（数学专业论文）曲线性化的boltzmann方程的解得到二粒子boltzmann方程的色散关系.pdf

一 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得内墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 盏垦旦 日期乏型：生! 兰9 ：鳓朗 日 期：至! ! ! ：生垒! 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期问取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 躲生耻：鱼婴鳅胡 期：兰! 丝乏! 兰! t h ed i s p e l u i o nr e i a t i o no fs o u n do ft h e t w o - p o i n tb o i j t z m a n ne q u a t i o nf r o mt h e l i n e a r l z e db o i j t z m a n ne q u a t i o n g u 锄gm i l l g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o ra q i l a t u s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s i l l i l e rm o n 9 0 1 i au n i v e r s i 劬h o h h o t o10 0 2l m a y 2 0 1 1 目录 中文摘要l 英文摘要2 第一章引言3 第二章解的构造4 第三章线性化的b o l t 硼a 肋方程8 3 1 预备知识8 3 2 线性化的b o l 协眦吼方程9 第四章色散关系1 8 问题与展望2 2 参考文献2 3 致谢”一“2 4 内蒙古大学硕士学位论文 由线性化的b o lt z m a n n 方程的 解得到二粒子b o it z m a n n 方程的色散关系 摘要 二粒子b o l t z 舱n n 方程是b o l t z m a 肌方程之后的又一个重要 的气体动力学方程。本文利用线性化b 0 1t z m a n n 方程的解构造出 二粒子b o l t z m a u l n 方程的解，并在此基础上找出了二粒子 b 0 1 t z m a n n 方程的色散关系二粒子b 0 1 t z m a n n 方程的色散关系在 一定程度上反映出了湍流中声音的传播性质。 关键词：b 0 1 t z 腿n n 方程；二粒子b 0 1 t z m a n n 方程；线性化 b o l t z m a n n 方程；色散关系 t h edis p e r tl0 nr e l a tlo n0 fs o u n d0 f t h et w o p oin tb o l t z m a n ne o u a tio n f r o mt h elin e a riz e db o l t z m a n ne q u a tl0 n a b s t r a c t t h es o u n dp r o p a g a t i o n p r o b l e m f o rb 0 1 t z m a n n e q u a t i o n s y s t e mh a sb e e ni n v e s ti g a t e db ym a n yr e s e a r c h e r s i nt h isp a p e r w ei n v e s t i g a t e dt h es o u n dp r o p a g a t i o ni nt w o p o i n tb o