《圆板的应力分析》PPT课件.ppt

第三章薄板理论及设计,工程应用平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。,引子,板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不同作用方式的外载，如图所示。,第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解。,板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面为平面的物体。,什么是板？,3.1基本概念与假设,3.2圆板轴对称弯曲基本方程,3.3圆板与环板的计算,3.4带有平盖圆筒的边缘分析,3.5平盖的工程设计,3.1基本概念与假设,变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。,当中面的wmax远小于板厚t时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当wmax与t为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。一般在工程要求的精度范围内，当时，按小挠度问题计；当时，按大挠度问题考虑。,挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。,薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂。,基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设,7,弹性薄板的小挠度理论建立基本假设-克希霍夫Kirchhoff,平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。,本章主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作用下的小挠度弯曲问题。,根据中性面假设：；,对于圆板，常取柱坐标，原点位于中面圆心。,直法线假设表明很小，相应的变形可不计，即：；,互不挤压假设认为：。,因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力分量。为弯曲应力，沿板厚线性分布，与梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。,且其它位移、应变和应力分量均与无关，因而不存在扭矩。,在轴对称载荷作用下，圆板中的变形和内力也一定轴对称。因此,3.2圆板轴对称弯曲基本方程,1.圆板的变形与内力,以上各内力的正向如图2-28(b)所示，且它们都只是r的函数，而与z无关。另外，由于弯曲应力不引起厚度的改变，因而中面同一法线上各点的挠度相等，位移w也就是中面的挠度。,于是，可将各应力分量沿板厚合成为相应的内力。可分别合成为弯矩，可合成为横向剪力，它们之间的关系为,(e),设圆板承受轴对称横向分布载荷。通常薄板弯曲的平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，)截取中面上的微小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭头表示，方向遵循右手螺旋法则。,或,(2-55),2.平衡方程,(2-56),式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含有3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。,或,直法线假设,现考察距离中面为z的微小线段AB。变形前AB=ab=dr；变形后aba1b1，ABA1B1，且位于变形后的法线上。,(2-57),圆板在轴对称载荷作用下，中面将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所示。设中面上任意一点a变形后的挠度为w，转角为。由图可知,又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则A点处的两向应变为,将(c)代入得,3.几何方程,(a),(b),(c),z,由于，故圆板的物理方程为,将(2-57)代入,代入(e),板的抗弯刚度,(2-59),4.物理方程,(2-58),(d),(e),比较,由材力,(2-60),(d),(2-59),易见：正应力的最大值在板的上下表面，剪应力的最大值在中面上。,(2-60#),5.应力计算(p50),圆板轴对称弯曲基本方程：,(2-55),平衡方程：,(2-56),物理方程：,(2-59),4个方程，4个未知量。,将(2-59)代入(2-56)，得,(2-61),两边乘r后求导，再将(2-55)代入，可得,(2-62),式(2-61,62)即为圆板轴对称弯曲问题的挠曲微分方程。,圆板轴对称弯曲挠曲方程：,6.挠曲微分方程,基本公式,(2-59),(2-61),(2-60#),3.3圆板与环板的计算,任意半径r处的剪力由区域平衡可得：,代入(2-61),积分得,1.受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图),得,由于应是有限量，故C2=0，于是,(2-64),(#1a),将和,代入得,联解得,于是,边界条件：,(#1b),(#1c),代入,得,(#1a),(2-59),(2-60#),代入,得,纯弯曲情况(q=0),(2-83),由式(#1)可得,(#1),均布载荷简支圆板(M=0),显然，在板中心挠度和应力最大,同样，由式(#1)可得,均布载荷固支圆板,可由边界条件，,借助于(#1)求得。,将第一式代入得,再将M代回(#1)，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为,(#1),(2-74),(2-76),(2-77),显然，最大挠度在板中心，其值为,最大弯矩为径向弯矩，发生在边缘处,(2-75),相应的最大应力为,(2-78),比较可见，如取=0.3，周边简支时的最大挠度约为固支时的4倍，最大应力约为固支时的1.65倍。因此，在同样的载荷作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于简支圆板。,均布载荷固支圆板,均布载荷简支圆板,板内任意半径r处的剪力Qr，由区域平衡可得：,积分得,2.受均布弯矩和剪力作用的环板,于是式(2-61)成为,(a),为简化计算，上式可改写为,边界条件：,代入得,将,及,(a),联解得：,代回(a)式，即得挠度的表达式为,(#2),现以受均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法。,由截去部分力的平衡可得,采用叠加法，图a可看成是图b和图c的叠加。图b为从均布载荷简支圆板中挖去半径R1的部分代之以内力而形成的环板。故其wb和R1处的M1，由式(2-67,70)可得,3.圆(环)板计算的叠加方法,(2-67,70),图c的wc可由受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将M1和Q1代入(#2)，并注意到符号相反，即,则得,于是,(p58w表达式),在R1处，挠度最大，其值为,式中：,同理可求得最大弯矩和相应的应力。,应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界条件的环板。图2-2列举了几种典型环板的最大挠度和最大应力()，可供设计计算参考。,图2-2几种典型环板的计算系数,(a),(b),(c),(d),q,R1,R,q,R1,R,q,R1,R,P,R1,R,P,R1,R,q,R1,R,(e),(f),集中载荷：,分布载荷：,图A不同受力形式的圆板,图B不同受力形式的环板,3.4带有平盖圆筒的边缘分析,圆筒在内压p，Q0和M0作用下连接处的平行圆增量与转角由表2-1和式2-46为：,平盖可视为图示力学模型。,在压力p和M0-Q0t2/2作用下连接处的转角，可由(#1a)式求得，过程如下：,(b),式中：,因在板下表面引起的平行圆半径增量为：,其次，由引起的平行圆半径增量可按以下推导得出：,(#1a),D2,M0-Q0t2/2,(c),(d),(e),(#1a),-p,代入变形协调方程，得：,联解即得Q0、M0，详见教材式(2-87)。,(g),Q0、M0解得后，可由下式求得圆筒与平盖中的总应力。,薄膜应力,均布压应力,纯弯曲,均布载荷,3.5平盖的工程设计,根据强度条件，平盖的计算厚度为：,(2-107),式中K结构特征系数；Dc封头的有效直径，mm。,K和Dc与封头-筒体的具体连接结构有关，见表2-8