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上海大掌硕士掌位论文 约瑟夫森系统动力学行为研究 摘要 约瑟夫森器件作为超导微电子技术的核心器件，在r a p i ds i n g l e f l u x q u a n t u m ( r s f q ) 射频电路、高频振荡器件、电压标准以及数模转换器等多方 面的实际应用中的作用显著，并且有和光通信结合的广阔前景。而约瑟夫森器件 的稳定性对于整个系统来说至关重要。约瑟夫森系统可用带微扰的s i n e - - g o r d o n 方程了描述。该系统的会随偏置电流、外磁场、结的几何尺寸和衰减系数等参数 的变化而发生改变。研究发现，选择不同的参数平面，系统表现出了周期态、倍 周期态分岔及混沌态等丰富的动力学行为，为约瑟夫森器件的稳定工作提供了有 价值的参考。 本文布局如下： 第一章概括叙述了约瑟夫森系统动力学行为研究的发展过程及其研究重点； 第二章介绍了混沌的基础概念、理论分析了描述约瑟夫森系统的微扰s i n e g o r d o n 方程( p s g e ) ； 第三章首先从能量的角度理论分析了偏置电流、外加磁场等参数对一维约瑟 夫森系统动力学行为的影响，接着给出了数值模拟的结果； 第四章研究了二维约瑟夫森系统在偏置电流y 、外磁场h 和衰减系数口参数平 面内的磁通动力学行为。给出了l v 特性曲线及丰富的动力学行为模拟 结果，包括周期行为、准周期行为和混沌行为。 第五章简要介绍了约瑟夫森器件在超导数字快单磁通量子( r s f q ) 电路中的 应用。 关键词： 约瑟夫森结； 分岔；混沌；庞家莱截面 f i s k e 台阶： 快单磁通量子( r s f q ) 。 上海大掌硕士掌位论文 v o r t e x d y n a m i c a l b e h a v i o r o f j o s e p h s o n j u n c t i o ns y s t e m a b s t r a c t t h i s p a p e ri s f o c u s e do ni d e n t i f y i n gv o r t e x d y n a m i c a l b e h a v i o r so ft h e j o s e p h s o n j t m c t i o ns y s t e m j o s e p h s o nj u n c t i o nd e v i c e s a r et h eb a s i so fs u p e r d c o n d u c t i n ge l e c t r o n i c s a p p l i c a t i o n s o fd i s c r e t ej o s e p h s o nl a t t i c ea sh i 曲一f r e q u e n c yo s c i l l a t o r s ，v o l t a g e s t a n d a r d s ，d i g i t a l - t o a n a l o gc o n v e r t e r s ( d a c ) ，p h a s e m o d el o g i ca n dr a p i ds i n g l e f l u xq u a n t u m ( r s f q ) c i r c u i t sf o rt h e h i g h - f r e q u e n c ys i g n a lo u t p u t a r e w i d e l y s t u d i e da n dh a sb r i l l i a n tp r o s p e c ti nc o m b i n a t i o nw i t ho p t i c a lc o m m u n i c a t i o n j o s e p h s o nj u n c t i o ns y s t e mc a n b ed e s c r i b e d b y t h ep e r t u r b e ds i n e g o r d o ne q u a t i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n si n d i c a t et h a tt r a n s i t i o n s a m o n gs t e a d ys t a t e ；p e r i o d i c s o l u t i o na n dc h a o ss t a t ew i l lo c c u ra st h e p h y s i c a lp a r a m e t e r s a n dg e o m e t r i c p a r a m e t e r ss u c ha se x t e r n a lc u r r e n t y ，m a g n e t i cf i e l d h ) ，t h es