l t z 脚l a n n s y s t e m a n d o b t a i nt h ed is p e r si o nr e l a ti o nf o r t w o p o i n t b 0 1 t z m a n ns y s t e n l t h i sp r o b l e mi ns o m ew a yr e l a t e dt ot h es o u n d p r o p a g a t i o ni nt u r b u l e n c e k e yw o r d s ：b o l t z m a n ne q u a n t i o n ：t w o p o i n tb 0 1 t z m a n n e q u a n t i o n ：l i n e a r i z e db 0 1 t z m a n ne q u a n t i o n ：d i s p e r t i o nr e l a t i o n 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 色散关系，即为声波在介质中传播时频率与波数之间的关系。近几十年来，s 1 如9 6 ， m b l e w i s ，陈天权和其他一些人对气体的湍流运动用新的方法进行了一系列研究。h g r a d 在【l l 】中讨论了b o l t z i m 眦方程系与湍流之闻可能的关系，认为稀薄气体，对非线性非稳定 流和湍流必须用b o l 忉豫胁方程系描述，而b o l t z i n 锄方程和n a v i e r - s t o k 铭方程都不使 用。s 1 如9 6 ，m b l e 丽s 利用g 飓d - 1 3 矩法从b o l 切舢方程系得到了相关气体的宏观运动 方程组的解。陈天权应用推广的e n s k o g c h a p m 觚和i k e n b e n y 一1 - m e s d e l l 的m a x w e l l 迭代 法也从b o l 饧n a 蛆方程系得到了相关气体的宏观运动方程组 二粒子b o 舵m 锄方程是继b o l 切n 锄方程之后又一重要的气体动力学方程。二粒子 b o l 乜i m 如方程的色散关系到现在还没有人做出过，而因二粒子b o l 切m 衄方程与湍流之间 的关系，二粒子b o l t z l m 衄方程的色散关系在一定程度上可以反映出湍流中的色散关系。 陈建宁，宋金宝，k s a g a r a s t s u 9 6 等人分别求出了二粒子b o l t z m a 衄方程组的局部平 衡解。陈建宁，王世君等人证明了二粒子b o l 切n 锄方程解的存在唯一性和局部解的存在 唯一性，整体解的存在唯一性c a r l oc e f c i 髓a n i 在【l o 】中详细讨论了线性化b o l t z 麟m 方程 积分算子的特征值，特征函数及其分布。还利用线性化b o l 忉m n n 方程证明了平衡态附近 的分布函数随时间趋于平衡解。 对声的传播问题最先以分子的的观点进行研究的是u l l l e n b e c k 和王承书( 、) i 佃1 9a 姗g ) ， 此前对声的传播的研究都是以流体动力学的理论进行的。用分子运动论的方法可以给出更恰 当的解释。敖继军曾利用混合气体的模方程讨论过混合气体中声传播的色散关系。 陈建宁在【2 】中用b 0 k m a 伽方程的两个解的平均得到了二粒子b o k m 衄方程系的解。 本文为求二粒子b o 娩咖n 方程的色散关系，首先对b o l t z l m 蛐方程系，我们在三点混乱水 平上考虑问题，即只考虑二点相关，即有h = 0 ，这样b o l t z l m 加方程系的最初两个方程可 独立求解。然后假定变量分离，从而b o l 乞曲撇方程系的解由b o l 乜m a 衄方程的解构造出来。 