章对此问题的文7 性描述。 玎关于包络定理请参见文献f 2 1 的第3 6 9 3 7 1 页。 “关于移动定律和第4 步