i z eo fj o s e p h s o n j u n c t i o n ，a n dd i s s i p a t i o nc o e f f i c i e n t 口) v a r i e d ，w h i c hp r o v i d e s o n ew i t hv a l u a b l e i n f o r m a t i o nt oa v o i do rm a k eu s eo fc h a o si nj o s e p h s o n j u n c t i o n d e v i c e s ad i r e c t p e r t u r b a t i o n m e t h o dt oal o n g j o s e p h s o nj u n c t i o n m o l d e db y o n e d i m e n s i o n a ls i n e g o r d o n e q u a t i o n i s p r e s e n t e d i no r d e rt o s t u d y t h e m o d u l a t i o no fp e r t u r b a t i o n so nf l u x o n sv e l o c i t ya n ds t a b l es t a t e s i m u l a t i o n so f o n ea n dt w o - d i m e n s i o n a lj o s e p h s o nj u n c t i o nw i t hd cb i a sc u r r e n ti na l le x t e r n a l m a g n e t i cf i e l ds h o wi - vc h a r a c t e r i s t i cc u r v eo f t h es y s t e ma n dv a r i o u sd y n a m i c b e h a v i o r s ，i n c l u d i n gp e r i o d i c ，q u a s i p e r i o d i c a n dc h a o t i c m o t i o n s p h y s i c a l e x p l a n a t i o n sf o rt h eb e h a v i o r sa r ep r e s e n t e d t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ei nag o o d a g r e e m e n t w i t ht h ee n e r g e t i ca n a l y s i s k e y w o r d s ： p e r t u b r b a t i o n ，s i n e g o r d o ne q u a t i o n ，t w o d i m e n s i o n a lj o s e p h s o nj u n c t i o n ，f i s k e s t e p s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 吸保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： - l 海大学硕士学位论文 第一章 绪论 1 1 高温超导研究 1 9 9 1 年，荷兰物理学家卡末林一昂纳斯( h e i k ek a m e r l i n g h o n n e s ) 在4 2 k 附 近将氦转变为液体后，在研究液氦温度的物性过程中发现，h g 的电阻突然消失， 从此开拓了超导物理领域，这种性质我们称为超导性，而把具有这种特性的物质 称为超导体。其后，人们又陆续发现了超导体的许多特性及可能应用，使超导电 性成为2 0 世纪物理学的重要发现之一。 对超导体的实验与理论研究吸引了众多物理学家，寻找更多具有超导性的物 质和提高超导临界温度( 疋) 成为该领域研究工作的重要部分。从1 9 1 1 年到1 9 8 6 年的7 5 年问，所发现的超导体大多数为金属及合金，而最高的疋是n b 3 g e 薄膜 的2 3 ，2 k 。与1 9 1 1 年的4 2 k 相比，只提高了1 9 k ，进展相当缓慢。1 9 8 6 年4 月， i b m 实验室的j g b e d n o r z 和k a m a i l e r 开创了超导新纪元，他们发现了 l a - b a c u 氧化物超导体，其瓦超过了3 0 k ，随后朱经武和赵忠贤等得到了疋高 于9 0 k 的y - b a - c u 氧化物超导体，掀起了全世界的高温超导热。 与此相应，关于如何理解高温超导电性的理论研究也迅速展开。