在第三章，线性化b o l t z m a 如方程，并用渐近方法得到了线性化的b o l t z l 髓皿方程的解， 并将解分解为平均解与扰动解之和，并分别在西l ，函和6 7 仅有一个不为零的情形下得到 b o l 乜i m 皿方程的解，并由其平均得到了二粒子b o l 切m 衄方程的解。 本文第四章，由第三章得到的频率与波数的关系进行渐近变换，得到色散关系。 3 解的构造 第二章解的构造 设z = ( i ，d 表示六维相空间的点，其中x ，d 分别是粒子的位置和速 度厂( z ，f ) ，正( z ，z ，f ) 和石( z ，z ，z ，f ) 分别为一个粒子，二个粒子和三个粒子的分布函数，且 关于相空间是对称的 令 g ( z ，z ，f ) = 五( z ，z ，f ) 一厂( z ，f ) 厂( z ，f ) | i l ( z ，z ，z ，f ) = 六( z ，z ，z ，f ) 一厂( z ，f ) 厂( z ，f ) 厂( z ，f ) 厂( z ，f ) g ( z ，z ，f ) 一厂( z ，f ) g ( z ，z ，f ) 一，( z ，f ) g ( z ，z ，f ) 则g ，j 1 1 分别是二点和三点相关函数，是分子偏离分子混乱的度量对于稳定的层流，这些项 可以忽略，但对于非稳定流这些项将十分重要f | j 下面写出描述相关气体的b o l 锄a 姗方程系1 6 】： ( 昙+ u 去) 脚m 盯( 宥俐庀卜删西卜( 剁虹舴i h 亿三) ( 昙+ 嘻- 。去) g ( z 三f ) _ 恻：州魁 ( 等) - 七亿t 幻叫茹汤 ( 等) - 恤三幻叫石匀 ( 昙+ 嗤+ 。去+ 6 去) 地三 ，f h 【吼【吼【g g 】【魁； 州店【唐1 五+ 舾( 警) - 恤名砖幻嘞磊汤 4 内蒙古大学硕士学位论文 ( 芎恤 ；， ，幻讹篆汤卜( 芎酢三珏h 。， 三) 在上面的方程中带撤的变量表示分子碰撞后的值- ，表示碰撞积分算子： 虹g ( z ，幻- g ( 菇) - 去( 暑) - 衅，h ( z ，动即d 阳谢5 其中；= 毛u = p 一叫口和占的意义是标准的纠算子7 定义如下： 7 【店】：行盯f 三垡墨1 - - ，【厂( 三) g ( z ，三) 一厂( 三) g ( z ，三) 】+ 行仃f ，三塑 - - ，【厂( 三) g ( z ，三) 一厂( 三) g ( z ，三) 】 刀l m ， 在上面运算中z 作为参数并不改变，【店】；可以类似地定义 脑卜刀盯( 警弘妊力妊匀磊瓤匀】 栅f 塑1 _ 以g ( 韵g ( 韵一g ( 韵g ( 锄 九店】：刀仃f 兰坚丫彤( 锄( 如，三) 一，( ；) g ( 矗三) 】 ，拧， + 刀0 丝丫以g ( 瓢( ； z 三) 一( 孤磊动 小j ， 其中z 和三是参数九昭】；，丌暑g k ，y 瞻】；和丌店k 可以类似地定义 由于b o l t z l 豫衄方程系的每一个方程都依赖于更高阶的相关，所以任何有限个方程都不 能独立求解，为了简化问题，本文我们将在三点混乱水平上讨论问题即假定办= o ，此时 b o l t z l m 衄方程系的最初两个方程可以独立求解写出这两个方程如下。 ( 昙+ 。去) 脚却仃( 警) _ m 庀 ) + 毗幻删庀h 亿三) ( 1 ) ( 鲁+ 嗤+ 6 去) 如三f ) - 刀仃( 警) - 彤口她幻砸她幻 5 解的构造 ( 三) g ( 乙三) 一厂( 三) g ( z ，幼+ 刀仃f ，兰坚 - 以厂( z ) g ( 磊) ，力， + ，( 三) g ( 三，z ) 一厂( z ) g ( 三，；) 一厂( ；) g ( 三，z ) 】 ( 2 ) 在这里我们改写了方程的右端，这样便于以后的计算如果两点相关函数g o ，三，f ) = o ，则方 程( 1 ) 即为通常的b o l t z i m 肌方程以下我们进一步假定相关函数是可以变量分离的，这样 能够求出( 1 ) 和( 2 ) 的一类解令 g ( z ，三，f ) = 蜀( z ，f ) 蜀( 三，f ) ( 3 ) 由于二个粒子的分布函数关于z ，三是对称的，所以相关函数g ( z ，三，f ) 也是关于z ，三对称，这 样( 3 ) 式中的g ( z ，三，f ) 的两个分解函数是同样的将( 3 ) 式代入( 1 ) 和( 2 ) 式，经过化 简得 ( 昙+ 。