（凝聚态物理专业论文）含时外场下量子线中电子态及其物理特性.pdf

l 湖南师范大学硕士学位论文 摘要 低维量子系统的精确求解一直是一个非常重要而有价值的工作。 不同于量子微扰方法与数值摸拟方法，量子系统的精确的解析解能 给我们呈现准确、丰富的物理信息，如压缩相干态、b e r r y 相及量子 跃迁等。量子线( 纳米线) 等介观系统中的电子态及电子的物理特性 一直是人们非常关心的问题，它不仅是一个非常重要的物理问题， 而且有着潜在的应用前景，它将是今后纳米电路、纳米器件的重要 物理理论基础。毫无疑问，量子线等介观体系将是今后纳米量子电 路的重要物理器件。本文中我们研究了处于线性含时外场下量子线 中的单电子系统，并得到了相应的精确量子态。利用所得量子态， 我们讨论了该量子系统的一些有趣的物理特性，如相干特性与量子 跃迁等。 全文共分四章： 第一章简要介绍了有关低维系统的研究现状，并详细介绍了含 时外场驱动下电子跃迁的相关研究情况。 第二章我们研究了处于线性含时外场下量子线中被囚禁的单电 子系统。通过采用试探波函数方法及选取合适的时空变量，我们得到 了该量子系统相应的精确量子态。由我们所得到的精确的量子态， 我们研究了量子线中被囚禁电子的压缩相干态特性，我们发现压缩 因子随时间作周期性变化，并存在着瞬时相干态。由所求得的量子 态，我们求出了系统的坐标与动量的期待值，我们发现坐标与动量 的期待值与由经典哈密顿方程得到的结果完全一致，从而在该系统 中我们找到了经典一量子对应。我们也计算了系统的能量期待值， 有趣的是我们发现平均能量由经典能量与量子能量两部分所组成， 这完全不同于相干态的有关能量的结论。 利用已得到的精确的含时非定态，我们详细讨论了电子的跃迁。 首先，我们计算了电子在不同能级间的跃迁概率。对于弱场情况， 我们发现我们的结果与量子微扰论所得的结果基本一致，然而随着 激光强度的增大，量子微扰论已不能给出合理的物理结果，但我们 所得到的精确结果并不受外场强度与频率的限制。在强场中，由对 比我们发现我们的结果与由格林函数方法得到的结果完全一致。同 时我们也给出了跃迁过程中的能量期待值，有趣的是我们发现了共 振情况下存在着有趣的能量平台，特别是当电子的初态处于基态时 湖南师范大学硕士学位论文 所发生的跃迁的过程中，能量平台与跃迁概率峰基本一致，这结论 为理论上实现电子跃迁的控制成为可能。最后，我们展示了在调节 外场参数的情况下，能很好地实现电子波包的控制，包括波包中心 振动的幅度、周期及波包的平衡位置。 第三章我们研究了线性含时外场对量子线中自由单电子的驱动。 由试探波函数方法我们得到了该量子系统精确的解析解，它属于高 斯型波包链解，这不同于已报道的该量子系统的平面波类型的解。 由所求得的结果，我们详细研究了平面波类型的解与高斯型波包解 间的关系。并由我们所得到的量子态，我们发现了含时线性系统中 存在着有趣的相干特性，即系统的坐标与动量的期待值与由经典哈 密顿方程所得的结果完全一致。同时我们得到了能量期待值，它由 经典能量与量子能量两部分所组成。最后我们详细地讨论了含时线 性系统中能量随时间的演化。在不同的外场强度下，出现了有趣的 能隙与能级交叠现象。 第四章我们对本文工作进行了简要的总结，并对这一研究领域 的发展作了简要的展望。 第二章与第三章为本工作的主要创新之处。 关键词：量子线；精确解；量子跃迁；含时线性外场。 o ，、 一 一 ) 1 。 t 湖南师范大学硕士学位论文 3 a b s t r a c t i ti s 、v e uk n o w nt h a tg e t t i n gt h ee x a c ta n a b t i cs o l u t i o no f1 0 w d i m e n s i o n a l q u a n t u ms y s t e mi ss t i ut h ev e r yi m p o r t a n ta n dv a l u a b l ew o r k d i - e r i n gf r o mt h e q u a n t u mp e r t u r b a t i o nm e t h o da n dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d ，t h ee x a c ta n a l y t i cs o l u t i o no fq u 氆n t u ms y s t e mf o ru sp r e s e n tm u c he x a _ c 七p h y s i c a li n f o r m a t i o n ， s u c ha ss q u e e z e dc o h e r e n tp r o p e r t i e s ，b e r r yp h a s e ，q u a n t u mt r a n s i t o n t h eq u a n t u ms t a t ea n dt h ep h y s i c a lp r o p e r t i e so fe l e c t r o ni nt h em e s o s c o p i cq u a n t u ms y s t e m s u c ha st h eq u a n t u mw i r e ( n a n o w i r e s ) i ss t i l lt h ei n t e r e s t i n gp h y s i c a