《对坐标的曲面积分》PPT课件.ppt

一、对坐标的曲面积分的概念与性质,二、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分之间的联系,9.5对坐标的曲面积分,上页,下页,铃,结束,返回,首页,有向曲面,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),当cos0时n所指的一侧是上侧当cos0时n所指的一侧是下侧,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,下页,有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧,设n(coscoscos)为曲面上的法向量,当cos0时n所指的一侧是上侧当cos0时n所指的一侧是下侧,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,下页,有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧,设n(coscoscos)为曲面上的法向量,类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0,闭曲面有内侧与外侧之分,曲面在坐标面上的投影,下页,在有向曲面上取一小块曲面S用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为,类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx,提示,通过Si流向指定侧的流量近似为viniSi,流向曲面一侧的流量,相关知识,下页,设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz)给出是速度场中的一片有向曲面函数v(xyz)在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量,把曲面分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面面积),在Si上任取一点(iii),通过流向指定侧的流量近似为,流向曲面一侧的流量,下页,设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz)给出是速度场中的一片有向曲面函数v(xyz)在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量,把曲面分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面面积),在Si上任取一点(iii),通过流向指定侧的流量近似为,在上述和中令各小曲面直径中的最大值0就得到流量的精确值,对坐标的曲面积分的定义,下页,设为光滑的有向曲面函数R(xyz)在上有界把任意分成n块小曲面S1S2Sn(Si也代表曲面面积)Si在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值0时极限,总存在则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、,类似地可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲面积分,下页,对坐标的曲面积分的定义,函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分,下页,对坐标的曲面积分的定义,函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分,函数P(xyz)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分,函数Q(xyz)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分,上述曲面积分也称为第二类曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面,下页,对坐标的曲面积分的简写形式,在应用上出现较多的是,为简便起见这种合起来的形式简记为,对坐标的曲面积分的性质,对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质,(1)如果把S分成S1和S2则,(2)设S是有向曲面S表示与S取相反侧的有向曲面则,首页,二、对坐标的曲面积分的计算法,讨论如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？,下页,设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续则有,其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”,应注意的问题:,(3)曲面S取哪一侧;,(2)向哪个坐标面投影;,(1)曲面S用什么方程表示;,(4)积分前取什么符号.,下页,方体的整个表面的外侧(xyz)|0xa0yb0zc,把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6,解,除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此,下页,方体的整个表面的外侧(xyz)|0xa0yb0zc,把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6,解,除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此,a2bc,类似地可得,于是所求曲面积分为(abc)abc,外侧在x0y0的部分,把有向曲面分成上下两部分,解,1和2在xOy面上的投影区域都是Dxyx2y21(x0y0),首页,三、两类曲面积分之间的联系,设cosa、cosb、cosg是有向曲面上点(xyz)处的法向量的方向余弦则,综合起来有,下页,下页,三、两类曲面积分之间的联系,设cosa、cosb、cosg是有向曲面上点(xyz)