去) 胸阳盯( 警) - 出p 砸p 姗m z 施h i ( z 施) ( 4 ) ( 昙+ 。去) “z 力降) - 他瓣m 口胎p 舰石h 西g i ( z ) ( 5 ) 由( 4 ) 式和( 5 ) 式可以得下等的方程： ( 昙+ p 刳c 胸) + g l 亿嘞 ( 等厂+ g i ( 棚口) + 9 1 口) ) _ ( 他) + g l ( z 腆) + g l 圆) ( 6 ) ( 昙+ 。去) c 胸h 亿t 的 ( 警) - 巾p ) - g l p 肌，) - 妊，) ) w ( z ) - g l ( 蝴矿枘 ( 7 ) 根据( 4 ) 一( 7 ) 式我们得到如下结论： 1 若( z ，f ) 和蜀( z ，f ) 是方程( 4 ) 和( 5 ) 的解，则( z ，f ) + 蜀o ，f ) 和厂( z ，f ) 一g l ( z ，f ) 都是b o l 切m 蛐方程的解 2 若彳( z ，f ) 和五( z ，f ) 是b o l 咖锄方程的两个解，则 内蒙古大学硕士学位论文 他力= 吾“( z ，d + 五( z ，d ) 和g l ( z ，f ) = 三( 石( z ，f ) 一厶( 列” 是方程( 4 ) 和( 5 ) 的解 这样方程( 1 ) 和( 2 ) 的解在相关函数g = 蜀( z ，f ) 蜀( z ，f ) 的假设下，可以由b o l 切n a n 北 方程的解构造出来，即 ( z ，f ) = 寺“( z ，) + 石( z ，f ) ) g ( z ，三，f ) = 丢u ( 纠) 一五( 印) m ( 锄一石( 拍) 7 ( 8 ) ( 9 ) 线性化的b o l t z l m 尬方程 第三章线性化的b o l t z m a n n 方程 ( 1 s 后3 ) ，虬= 卜) 一u 1 2 ，称( o f s 4 ) 为求和不变犁 这里u = l ，“2 ，“3 ) 为气体的宏观速度令 刀= 胁一胁，言枨r = 帅一u 1 2 幽 r 0 = 扛。如，尺。) - 扛。( u u ) 咖，尺2 ) - 扛，卜一u 1 2 咖 其中疗，l 和丁分别是气体的数密度，速度和温度r 们，r m 和r 是气体的宏观相关 函数尺是b o l 饧啪蛐常数，m 为分子的质量再令 吩= 肛幽，吩u ，= d u ，未吩弛= 肪卜一u 1 2 如 。 。，” o 由上节的结论，经过简单地计算便有 刀= 三( 啊+ 刀：) ，r ( o ) = 三( 一以：) 刀u = 圭( 码u l + ，1 2 u 2 ) ，r 1 1 ) + 尺( 0 ) u = 三( ，l i u i 一刀：u 2 ) 等小篆瓴枷：驴扣叫+ 扣叫 胪) = 筹“五飞驴三刀，l l i 叫一三啦卜2 1 2 因为刀。