人们提出了 诸多的物理模型以解释高温超导正常态、超导态输运行为，其中有基于自旋 电荷分离的谐振价键( r v b ) 态，建立在自旋密度电荷密度波涨落观点上的自旋口 袋模型，以及合理纳入对费米面附近激发态的描述的边缘费米液体( m a r g i n a l f e r m il i g u i d ) n 论；s o ( 5 ) 群表述等。 尽管目前尚无有关高温超导电性的完整理论体系，但强电子关联以及与材料 的分层特性相关的层间耦合作用对高疋材料反常输运特性所负责的共识已经形 成。此外，有必要提及2 0 0 1 年初发现的化合物超导体：m g b 2 ( 硼化镁) ，其临界 温度为3 9 k ；原则上可以在b c s 理论框架中理解其超导电性，从而为在合金化 合物中寻找更高疋的超导体提供一种启示。 超导在电力工业和微弱信号监测应用方面显示了它无比的优越性。1 9 5 4 年， m a t t h i a s 发现新型的a 1 5 型超导化合物n b 3 s n ，1 9 6 1 年k u n z l e r 将n b 3 s n 制成 - l 海大学硕士掌位论文 高磁场导体，开辟了超导在强电中的应用，继而在电能传输、磁流体发电、超导 磁悬浮列车等方面的研究、试制不断推进。1 9 6 2 年j o s e p h s o n 效应的发现，将超 导应用推广到了一个崭新的领域。约瑟夫森结是由两层超导薄膜( s ) 组成的，超 导薄膜之间由氧化层( d 隔开，氧化层足够薄，使得电子能遂穿于两个超导电极之 间，如图i 1 所示： 图1 1 约瑟夫森结的结构示意图 把两个约瑟夫森结组成环路，则具有奇特的宏观量子干涉效应，用这个效应做出 超导量子干涉器件( s q u i d ) 可分辨j 5 丁的磁场，立即应用到国防、探矿、地震 预报、生物磁学等方面，交流j o s e p h s o n 器件用到射电天文、电压基准监视等领 域，显示出其它器件与之不可比拟的性能。 约瑟夫森结作为电子振荡器件，它的振荡频率高达0 7 魂。它的高频特性使 得人们很自然的想把它应用于高频微电子领域。但约瑟夫森结有一个不足之处， 就是单个约瑟夫森结应用时，在具有高频特性的同时，它的输出功率很小，一般 小于l p w 。由于存在的输出功率限制，人们就试图把一个个约瑟夫森结耦合起来， 形成约瑟夫森阵列( j o s e p h s o na r r a y ) ，目的就是为了在得到高频振荡的同时，提 高器件的输出功率。例如，1 9 9 0 年，l u k e n s 研究了在由4 0 个结组成的频率高达 3 4 0 - 4 1 0 g t t ：的约瑟夫森阵列上，得到输出功率为私胍1 9 9 6 年他们又得到了 = 4 粥，输出功率4 0 叽的惊人结果。 另一方面，由于约瑟夫森格子模型在试验上很好地揭示了许多复杂动力学系 统的动力学行为，例如：铁磁体或反铁磁体和固体中的位错等，因此约瑟夫森格 子模型一直被用来验证电子工程和超导物理等动力学系统的理论结果。据此，除 上海大掌硕士掌位论文 了研究约瑟夫森格子作为微电子器件的特性外，研究其作为具有代表性的动力学 系统的动力学行为也广受关注。 1 2 混沌与分岔研究 自1 9 6 3 年，e n l o r e n z 发表决定论非周期流f 1 1 的论文以来，非线性科 学得到了迅猛的发展。非线性动力学研究非线性动态系统各类运动状态的定性和 定量变化的规律，尤其是系统长时间演化行为中的复杂性。对有限维系统而言， 其主要内容包括混沌、分岔和分形。 1 9 7 5 年，j a y o r k e 和他的学生t y “发表了周期3 意味着混沌1 2 】一文。 从此，“混沌”步入科学界，尤其是在计算机的出现和普遍应用的基础上，发展 成为一门新兴的交叉学科，对混沌的研究构成了非线性动力学中的一个主要方 面。然而，究竟什么是混沌，目前尚无统一的定义。但整个科学界对混沌的描述 还是较为一致的。混沌是指一种由确定性动力学系统产生对于初值极为敏感 而具有内在随机性和长期预测不可能性的行为，概括来说，混沌是确定系统的内 在随机性f 3 j 。混沌理论告诉我们，有一类确定性的方程，由于运动对初始状态的 高度敏感性，当初始值有一个极小的变化，它在短时间内的结果还可以预测，这 一点不同于一般的随机过程，但经过长时间演化后，它的状态就根本无法确定， 确定性的方程得到了不确定的结果。这种行为是方程内涵的，并不是由外界干扰 所引起的。 由于混沌系统所具有的内在随机性，长期以来一部分人觉得混沌是不可靠 的、不可利用的，因而在实际中总是回避它。然而，随着九十年代混沌控制方法 和混沌同步原理的提出，混沌控制和同步有了突破性的发展，由此激发起了混沌 理论及其实验应用研究的蓬勃开展。研究表明，混沌在诸如电子学、保密通信、 密码学等领域中，都有很大的应用潜力 4 】。 分岔是进入混沌的路径之一，分岔现象指动态系统的定性行为随着系统参数 的改变而发生质的变化。分岔现象的研究起源于1 8 世纪以来对弹性力学、天体 力学、流体力学和非线性振动中失稳问题等的研究，有着广泛的应用背景。分岔 问题的研究不仅揭示了动态系统不同运动状态之问的相互转化和联系，而且与混 - l 海大掌硕士学位论文 沌密切相关，成为非线性动力学的重要组成部分。