lf i e l d i ti sn o t o n l yt h ei m p o r t a n tp h y s i c a lp r o b l e m ，b u ta l s oa r eo fi m p o r t a n tp o t e n t i a la p p l i c a ， t i o ni nt h ef u t u r ea st h et h e o r e t i c a lb a s i so ft o m o r r o w sn a n o c i r c u i ta n dn a n o d e v i c e w i t h o u td o u b t ，t h em e s o s c o p i cs y s t e m ，s u c ha sq u a n t u mw i r e ，w i ub ev e r yi m p o r t a n t p a r t so ft h eq u a n t u mn a n o c l r c u i t i nt h i sp a p e r ，、v ei n v e s t i g a 七et h eq u a n t u ms y s t e mo fs i n g l ee l e c t r o ni nt h eq u a n t u mw i r eu n d e rt h et i m e d e p e n d e n tl i n e a re x t e r n a l 6 d d ；a n dw eo b t a l i nt h ec o r r e s p o n d i n ge x a c tq u 缸l t u ms t a t e 。b yw h i c hw ed i s c u s s s o m ei n t e r e s t i n gp h y 8 i c a lp r o p e r t i e so ft h eq u a n t u ms y s t e m ，s u c ha st h ec o h e r e n t p r o p e r 七j e sa n dq u a n t u mt r a n s i t i o n i h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e a yi n t r o d u c e 七h er e s e a l r c hs i t u a t i o na b o u tl o w d i m e n s i o n a l q u a n t u ms y s t e ma n dt h ec a s ea b o u tq u a n t u m t r a n s i t i o nu n d e rt h et i m 争d e p e n d e n t e x t e r n a l 丘e l d i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h eq u a n t u ms y s t e mo fs i n g l ee l e c t r o nt r a p p e di nt h e q u a n t u mw i r eu n d e rt h el i n e 缸t i m e d e p e n d e n te x t e r n a l6 e l d b yt h et e s t f u n c t i o n m e t h o da n dc h o o s et h es u i t a b l et i m e _ s p a c ev a r i a b l e ，w eo b t a i nt h ee x a c tq u a n t u m s t a t eo ft h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u ms y s t e m w bs t u d yt h es q u e e z e dc o h e r e n tp r o p e r 七i e so ft h ee l e c t r o nt r p p e d w bf i n dt h a tt h es q u e e z e df a c t o rp e r i o d i c a n yv a r y w i t ht i m ea n dt h ei n s t a n t a n e o u sc o h e r e n ts 七a t e w ba l s oo b t a i nt h ee x p e c t a t i o no f t h ep o s i t i o n m dm o m e n t u m ，a n dw ef i n dt h es l m i l 盯c o h e r e n tp r o p e r t i e s ，n a m e l y t h ee x p e c t a t i o no ft h ep o s i t i o na n dm o m e n t u ma g r e ew i t ht h ec o r r e s p o n d i n gc l a s s i c a lr e s u l t s ，w h i c he 瑚【b o d yt h ec l a s s i c a l q u a