和刀：是分布函数z 和以的数密度，所以不为零，反解上式得 码2 以+ r 0 ) ，1 2 = 拧一尺o ) u i = u + i j 三聂两r ( 1 ) ，u 2 = u i = 三章万r ( 1 ) 五钉+ 南 - 删一南科1 ) r ( 1 ) + 景 正钉+ 南p 一南良1 ) n 景叫 下面将厂分解为平均7 和扰动v 之和： ：7 + v ，五( 毛锄：- ( z ，f ) 7 ( 三，f ) + 而 后吁以 g ( z ，z ，f ) = ，；( z ，z ，f ) 一厂( z ，f ) 厂( z ，f ) = 厂厂 一 8 内蒙古大学硕士学位论文 还可以写出厂和g 的矩的表达式 以= 胁，栅+ 面= 胁 昙肿+ 普面+ 以丽= 帅- u 2 1 2 咖，雄m oi 血曲= i g ( z ，z ，f 风m ， 一 其脚心训饥 詈1 2 _ 灯p ， 口，6 = 玎，丁 这里五丽为宏观相关函数，当g ( z ，三，f ) ：蜀( z ，f ) 蜀( 三，f ) 时，夏蕊也是变量分离的，记 为夏忑：如靠，所以翻，瓯和卯与r ( 们，碍- 1 和尺( ：有如下关系： 翻刊们，吼= 丢掣，卯= 景) 一吾)刀j刀k刀 3 2 线性化的b o l 饶m a 曲方程 设厂( z ，f ) = 石( z ) 【l + j j l ( z ，f ) 】，其中 ( z ) 是b o l 忉m 柚方程的平衡解，则忽略 的二次项， 将上式代入到b o l t z i 皿姐方程，得到线性化的b o l 乜m a n n 方程： ( 妄嚷) 堆舻刀仃( 芎螂， 为求正规解，我们可设定 ( 五d ，f ) = k t ( ) p h 一硼，则线性化的b o l 切m 皿方程变为 一，o 叫k 咄 其中c = ( j 等) - 因为是轴对称的，所以我们可将上式写为 伍一哎地，k = 儿，k ， 其中占= 一上， 层；o ( _ 言旦下面用渐近方法解线性化的b o l 咖方程 ，l 仃 、2 七r 7 ，l 盯。 一。一一一 将上述方程写为 + = 矾j 9 ( 1 0 ) 线性化的b o l 忉m 皿方程 我们想得到以七的幂次展开的缈的表达式，所以我们假设 = 蛾+ 占档+ 占2 础+ ， e = 占+ s 2 e 2 + 将( 11 ) 式代入到( 1 0 ) 式，我们得到 础= o ， 础= ( d 一乞) 础， ，7 l 丞= ( n 一乞) 毁+ e 2 2 础= ( 一乞) 档+ 织+ 础 ( 1 2 a ) ( 1 2 b ) ( 1 2 c ) ( 1 2 d ) 碳由式( 1 2 a ) 确定，即毋盘= o ，而又知对应于- ，的。特征值的特征向量为l ，c ，c 2 ，所 以知础为l ，c ，c 2 的线性组合，在这为l ，c z ，c 2 的线性组合，设 其中 础= 4 ： 仍+ 4 仍+ 4 伤 仍= c 2 吩 其中么待定又知有 乞仍= 爷一c ， 乞绝= 妒。 乞纺= 争“盯c ( 1 3 a ) ( 1 3 b ) ( 1 3 c ) ( 1 4 ) 知仍，仍，伤除，l ，。外的其它b 啪e n 函数正交将础= 4 0 仍+ 4 0 仍+ 4 0 伤代入 l o ) ， ， 哆 1 5 2 ， ，、 l - 2 _ l 一l弘 ) ， 趴一，5 2 一坫 = = 讫 纺 内蒙古大学硕士学位论文 ( 1 2 b ) 得 础= ( n 一乞) ( 4 仍+ 4 0 慨+ 4 0 切) ( 1 5 ) 是娥的线性方程，这个方程有解当且仅当非线性项与线性方程的解正交即要求 ( e d c ：) ( 4 。切+ 4 仍+ 4 0 伤) 与，。，。正交，所以将其用，。表示，并令 ，甄l ，o 的系数为零，则得到 = 驴础嘶 层o = o ，础= 仍 ) = 一专， 极= 伤 第一个和第三个解对应声音沿z 轴方向传播。 对应第一个解，( 1 5 ) 式变为 础= 去。一击 因为_ ，是标量算子，可以将嗽展为 嗷= 蚪吩。+ 弓? 吩：+ 4 ”绝+ 4 ”伤 ，ti，=o 这里要求础与础正交 下面确定系数科与叫将( 1 8 ) 代入( 1 7 ) 两边分别用吩l ，2 做内积得 和+ 萎础= 击 击 ，一l声oy uy j 由( 蠕，j ) = 哆磊o ， ( 1 6 a ) ( 1 6 b ) ( 1 6 c ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 a ) 砉嘤嘭2 一去 q 咖 又知，方程( 1 2 c ) 有解当且仅当齐次方程的解与方程右边的非齐次项正交，即方程右边的项 与仍，仍，纺正交，即只要将，i ，o 的系数为o 即可，则得到 哆 一i 拓 = ，水n 。