分岔问题在机器人动力学、飞 行器动力学、结构动力学、控制理论、非线性电子学甚至生态学和经济学等学科 领域，也有着广泛的应用性。 1 3 约瑟夫森电路中的混沌研究 “混沌”是自然界中的大类现象，它比有序更为普遍。因为在现实世界中， 绝大部分的现象不是有序的、稳定的和平衡的，而是处于无序的、，变化的和涨落 起伏之中的，例如，在大气系统中，神经元网络中，以及大量的电路中【5 。8 】，其 中包括了本文所致力研究的约瑟夫森阵列系统，都有混沌现象的存在。 七十年代，在研究由约瑟夫森结组成的超导器件时，人们曾经发现难以解释 的噪声陡升现象。1 9 8 0 年b a h u b c r m a n 等，通过数值研究发现，在一定的参数 设置下r f 偏置的约瑟夫森结电路中有混沌现象的存在【9 】。并同时提出，约瑟夫 森结器件中的噪声陡升现象可能与系统中混沌的出现有关。1 9 8 4 年，m o c t a v i o 和c r n a s s e r 通过实验证实了这一点。 人们开展约瑟夫森电路的混沌研究已有二十个年头，经过二十年的不懈努 力，研究取得了丰硕的成果。约瑟夫森结电路的混沌研究工作主要集中在以下两 个方面： 、 寻找可能出现混沌的约瑟夫森结电路模型，并对其参数空间进行探 究。目前，人们已发现在许多约瑟夫森结系统中有混沌现象的存在。 如，m a h n e r e n b e r g 的直流偏置的与r l 负载耦台的约瑟夫森结 模型、以及直流偏置的与r l c 谐振器耦合的约瑟夫森结模型等。 近几年，由于混沌控制、混沌同步技术的不断成熟，人们征在试图 将混沌控制、混沌同步技术运用于约瑟夫森混沌电路，这将大大拓 宽约瑟夫森器件的应用。譬如，人们可以利用混沌控制技术对可能 导致系统不稳定的混沌进行控制，从而使得系统可以稳定地工作在 高度非线性的区域。利用混沌同步技术，人们还有可能在具有良好 高频特性的约瑟夫森电路中实现微波频段的混沌保密通信。随着混 上海大学硕- a b 学位论文 沌科学的不断发展以及超导材料转变温度的提高，我们有理由相信 约瑟夫森混沌电路的应用已经离我们不远了。 1 4 小结 本章概括叙述了约瑟夫森结研究的发展过程及其研究重点；第二章我们将介 绍约瑟夫森系统的混沌动力学研究的一些预备知识和用来描述约瑟夫森格子系 统的受微扰的s i n e g o r d o n 方程：第三章首先从能量的角度分析了微扰项( 磁场 h 、电流，) 对磁通孤子运动的作用，然后对一维约瑟夫森系统在外加磁场和电 流的条件下出现的磁通动力学行为进行了数值研究；第四章我们着重研究二维约 瑟夫森格子在偏置电流 h 、外磁场 磊，锄 和衰减系数 8 ) 参数平面内的动力学行 为；第五章对约瑟夫森器件的应用进行了展望，重点介绍了约瑟夫森器件在超导 数值快单磁通量子( r s f q ) 电路中的应用。 上海大学硕士掌位论文 第二章 约瑟夫森格子动力学模型 2 1 引言 自从1 9 8 0 年b a h u b e r m a n 等关于约瑟夫森结( j o s e p h s o nj u n c t i o n ) 混沌行为 的研究工作发表以来，约瑟夫森电路的混沌研究受到了广泛的重视。人们热衷于 对其进行研究的主要原因是：简单的约瑟夫森结电路为混沌科学的研究者提供了 理想的工作平台。例如典型的r f 偏置约瑟夫森结电路模型，这个看似简单的二 阶非自治系统却蕴含着丰富的动力学行为。七十年代，在一些关于r f 偏置的约 瑟夫森结电路约瑟夫森电压标准的核心单元的实验中，电压标准失效 1 0 - 1 2 1 。此现象类似于系统中出现了很大的热噪声，因此人们刚开始时认为这是由 热噪声所引起的f 1 3 l 。之后，人们进行了大量的实验，1 9 8 4 年，m o c t a v i o 和 c r n a s s e r 通过实验证实了这一现象与系统中混沌的出现有关i l 引。 除以上提到的典型r f 偏置约瑟夫森结电路模型以外，人们还提出了许多直 流偏置的约瑟夫森结电路模型，如m a hn e r e n b e r g 等的直流偏置约瑟夫森阵列 模型【1 5 】，n e p e d e r s e n 和a d a v i d s o n 研究的直流偏置的与r l 负载耦合的约瑟夫 森结模型阚，以及直流偏置的与r l c 谐振器耦合的无结电容的约瑟夫森结模型 等。 随着约瑟夫森结应用的日益广泛，由其组成的电路系统也变得越来越复杂。 在这些系统中混沌的出现成为了“必然”。对于系统来说，混沌的出现有时可能 是有害的，甚至是致命的；有时又是有益的，可以加以利用的。因此对各种约瑟 夫森电路系统的混沌动力学研究，特别是对系统参数空间的深入了解，将使人们 在选择系统参数时更具有针对性和目的性。 本章重点叙述了两部分内容。首先，简单介绍了约瑟夫森系统的混沌动力学 研究的一些预备知识；其次，对描述约瑟夫森格子模型的p s g e 方程进行了介绍。 上海大学硕士掌位论文 2 2 混沌预各知识 2 2 1 动力系统定义 考虑n 个一阶微分方程 j ：掣：f ( x ) ( 2 1 ) 出 、。 式中x = o 。，x 2 ，h ) 7 为一维向量。 