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第一节聚点、内点、边界点,第二章n维空间中的点集,度量空间,定义：设X为一非空集合，d:XXR为一映射，且满足,d(x,y)0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）,d(x,y)=d(y,x)（对称性）,则称(X,d)为度量空间.,d(x,y)d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）,例：,Ca,b空间(Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体),其中,欧氏空间（Rn,d）,其中,离散空间(X,d)，其中,欧氏空间中各类点的定义,点P0的邻域：,P0为E的接触点：,P0为E的聚点：,P0为E的孤立点：,记为E的闭包（接触点全体）,记为E的导集（聚点全体）,欧氏空间中各类点的定义,P0为Ec的内点:,P0为E的内点：,P0为E的外点：,P0为E的边界点：,注：接触点、聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E。,例（1）令E=Q，则,（2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,则对一切1/k(k=1,2,3,)均为E的孤立点。,接触点、聚点表示它与集合紧挨内点表示它周围的点都在集合内,由定义可知,例1设p0是E的聚点,证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.,证明：由条件知,这与（*）矛盾，所以为无限集。,例2.E中的孤立点集或为有限集或为可数集。,这与（*）式矛盾，所以是一簇两两不交的开区间，从而A至多可数。,证明：设A为孤立点集，由孤立点的定义知,聚点的等价描述,证明：显然，下证,定义：称点列pn收敛于p0,记为：,设p0是E的聚点，证明存在E中的互异的点所成的点列pn使,则上述取出的点列Pn是互异点列,且,证明：由聚点的定义知,P0为E的接触点：P0为E的聚点：,注：聚点的等价条件的证明中，1/n是为了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异，但证明接触点时，无法保证d(pn-1,p0)不为0，所以不能保证点列两两互异。,p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn,使得,p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn,使得,证明,定理4（Bolzano-Weierstrass）,下证P是E的一个聚点.,注:,
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