川 线性化的b o l t z m 蛆n 方程 酽，= 曲；础+ 争础， 1 三 掣= ( 争2 口 掣= 谢碟，一由 础 ( 2 1 ) c h a p m 锄，c o w l i n g 与b u m 嘣等人用逐次舍尾的方法解方程下面解方程( 2 0 ) ，首先解( 2 0 a ) ， 第一次近似为： 则有 爿脯，】，：( o 耐：) 】。= 学者 其它【口算】l 都等于o 二次近似： 则有 拈池+ m 口扎= ， 以【口：】：+ 艺【口舶：= o 1 三 【霹：】：= 0 2 o 以： 爿。以一( 以。) 2 ：= 拶矗， ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 a ) ( 2 5 b ) 其它【口卿】2 都为零如此做下去，我们就可得到收敛快的近似解同样，由( 2 0 b ) 我们得到一次 近似： 二次近似： 蚴。= 母老 蚴：= 母淼， 1 2 ( 2 6 ) ( 2 7 a ) 由( 1 6 ) 式与( 2 0 ) 式得到： 综上知 【口：1 ) 】：= 争南， 肚曲卜击一去 九j = 矗毅+ 占曩驻+ 础= 纠争c 2 + 乞 桃= 口：) 础+ 争讹一去口：) 伤一去础伤 = 学+ 蔫c z + 去山詈z 一去c 2 乞，砉2 卜面+ 三了贡乞+ 丽c i 一了荪c 乞石 = 唔，；c 2 + 乞一z 去哇一击+ 丢辱+ 嘉c 2 一詈z 一去c q 砉 = 静2 r 鬟一去畦辱+ 詈之一去c 2 乞， 再令c = 竹一u ，则c 表示分子的特定速度，则上式变为 = 爷白( u + c ) 2 + 国；( 心+ e ) 一转赤+ 圭厚意；化峋+ 击国巾2 ( 2 7 b ) ( 2 8 ) 号。心吲2 一击国；( u + c ) 2 沁峋】( 一由去) 一 腑= 台；o ( u + 研+ 国+ c ：) 一，转赤+ 圭票掣峋+ 嘉四如阳2 线性化的b o l 切m 衄方程 k 1 2 号四峭) 2 一去四吾如删删】( 一击嘧；莽 三 2 嗜) 2 m ( 刀+ r o ) 2 砌卜赤r u r t l _ 蚤尉2 朋( 刀+ 尺0 ) 2 坳卜南r t n r ”+ 虽尉2 令 一z 南哇一击1 丽l _ 一药贡 1 + 一 2 + 嘉( 一号c m ( 刀+ r o ) 1 ) ( u + 赤r 。+ c ) 2 氘+ 嘉趟i ) + e ) 2 坳卜南r 1 1 r ( 1 三 m o + r o ) 2 坳卜南r i n r t l + 晏硝2 m 仍+ r o ) 2 坳卜赢r i n r ( ”+ 三硝2 2 ， 一产= ( 3 0 朋o + r o ) ) 圭( 叱+ 南趟i ) + c ：) ) ( u + 南r ( 1 ) + c ) 2 ) ( ”南硝+ e ) 2 2 砌卜南r ( n r ( 1 ) + 晏硝2 ) ) 饥+ 嘉掣删 由白兰 声( u + 南r m + c ) 2 怕r 一赤畔批要艄忡聃幸 三 2 咕) 2 m 研一r o ) 2 坳卜南r l n r l l 蚤硝2 ) 搠o 一尺) 2 坳卜南r i n r n 一虽一2 1 4 ) ( u 一南r l l ，+ c ) 2 ) ；( 也一南趟1 ) + e ) 内蒙古大学硕士学位论文 l 瓜， + j 、丽( + 击c 一詈c m ( 刀一尺o ) 2 坳卜南r l n r t ”一争2 ) ) ；( 叱一南趟n + e ) 面慕一如一 2 坳卜南r i n r 。) 