n t u mc o r r e 印o n d e n c e w 宅c a l c u l a t e t h ee x p e c 七a t i o no fs y s t e me n e r g y ；a n dw e 五n dt h a tt h ea v e r a g ee n e r g yi sc o m p o s e d o fc l a s s i c a la n dq u a n t u mp a r t s ，w h i c hi sd i 骶r e n tf r o mt h ee n e r g yo fa n yk n o w n r n h p r e n ts t a 土e 4 湖南师范大学硕士学位论文 f b rt h et i m e d c p e n d c n tq u a n t u ms t a t e ，r eh a v ed i s c u s s e dt h eq u a n t u mt r a n s i t i o no fe l e c t r o nu n d e rt h ee x t e r n 甜矗e l di nd e t a i l f b rt h ew e 缸( f i e l dc a s e ，w e f l n d 七h a to u rr e s u l ta g r e e sw i 七h 七h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l to b t a i n e db y 七h ep e r t u r b a ， t i o nm e t h o d b u tw i t ht h ci n c r c a s eo fl a s e r ss t r e n g t h ，t h eq u a n t u mp e r t u l 1 ) a t i o n m e t h o dc a n tg i v et 1 1 er e a s o n a b l ep h y s i c a lr e s u l t ，h o w e v e r ，o u re x a c tr e s u l t sh a v c n t a n yl i m i t st ot h ee x t e r n a lp a r a m e 七e r s i nt h es t r o u g e rf i e l d ，o u rr e s u l tw e ua g r e e w i t h 七h ec o r r c s p o n d i n gr c s u l to b t a i n e db yt h eg r e e n f u n c t i o nm e t h o d i np a r t i c u l a r ，w ef i n dt h er e s o n a n c el a d d e r so ft h ee x p e c 七a t i o ne n e r gy ! r bo u rs u r p r i s e ，w h e n t 1 1 em i t i a ls t a t ei st 1 1 eg r o u n ds t a t c ，t h ee n e r g yp l a t f o r m sa g r e ew i t ht h et r a n s i t i n g p e e k s ，w h i c hw i l lh c l pt or e a l i z et h ec o n t r o l l i n go ft r a n s i t i n gp r o c e s s a tl a s t ，w e c x h i b i tt h ec o t r o u i n gt ot h ew a v e p a c k e t t r a i no fe l c c t r o nu n d e rt h ee x t e r n a lf i e l d b ya ( 1 j u s t i n gt h ee x t e r n a l 矗e l dp a t a m e t e r s ，w e c a nw e ur e a l i z et h ec o n t r o u i n go f o s c i l l a t i n ga m p l i t u d e s ，p e r i o da n dt h ec e n t r ep o s i t i o no ft h co s c i l l a t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h eq u a n t u ms y s t e mo fs i n g l ee l e c t r o ni nt h eo n e d i m e n s i o n a lq u a n t u mw i r eu n d e rt h el i n e a rt i m e d e p e n d e n te x t e r n a lf l e l d b yt h e t e s t f u n c t i o nm e t h o d ，w eg e tt h eg a u s s i a n t y p ew a v 伊p a c k e t r a i ns 0 1 u t i o n ，w h i c h i sd