设方程组的右端在n 维空间r n 的某一区域d 内连续，且满足恰当条件，使 得其初值的解存在唯一。由于方程组是对一随时间变化的确定性系统的描述，因 而可将( 2 1 ) 称为一个动力系统。称以( x 。，x ：，j 。) 为坐标轴构成此系统的相空间 ( 状态空间) 。相空间的一个点代表系统的一个状态，通过相空间的一点有唯一的 一条积分曲线。一组代表点的运动表现为相空间中的流。 动力系统就其结构有自治与非自治之分。上述方程组右端不显含时间t ，则 所描述系统是自治的。对于非自治系统有以下定义： 对于给定的动力学方程组 = f ( x ，) 其中x 足”，f ：r “斗r ”，此方程组右端显含时间，因而由其所描述的系统是 非自治的。一般的非自治系统可以通过增加一个变量的方法变换为自治系统。 2 2 2 耗散系统与吸引子 对于系统 x = f ( x ，f ) 其中z 尺”，f ：r ”寸r ”，其相空间体积元( d v ) = 出d x 2 一办的变化率满 足专昙c d n = 善毒鲁= 莩掣 0 时，有三个吸引子。 2 2 3 庞加莱截面( 映像) 人们可以通过对相空间的几何直观研究来描述动力学系统的各种形态。利用 相图的方法可以把复杂的运动简化。然而对于有些复杂运动，例如高倍周期的运 动，其相轨迹看起来可能很乱，很难与混沌运动相区分，这时就要用庞加莱截面 的方法来进行研究。它不仅能用于区别周期与混沌态，而且还能清楚地反应出动 力系统在庞加莱截面上的相应结构。 下面研究n 个一阶微分方程组 x = f ( x ) 在相空间中取一适当地n 1 维超平面，通常它通过一个不稳定的不动点，这个超 平面称为庞加莱截面( p o i n c a r f is e c t i o n ) 。当轨道按给定的演化方向通过庞加莱截 面时，在截面上将相应的交点记录下来；记第竹+ 1 次交点靠小第1 1 次交点h ， 它们之间的关系对应： x = f ( x 。) 叫做庞加莱映射。庞加莱映射将动力系统的相轨迹转变成庞加莱截面上离散的点 来研究，给研究带来了很大的方便。由图2 1 可以看到，三维相空间中的轨迹以 一定演化的方向( 少o ) 与在z = c o n s t 的横截面s 依次交于p o ，p ，乃点， 这些离散点形成了一个庞加莱映射 上海大掌硕士学位论文 & + = r ( 最) = r ( 7 1 ( & 一，) ) = 丁( r ( ，( & 一2 ) ) ) = 一 ( 2 3 ) x 图2 1 庞加莱截面的说明 而且映射还保持了原连续动力系统的拓扑性质。譬如，原动力系统是耗散的，则 它在相空间上的体积是收缩的，那么通过映射t ，它在庞加莱截面s 上的面积同 样也是收缩的。进一步的，对于周期吸引子，其在截面s 上表现为分立的点；混 沌吸引子在截面上则表现为较复杂的图形。 2 2 4 混沌的主要特征一一初始条件的敏感依赖性 混沌的一个本质特性就是对初始条件的敏感性。动力学分析中，常用李雅谱 诺夫指数描述这种行为。当动力系统的最大李雅谱诺夫指数大于0 时，相空间中 相邻的轨道将指数分离，初始值任意小的偏差都会造成轨道充分大的分离，称系 统处于混沌态。正是由于此点，混沌运动是在确定系统中的有限区域内的随机运 动，所以长期行为将显示出随机的特性。 2 2 5 产生混沌的途径 研究混沌产生的途径，理论上有助于深化人们对于混沌出现过程的理解，明 确混沌产生的机理。在实践中发现产生混沌的途径，也是识别混沌、特别是将混 沌运动与随机运动区分的有效方法。对于出现往复非周期不规则运动的系统，如 果随参数的变化呈现出产生混沌的途径，则一般可以认为该系统是混沌运动而非 随机运动。 系统进入混沌的途径，目前研究的较为深入的有三种： 1 1 周期分岔； 9 上海大学硕士学位论文 倍周期分岔是- - o e 广泛存在的典型的产生混沌的途径。设动态系统有参数 ，只考虑单参数并不失一般性，当系统有多个参数时，可以设定其余参数而让 其中一个变化( 当然是我们想研究的参数) 。如果f = l u o 时，系统的稳定运动有了 周期r ，随着卢变化到= f ，时，稳定态运动变为周期2 丁，这种运动性质的突然 改变即是前面所描述的倍周期分岔。般她，= 胁时，稳态运动周期为2 2 l 则 f = 肌+ ，时发生倍周期分岔，系统稳态运动变为周期 少”t 。由于周期的不断 加倍，最后变为周期无穷大的运动，也就是非周期运动。从p o i n c a r 6 截面可以观 察到：1 个点变为2 个点，2 个点变为4 个点，o - y 随着倍周期分岔的不断出 现，最终变为无穷点集，周期运动相应的转化为混沌运动。 2 ) 准周期环面破裂1 3 ； 3 ) 阵发性 3 1 ； 这三种途径的存在已得到数值计算的验证和实验的证实。对于具体的系统， 三种途径可能共存。当然，由于混沌运动的复杂性，还存在其它产生混沌的途径， 例如，混沌运动可能直接由周期运动转化。这种随参数变化，混沌运动的突然消 失或出现称为激变( c r i s i s ) 。所以，对于出现往复非周期不规则运动的系统，如果 参数的改变并没有产生混沌的途径，并不能由此断定系统不作混沌运动。 