一三硝2 ) 一 m o 一尺) 2 坳卜南 2 ， 一芒= ( 3 0 r n r t n 一旦r 2 ) 3 七 7 册o r o ) 南r 1 1 ) + c ) 2 一南掣+ c ：) 2 2 坳卜南r l n r ( 1 ) 一争2 ) 饥一南掣蚓】( 一南( 匀 声( u 一南r ( i ，+ c ) 2 怕r 一赤r m r ( i ) 一晏购蛔卅蒂 又将u 用u + 砉r ( o ) r m 代替，刀丁用刀丁+ ( 蠡r ( 2 ) 一吾r ( o ) r ( o ) + i 妻r t i ) r 。代 一 3 以七刀3 刀七 替，并分别考虑西l ，吼和卯仅有一个不为零的情形，则有： ( 1 ) 翻o 钿= 砑= o 。= 台；( 寺悱c ) 2 + ( 寺；时e ) 一z 熹哇一嘉+ 圭偿c 寺 心蝴+ 击寺c u + c ，2叫再石哼一而+ i 、丽( 剖2 ( + e ) + 丽( 矿( u + c ) 号嚼”c z ) 2 一去睁沁c ) 2 ( ”跚( 一南去) 一 = 一熹t 赤毛辱+ 争吾z 一去如， 1 5 十南匀；一 = 融2 + c z 一，点c 争志畦辱+ ；z 一去c 2 巳， ( 2 ) 砑0 ，钿= 翻= 0 2 一去丽如乜】 ( 3 ) 万坼o ，( 1 f s 2 ) ，妇，= 0 ，f j ，翻= 万r = 0 = ( 寺( u + 札+ c ) 2 + 岛氘+ c ：) 一，* 志 哇、票毋帆堋+ 嘉自如脚c ) 2 号寺峭，： 1 6 内蒙古大学硕士学位论文i ， 一去曝声( u + 吼+ c ) 2 ( 也+ e 肿捌一 = 嚼) ( u 一砒+ c ) 2 + ( 争化+ c z ) 一r 等去 毛票崩他吲+ 击自巾一矾耐号岛蚓z 一去毋( u 一她+ c ) 2 时e ) 】( _ 扫身一 ( 4 ) 砌：o ，札= 毗= o ，翻= 卯= o ，= 审( u + 批+ c ) 2 + 口 ”时咿r 导去 毫层时时啪嘉。懈附c ) ： 一詈岛：+ 锄：+ c ：) 2 一去( 疹( u + 批+ c ) 2 饥+ 札峋】( 一由嗉) 一 k ( 争o ( u 吨+ c ) 2 + 审兰( 吃一啦蝴一浩击 哇层”时啪嘉( 寺( u 一札+ c ) 2 号( 务也一啦+ e ) 2 一去毋( u 一啦删 饥一啦+ c z 肿击) 白；一 1 7 色散关系 第四章色散关系 根据e 与占的定义及热传导系数与第一粘性系数n 1 有 经过计算有 其中 e ：- i 善 3 3 i 础 善= j 一2 一3 + ) = 矿宙憎， ( 2 9 ) 因为在这种势律力情形，系数。是纯数值量，只与势律指数s 有关，在这种情形，线性化 的碰撞算子有形式： ，= 譬， 其中_ ，是只与s 有关在分子势能为下述形式的l 曲n a r d - 如n 船模式中， 认，) = 4 【( 与坦一( 旦) 6 】 7， 系数n 只与约化温度墨互有关将第一次近似的结果代入p ( 一的表达式，则得到分一的第 毛 一次近似： l 由下式给出： 其中 2 k 一罢( 1 + i ) ， 8 4 万r 2 4 + - = ： 1 9 【1 9 6 + 3 ( 3 厂一万2 ) 】7 1 8 x 三堡础 一 = g y ：堡兰篓竺! 二! 竺壶竺二! 盎翌丛蠡! 垫竺竺：竺! 竺 。 p 畚妒且刍) ；a ( c ，d ( 卜c 。s 2 d d q 扰： 其中，( c ，力的意义是标准时则得色散关系： 细2 + 罢( ，+ i 咖一 叫+ 吾乒等( + 朵坩+ 州+ 吾班等( + 朵销3 + 纠+ 吾弘等( ，+ 朵锁3 + 而 一 8 4 烈2 4 + 磊) a - 2 面万蠢南 一8 4 万( 2 4 + 五) ”= 二三二= 一， “ 1 9 【1 9 6 + 3 ( 3 兄一嘎2 ) 】7 五一尘兰三! ! 二! 