i b r e n 七f r o mt h ep l a n e w a et y p es o l u t i o n st h a 七h a eb e e nr e p o r t e d i no u r p a p e r ，w ed i s s c l l s st 1 1 er e l a t i o nb e t w e e ng a u s s i a n t y p es o h l t i o n sa r l dt h ep l a n e w a v e 七y p es o l u 七i o n si ud c t a i l ：r oo u ri n t e r e s t ，w ef i n dt h ec o l l e r e n tp r o p e r t i e sf 6 rt h e t i m e d e p e n d e n tl i n e a rq u a n t u ms y s t e m ，n a m c l y ， t h ee x p e c t a t i o no f 七h ep o s i t i o n a n dm o m e n t u ma g r e cw i t l lt h ec o r r e s p o i l d i n gc l a s s i c a lr e s u l t s ，w h i c he m b o d yt h e c l a s s i c a l q u a n t u mc o l r e s p o n d e n c c w bc a l c u l a t et h ee x p e c t a t i o no fs y s t e me n e r g y ； a n d 、e 丘n dt h a tt h ea e r a g ee n e r g yi sc o m p o s e do fc l 蝎s i c da n dq u a n t u mp a r t s w bd i s c u s st h et i m e e v o l u t i o no fa v e r a g ee n e r g yf o rt h et i m e d e p e n d e n tq u a n 七u i n s y s t e mi nd e t a i l f o rt h ed i f f 色r e n ts t r e n g t ho fe x t e r n a lf i e l d ，w e 丘n dt h ei i l t e r e s t i n g c n c r g yg a pa n dl e v e lo v e r l a p s i nt h el a s tp a r to ft h ep a p e r ，w eg l v eas i m p l es u m m a r y a b o v e - m e n t i o n e dw o r k s h e r e ，o u rm a i nw o r k sa r ei n v 0 1 v e d t h r c c a n dd i s c u s s i o nt ot h e i nc h a p t c r st w oa n d k e y w o r d s ：q u a n t u mw i r e ；e x a c ts o l u t i o n ；q u a n 七u mt r a n s i t i o n ；t i m e d e p e n d e n t l i n e a re x t e r n ：= 1 1 矗e l d ， 卜， 、i 子7 r _ 湖南师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 低维系统 低维系统是目前凝聚态物理中非常重要和活跃的研究领域，它的研究有 着重要的理论与应用价值。近年来关于低维系统的研究无论在理论与应用方 面均取得了巨大的成就 1 ，2 ，3 ，4 】。随着分子束外延技术等新兴科学技术的发 展，纳米尺度的半导体量子阱、量子线和量子点等低维量子系统中带电粒子的 研究和应用越来越广泛 5 ，6 ，7 ，8 1 ，已发展成为一个引人注目的新领域。介观 系统中新表现出的独有的量子效应指出了以传统的观念、原理为基础的大规 模或超大规模集成电路进一步微细化的物理极限。同时，在介观系统中新出现 的量子效应，可能成为新一代技术的生长点。目前，介观系统中的电子态及电 子的物理特性一直是人们非常关心的问题 2 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 】，它不仅是一个非 常重要的物理问题，而且有着潜在的应用前景。如量子线等介观体系将是今后 纳米量子电路的重要物理器件。 在极低温、强磁场，强电场和超高压等极端条件下的物理研究，形成了凝 聚态物理学中独立的分支学科 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 】，极低温物理就是其中 典型的例子。强电磁场能有效地改变物质内部的磁结构和电子结构，对物质的 性质产生很大影响，而成为现代凝聚态物理研究不可缺少的重要手段。当今凝 聚态物理基础研究的许多重大热点问题都离不开在极端条件下的研究，甚至 很多是以极端条件下的研究作为基础，例如：高温超导的机理问题、新材料的 探索、量子霍耳效应研究、介观体系物理问题、纳米体系物理问题、金属费米面 研究、金属氢的问题等等。