2 3 约瑟夫森系统模型 2 3 1 约瑟夫森结等效模型 要了解约瑟夫森格子等效模型，我们先从介绍约瑟夫森结等效模型开始。因 为人们在研究约瑟夫森格子时，往往会把它等价为多个约瑟夫森结并联或串连的 一维或二维阵列或传输线结构。 约瑟夫森结是由两层超导薄膜组成，超导薄膜之间由氧化层隔开，氧化层足 够薄使得电子能遂穿于两个超导电极之间。如图所示，约瑟夫森结是一个两端器 件，因此人们可以通过结电压( 横跨于结两端的电压) 和结电流( 通过约瑟夫森结的 总电流) 之间的关系对其进行描述。为了描述结电压和结电流之间的关系，人们 提出了许多约瑟夫森结的等效模型。在对约瑟夫森动力系统的混沌研究中，人们 上海大学硕士学位论文 通常采用以下两神等效模型：s t e w a r t m c c u m b e r 等效模型【1 8 1 9 1 和r s j 电阻分路 结模型，其中r s j 模型忽略了约瑟夫森结电容。 s t e w a r t - m e c u m b e r 模型 图2 2s t e w a r t - m c c u m l ) e r 模型图 其等效电路如图2 2 所示，流过结的总电流为 ，= i n4 - l + i d ( 2 , 4 ) 式中 l = 巧r 。一一表示流过并联结电阻而的正常电流； ，；= ，cs i n 妒一一表示流过理想约瑟夫森结的超流电流： l = g ( 露d t ) 一一表示由结电容所引起的位移电流； h d d t = 2 e 巧a ， 其中， v j 一一结电压；r j 一一结电阻 i c 一一结的临界电流；一一结相位； 由此得到， j c j 一一结电容： i - - 一外加直流偏置电流。 ，= 上d e + i c s i n 2 e rd t萨+ 堕2 e 粤d t ， 我们可以写出系统的动力学方程组 ( 2 5 ) 上海大学硕士学位论文 fq 警告蝴叫= ， 1 州耽。，警 q 6 为了便于研究，需要对系统的动力学方程进行归一化。归一化可以有多种方 式，这里采用一下方式：定义归一化时间为r = 脚。t = ( 2 峨h c , ) “2 f ，其中 ( 3 。= ( 2 e c h c , ) “2 为约瑟夫森结的等离子频率；电流，以l c 进行归一化 扣r g ：归一化电压则为v ，= 巧i c , r ，其中仃= ( a ，2 p 七尺2 0 ) “2 。于是，得 或写成 盟：一洲，一s i n 庐+ f d r 。 d 击 云2 b c q m 外 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 系统相空间的坐标分别由结相位和结电压组成。盯和，分别是此动力系 统的两个参数，当人们选择合适的参数时系统将出现混沌。 r s j 电阻分路模型 对于r s j 等效模型，流过结的总电流写为 ，：坐+ s i n 矿 2 p r 出 。 1 与式( 2 5 ) 比较，式( 2 9 ) 中仅包含流经约瑟夫森结的正常电流厶和超流项l 项，不考虑由结电容。引起的位移电流。 i - t a g - 大掌硕士学位论文 2 3 2 长约瑟夫森格子等效模型 我们研究的长约瑟夫森格子系统的等效模型如图2 3 所示，是在空间离散化 了的s i s 结构，并以外磁场和偏置电流驱动的一维离散问题( h = j ，2 ， 肋。因为这样做有利于实验的实现，同时在理论上可以用多个约瑟夫森结并联或 串联来验证。 图2 3 长约瑟夫森格子结构示意图 在忽略所有耗散的理想条件下，长约瑟夫森结内的磁通传播可以用s i n e - - g o r d o n 方程来描述， 丸= 丸- s i n o ( 2 1 0 ) 边界外磁场， 丸( 0 ，f ) = h o ， 丸( x ，t ) = h ， ( 2 1 1 ) 其中， d 是超导波函数位相差。标准s i n e - - g o r d o n 方程( 2 1 0 ) 有磁孤子解，而在 实际情况下，我们用带微扰的s i n e g o r d o n 方程( p e r t u r b e d s i n e g o r d o n e q u a t i o n ( p s g e ) ) 来描述该系统的动力学行为， 丸= 丸- s i n e + 矿，0 s “1 ， ( 2 1 2 ) 微扰项 矿= 一口氟+ 盹，- y - u 。占( x 一) s i n e - ( 2 1 3 ) 其中 - l 海大掌硕士掌位论文 卅，一一表示正常电子遂穿势垒的耗散，2 为衰减系数 卢妒。一一表示正常电子平行于势垒运动的耗散，一为耗散系数 ，一一表示外偏置电流； 以j 0 一x 。) s i n 一一表示与空间位置x 有关的超导电流，即j o s e p h s o n 电流。 理想的s i n e - - g o r d o n 方程可以转化为哈密尔顿系统( 庐，旃) ， 系统哈密尔顿量为 ”= e 哇以2 + j 1 妒+ 1 - - c o s 矿) 疵， ( 2 1 4 ) 因此，如果我们只忽略耗散项口和p ，则实际模型的哈密尔顿量为 h ：h ”+ h ， h = 【以d ( x - x ) ( 1 一c 。