量，兰2 ，蟛州c l 朋耐d d 僦， 和酉葛赢磊一 万：生兰竺二! 鱼竺宣! ：坐盍堑：竺竺：竺竺 几 p 橱蚵c l j ( 翥妇c l ”c o s z 州僦。 1 9 色散关系 其中 l c i = 加一u l 】2 。p 寺考呵c 2 4 【7 + ( 轰c 2 2 】( 轰声q 蚂朋s 2 回d 僦2 2 p 帮c 2 4 ( 刹刚q 删l 耐踟僦2 矿酉晒咖5 - 1 4 秀) c 2 2 + 嗑) 4 c 2 4 】几云) 锄c 2 删l s 2 回d 僦2 圪2 r = 宣_ 一 矿j 西k 2c 2 4 丘最) ；c 2 ，( q ，秒) ( 1 一c 。s 2d d q 犯2 其中 有 嘲2 丽磊等一 、 3 后( 刀一r 【o 】) 3 七 7 三 c ；= 【舢一u 2 】2 k t 扣一等( 1 + 朵坩+ 2 0 j r e 兰) 手 a d 舛 1 9 i 舾晓船 f 2 实线为对应线性化b 0 1 t i m 耐程的弹性球梗型 的色散关系固，虚线为二粒子b o n z m 缸n 方程的 对应弹性球梗墼的色散关系图 图l 色散关系 f i g 1 t h ed i 删i o nr e l a t i o no fs o 吼d 2 l 问题与展望 一本文求近似解时是首先将b o l 协舱皿方程线性化后再对线性化的b o 舷m 锄方程利用渐 近方法从而得到的近似解。因此再求解时由渐近方法而得到的解的近似程度影响了色散关系 的近似程度 二在用渐近方法求线性化b o l 咖方程的解时求鸪时用到了逐次舍尾的方法，所以其 其近似程度影响到了色散关系的近似程度。 三在用渐近方法求解时，只取了一次近似，而越往后，其计算难度将越大，但结果也将越 精确。 四可以考虑对b o l t z l 啪n 方程运用渐近方法得到b o l t z i 瑚n n 方程的近似解，这样得到的色 散关系将精确的多。 参考文献 参考文献 【l 】j a m e sd f o c hk 1 1 l cd i s p e 璐i o f 鲫l di nm o a t o i i l i cg 缴s 【m 】u 1 1 i v 懿畸o fm i c l l i g 锄 1 9 7 0 【2 】陈建宁b o l t 锄a 皿方程的两个解的平均作为二粒子b o l t z m 锄方程系的解【j 】数学物 理学报，1 9 9 0 ，1 0 ：1 6 0 - 2 6 5 【3 】g a r c i d m ，s i e w e r t ，c e t h el i n 伽盹e db o l 切瑚岫c q 岫t i ：嘶d - w 纠ep m p a g a t i 蛐i na 础汜f i e dg a s 【j 】z a 皿g e w m a 也p h y s 5 7 ( 2 0 0 6 ) ，1 ，9 4 一1 2 2 【4 】g a r c i a p e k i a n 协，a l ；s 锄d o v a l v i l l a l b 锄，a ；g a r c i a c 0 1 吨l s g c n e m l i z e d 碍l a t i v i s t i c c l l a p m n - e n s k o g l 砸o f t l 地b o l t z l 蚴e q u a t i o n 田p h y s a 3 8 7 ( 2 0 0 8 ) ，肿2 1 ，5 0 7 3 - 5 0 7 9 【5 】g m d h p r i 眦i p l e so f n 圮瞄n e 如n i yo f g 豁e s ，i nh a l l d b u c hd e r p h y s i k 妯1 1 2 s f l u g g e ，e d ( s 脚“矧a g ，b e f l i l l ，l9 5 8 ) ：2 0 5 2 9 4 【6 】t i 锄呻l 姐