随机变量的数值特征.ppt

,在前几章，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的。而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的。在这些数字特征中，最常用的是期望和方差。,第四章随机变量的数值特征,4.1数学期望1.数学期望的定义随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一，它的定义来自习惯上的平均概念。定义1：设X是离散型随机变量，它的概率分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,。如果有限，定义X的数学期望,也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。定义2：设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)，如果有限，定义X的数学期望为,亦即，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。,2.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，需要计算的不是X的期望，而是X的函数g(X)的期望。该如何计算呢？一种方法是，首先求随机变量函数g(X)的分布，然后按数学期望的定义计算Eg(X)。但是，求随机变量函数g(X)的分布，一般比较复杂。可否不先求g(X)的分布而只根据X的分布来求得Eg(X)呢？可以！,定理：设X是一个随机变量，当X为离散型时，其分布律为P(X=xk)=pk；当X为连续型时，其密度函数为f(x)。Y=g(X)，则,该公式的重要性在于：求Eg(X)，不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。,3.数学期望的性质1）设C是常数，则E(C)=C；2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)；3）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)；推广,4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；推广,（诸Xi相互独立）,由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立,例.电视塔观光电梯每整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早8点至9点之间随机来到底层候梯处，求该游客等候时间的数学期望。,解：设该游客到达时刻为8点的第X分钟，等候电梯的时间为Y（分钟）。则X在0,60上均匀分布，而Y是X的函数。由题意，有,所以,4.2方差随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征。但是，仅仅知道平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其中心附近的离散程度。这个数字特征就是方差。1.方差的定义设X是一个随机变量，若E(X-E(X)20，下述不等式成立：,或,这表明，方差越小，事件|X|的概率越小，即事件|X|的概率越大，亦即随机变量X集中在其数学期望附近的可能性越大。,例.在每次试验中，事件A发生的概率为0.75。试利用切比雪夫不等式求，n需要多大时，才能使得在n次独立重复试验中A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.9？,解：设X为n次独立重复试验中A出现的次数，则,所求为满足P(0.740，称,为随机变量X和Y的相关系数。相关系数的性质：1)|XY|12)X、Y相互独立时，XY=0，但其逆不真。|XY|=1存在常数a,b(b0)，使PY=a+bX=1即X和Y以概率1线性相关。,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度。若|XY|=1，Y与X有严格线性关系；若XY=0，Y与X无线性关系，也称Y、X不相关；XY的值越接近于1，Y与X的线性相关程度越高；XY的值越接近于0，Y与X的线性相关程度越弱。,注意：不相关、相互独立是两个概念。相互独立指两个随机变量之间没有任何关系；不相关指两个随机变量之间没有线性关系。,若X、Y相互独立，则XY=0，X、Y不相关；反过来，若X、不相关，它们却不一定相互独立。特例，若(X,Y)服从二维正态分布，则X、Y不相关X、Y相互独立,例.某葙装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件。现从中随机抽取一件，记,试求：1）X1和X2的联合分布率；2）X1和X2的相关系数。,解：1）令事件Ai表示“抽到第i等品”(i=1,2,3)。由题意，A1,A2,A3两两互不相容。有,P(X1=0,X2=0)=P(A3)=0.1P(X1=0,X2=1)=P(A2)=0.1P(X1=1,X2=0)=P(A1)=0.8P(X1=1,X2=1)=P()=0.0,2）Cov(X1,X2)=E(X1X2)E(X1)E(X2)，而,所以Cov(X1,X2)=0.08又D(X1)=E(X12)E2(X1)=0.16D(X2)=E(X22)E2(X2)=0.09所以,4.4矩协方差矩阵一.矩定义：设X和Y是随机变量X的k阶原点矩E(Xk)X的k阶中心矩EXE(X)kX和Y的k+l阶混合原点矩E(XkXl)X和Y的k+l阶混合中心矩EXE(X)kYE(Y)l,可见，数学希望E(X)是X的一阶原点矩；方差D(X)是X的二阶中心矩；协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。二.协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式：,称为（X1,X2）的协方差矩阵,