s 庐) + 】出 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 由以上这两个哈密尔顿量，我们可以确定组成微扰项够的各个扰动项的特性 ( 1 ) 耗散项却，和励0 当口= 口= 0 时， 塑盟：o 斫 ( 2 1 7 ) 当口，0 时， d h ；_ ( o ) ：一 ：( 斩+ 妃) 出。 ( 2 1 8 ) 击 。、“ 可见，当口，卢 o 时，系统将通过这两个项向外耗散出能量，其结果是使磁孤子 在长约瑟夫森格子内的运动速度减慢。 ( 2 ) 外偏置电流项y 当口= = 一= 0 时，波函数的能量密度孵为 贸= 哇开+ j 1 以2 + l - c o s 妒) + 彬= 倪”+ 埘， ( 2 1 9 ) 如果y 0 ，则彬项是波函数能量的输入项，它的作用是加速磁孤子在长约瑟夫 上海大学硕士学位论文 森格子内的运动。 ( 3 ) 缺陷( m i c r o s h o n ) 项壕6 一蠢) s i n m i c r o s h o r t 是由于长约瑟夫森格子内异质缺陷所产生，我们定义在x = x 。处存在 缺陷，则当口= = ，= 0 时，波函数的能量密度吼为 孵= 倪”+ 卢。( 1 一c o s # ) 8 ( x x 。) ，( 2 2 0 ) 其中，万一函数定义为： 8 ( x x 。) = 1 ，( i fx = 工。) ；8 ( x z 。) = 0 ，( i fj 并。) 。( 2 2 1 ) 所以微扰项一以( 1 一c o s # ) 8 ( x x 。) 表示： 在x = x n 处时，能量为正，除非痧( x ，r ) = 0 ( 对2 7 r 取模) ： 在x x 。处时，能量为零的物理意义。 也就是说，磁孤子运动到缺陷区域( z = x 。) ，会有能量的损失，从而使得磁孤 子运动速度减慢。 其实，在实际的情况下，影响器件稳定性的因素有很多，有来自器件本身的， 比如器件的物理尺寸、存在的缺陷等；也有来自外部的，比如环境温度变化、外 加磁场、电流的变化等，它们都可能对器件的稳定性产生影响。我们将在后面的 章节里详细分析约瑟夫森格子在主要参数平面ps ，h ，口，心，d 。) 内的特性， 从而揭示了系统所处的参数空间对器件稳定性的重要性。 2 4 小结 以上介绍了一些混沌的基础知识以及约瑟夫森系统，对该系统的动力学研究 是十分必要的。一方面，因为p s g e 方程描述了诸多以为系统的稳定性知识，而 器件的稳定性对于整个系统来说至关重要；另一方面，因为约瑟夫森格子是超导 微电子学的基础之一，例如在电压标准、约瑟夫森振荡器，高频振荡器，数模转 换器( d a c ) 及作为产生高频输出信号的快单磁通量子( r s f q ) 电路等多方面得 上海大学硕士学位论文 到深入得研究和广泛的应用。对于大多数约瑟夫森器件而言，混沌的出现将使得 系统处于不稳定的状态，最终将导致系统的失效。因此，人们对约瑟夫森格子系 统的动力学行为研究，特别是对其参数空间的探究，将使得人们在选择系统参数 上更具有目的性，从而避免了由于参数选择不当所带来的损失。 上海大学硕士掌位论文 第三章 一维约瑟夫森系统磁通动力学行为研究 3 1 引言 自从1 9 6 2 年，b d j o s e p h s o n 发现j o s e p h s o n 效应以来，以约瑟夫森结为 基础的超导器件在通信、计算机等各个领域得到了广泛的应用。近年来，约瑟夫 森器件作为超导微电子技术的核心器件，在快单磁通量子( r s f q ) 逻辑电路、 高频振荡器件以及数模转换器等多方面的实际应用中作用显著，因此详细地了解 约瑟夫森结在不同条件下的磁通动力学行为就显得尤为重要。 约瑟夫森器件在应用的过程中表现出丰富的动力学行为，该系统的状态会随 着外部驱动，如：偏置电流、磁场，以及结的几何尺寸、衰减系数等参数的变化 而发生改变。本文从能量的角度分析了理想情况以及微扰情况下，不同参数平面 对系统磁通动力学行为的影响，并给出了数值模拟的结果，为约瑟夫森器件的稳 定工作提供了有价值的参考。 3 2 能量分析 一维约瑟夫森结内的磁通传播可由带微扰的s i n e - - g o r d o n 方程来描述 丸= 九一s i n e + 矿，( 0 s “1 ) ( 3 1 ) c f = 一氟+ 芦拳。? - y - ：6 ( x - a , ) s i n 矿表示微扰项，这里，妒( x ，f ) 表示超导波函数相位差，x 和t 分别表示空间和时 间坐标。在本文中，若不加以说明，则所有的x 和t 都已分别对约瑟夫森穿透深 度乃= ( 九2 , r 。瓿) 和约瑟夫森结的等离子频率的倒数m 一= ( 妒o c 2 m 。) “2 进行 归一。其中，丸是磁通量子，五是约瑟夫森结临界电流密度，d 是磁场的有效穿 透深度，c 表示单位面积上的结电容。口办表示由垂直穿过结的正常电子隧道电 流引起的衰减，卢硅。表示平行流过结的正常电子隧道电流引起的衰减，y 是外加 上海大学硕士掌 f c z 论文 的直流偏置电流，肚邵- a o s i n f k 表示由于结的缺陷和每个结都不可能完全相同而 形成的约瑟夫森电流。通常为了简单，令p = 0 ，同时，我们假设结是无缺陷的， 则雎= 0 ，重写( 3 ，1 ) 丸= 丸一s 血妒一( 口以一，) ( 3 2 ) 当占= 0 ，系统的动力学行为可由标准s i n e - - g o r d o n 方程描述 九= 丸一s m 庐 ( 3 3 ) 这是一个保守的、非线性耗散波动方程，有孤子解如下 船力- 4 缸慨锚幕) 】 ( 3 4 ) 当在结的两边加上磁场，磁场对结内磁通传播的影响可由边界条件给出： 丸( o ，f ) = 丸( ，f ) = h( 3 , 5 ) ，是结的长度，h 是外加磁场。 对于有限长度的约瑟夫森传输线，我们可以将系统的哈密顿量写为： n s g f ( 丢开+ 吉杉小c o s 4 ) a x h = f ( 二1 呷，2 一力协 h = 日跖+ h ( 3 6 ) 在忽略所有损耗以及外加偏置电流，；0 的情况下，h = 0 ，上式两边对r 求导 并分部积分得 i d h = m ( z ，r ) 一以( o ，f ) 】 ( 3 7 ) 可以看出，这时系统能量的变化只与h 有关，当h = o 时，系统的哈密顿量守恒， d h ：0 。通常情况下，系统的哈密顿量是由( 3 6 ) 式给出的。对于带微扰的s i n e - - g o r d o n 方程( 3 2 ) ，有 堕d t = 型d t = 一f ( 却f 2 _ 肋) 出 ( 3 8 ) 旬、1 。 假定只有单个磁通孤子( 或反磁通孤子) 在结内移动，我们认为微扰项对孤子产生 上海大学硕士掌位论文 的主要影响是对其运动速度的调整。将( 3 4 ) 式带入( 3 6 ) 式，此时有 = 日“= 4 ( 1 - u 2 ) - f ，2 蛐乍芾： ( 3 9 ) 两边对时间求导得 警= 若爷睦m 嵩幕一芝竽s e c h 2 ( 嵩蒂川：詈 聊 当x 寸o o 时，t a n h ( x ) 一1 ，s e c h ( x ) - - o ，因此只要如取得合适，通常取= 1 2 ，f 取得足够大，上式可以简化成 d h 8 u d u 一- 一 d t ( 1 一“2 ) d t ( 3 1 1 ) 另一方面，如果我们表示( 3 2 ) 式的解，但是由于微扰项的存在，此时孤子不再 以恒定的速度运动，而是在微扰项的影响下速度不断地发生着变化。将( 3 4 ) 式带 入到微扰s i n e - - g o r d o n 方程的哈密顿量中得 丝：掣：2 删川a u 2 ( 1 - u 2 ) “2 (312)dt2 百“删y 一5 ( j 由两式相等可得出 鲁= 等( 1 _ 呐”2 一硎( 1 - - 1 2 ) ( 3 1 3 ) 从这个式子看出，口使磁通减速而y 使磁通加速。当外加偏置电流注入磁通的能 量恰好与由于正常电子的隧道效应产生的能量衰减嘲相平衡时，系统将处于一 个稳定的状态，这时的速度是不随时间变化的常量( 詈= o ) ，我们称之为“能量 平衡速度” ： 1 十( 丝) ：产 n - , 随着电流的增大，将会出现多个“能量平衡速度”，系统将由简单的稳态向包含 周期、准周期以及混沌的多重状态转变。以上从能量的角度对一维约瑟夫森系统 做了分析，显示了微扰项对磁通孤子速度的调节，接下来我们将给出数值模拟的 上海大掌硕士学位论文 结果。 3 3 数值模拟 设口= ，= 0 ，h 0 。为了考察外加磁场对磁通量子在长度为，的约瑟夫森结 中的传播情况，我们用差分逼近的显格式对( 3 2 ) 式进行数值模拟。首先我们要给 出初始条件【2 0 】， 淼譬器 红( x ，o ) = f ( x ，o ) 、7 f ( x ，) = 4 t a n 。e x p 孝i ( h ) + x 】 + 4 t a n 。e x p ( x + u t x o ) ( 1 一, 12 ) 2 + 4 t a n e x p 善2 ( h ) 一，+ x 】 茧= l n ( 2 h ) 【1 + ( 1 一h 2 4 ) “2 】 鼻= l n ( 2 h ) 1 一( 1 h 2 4 ) “2 ) f ( x 、n 包含三项，一、三两项分别表示处于结两端的静孤子，用以满足边界条件。 换句话说，我们把磁场的影响假想成在结的两端产生两个静止的孤子，形成了类 似于势阱的模式，来限制结内孤子的运动，中间的一项表示以初始速度“运动的 磁通量子，表示运动孤子初始时刻的中心位置，= i 2 。当运动孤子在边界 上与静孤子发生碰撞时，就产生了能量的交换，从而体现出磁场对于系统磁通运 动的影响。在本文的数值模拟中取i = 2 0 ，k x = 0 0 5 ，a t = o 0 2 a 上：- 4 i - 大掌硕- 3 = - 学位论文 图3 1 单孤子在边界处的反射图3 2 由于外磁场的作用，孤子发生了分裂 p = 1 9 9 5 ，z 。= 1 0 ，“= 0 5 ，0 ts5 0 图3