强电磁场效应是指外加的静电场，静磁场和交变电 磁场的场强大到已不能作为微扰时对原子分子体系的物理和化学性质的影响 【1 9 】。目前，随着超强激光的发展 2 0 】，有关高频强场中的物理问题引起了越来 越多人的关注。对介观系统而言，外场的影响下电子的物理特性一直是人们感 兴趣的问题，特别是有关含时外场对于电子性质影响的研究，例如均匀振动场 y ( ) = yc o su 2 1 ，2 2 】与激光场y ( z ，) = zc o su 2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 】对介观系统 的作用近几年引起了人们的广泛关注。在弱外场下，可以用微扰的方法来计算 薛定谔方程以来讨论一系列的物理问题，这能得到与实验一致的结果( 3 2 ，3 3 】。 强外场下就不能用微扰的方法，而需寻求其它有效的方法或直接求解含外场的 薛定谔方程 1 9 】。众所周知，低维系统中绝大多数的量子系统，我们都不能精确 求解，只能通过微扰方法或数值摸拟方法来了解物理系统的一些特性，特别是 湖南师范大学硕士学位论文 含时量子系统的精确求解是非常困难的。对于高频强场中的一些物理系统，目 前基本上以数值方法为主，如：由m o i s e y e v 等发展的复标度方法及( t ：) 方法 在强激光场y ( z ，) = e o zc o su t 中有效讨论了量子态的共振的性质【2 6 ，2 8 】。对 于高频驱动场y ( z ，) = 踟c o su ( 场频远大于时间平均哈密顿量的经典频率) 的情况，1 1 y a 等利用k r a m e r s _ h e n n e b e r g e r 振动框架表示 4 3 】方法对该系统的 遂穿过程作了一些有效的讨论，在传统的微扰方法失败的情况下，他们得到了 遂穿的相干增强与抑制的条件【2 5 】。量子系统的精确解，特别是含时强驱动下 量子系统的精确解的求得一直是人们感兴趣的课题，这种工作具有重要的理 论价值。最近几年关于在线性含时外场驱动下量子线中的电子态的研究引起 了人们广泛的兴趣。例如g u e d c s 等利用l e w i sa n dr i e s e n f c l d ( l r ) 含时不变 量方法 2 9 】得到含时线性系统y ( z ，) = ，( ) z 的平面波类型的解 2 9 ，3 0 ；对于 时间周期势y ( ) = + c o s u 及y ( ，) = + e 昂z + c o s u + e f l z c o s u ， l i 与r e i c h l 等利用f l o q u e t 方法得到了该量子系统的f l o q u e t 解 2 l ，2 4 ，2 7 ； 而f e n g 等利用函数变换的方法得到了含时线性系统y ( z ，t ) = 9 ( ) z 的a i r y 波 包解 6 6 。在本文中，我们分别考虑了含时线性外场矿( z ，t ) = 占o z + 1 z c o s u 对一维量子线中被囚禁电子与自由电子的驱动，通过采用试探波函数的方法 我们得到了所考虑含时量子系统的精确量子态。由于我们的精确解对于外场 参数没有任何限制，故可以很好地用来处理弱场与强场下的物理问题，如量 子态的压缩相干特性、能级结构及电子的跃迁等。 1 2 量子跃迁 对于与外场相互作用含时量子系统，电子从一个量子态到另一个量子态 的跃迁间题是一直以来是一个非常重要的物理问题。在本文中，我们详细讨论 了在激光场y ( z ，) = e 1 z c o s u t 的作用下，处于谐振子囚禁势阱中的电子在不 同的量子能级间的量子跃迁。对于该量子系统，当激光场为弱场时，最初由微 扰方法给出了不同能级间的跃迁概率 3 1 1 。下面给出微扰方法的一般推导： 含时哈密顿算符宜( ) 由岛和膏协) 两部分所组成。： 矗( ) = 岛+ 宣他)( 1 1 ) 其中岛为无外界作用时的h a l n i l t o n 量( 不显含时间t ) ，仅微扰部分与时间 有关。体系的波函数皿所满足的薛定谔方程为： i 危鬟：疏) 皿 ( 1 2 ) 湖南师范大学硕士学位论文 设岛的本征函数锄为已知，为岛的本征能量： 凰= ( 1 3 ) 将皿按岛的定态波函数西。= 九e 一去“展开： 毋= n ( ) ( 1 4 ) 将展开式代入薛定谔方程( 1 2 ) 中得： i 危西。掣锄。以) 鲁= 。以) 岛西。+ 。以) 舶。 ( 1 5 ) 利用i 危等= 岛西。，消去上式中左边第二项与右边第一项后，上式简化为： i 危掣= 。以) 舶。 ( 1 6 ) 以西彘左乘上式两边，然后对整个空间积分，利用归一化条件 西彘d 丁= ，。 简化得： t l 掣= n 水) 碥m e 讪。 ( 1 7 ) 其中碥，。为微扰矩阵元：碥，。= j r 西彘疗协) d 丁，“h ，。为体系从能级忍到能 级m 的玻尔频率： u 。，。= ( e 。一岛) ，设微扰在= o 时开始引入，这时体系 处于豆0 的第七个本征态圣k ，则有： ( 1 8 ) 对于方程( 1 7 ) ，量子力学很难求得精确解，只能采用逐步近似的方法来展 开口。( ) ，对于弱场情况，在只考虑一级近似而忽略二级和更高级近似的情况 下，将上式的o 。( 0 ) 作为o 。( ) 代入方程( 1 7 ) 式右边得到： 沆掣= 矗，觋m ，n t = 碥沁叭。 ( 1 9 ) 一。 几 由此得出方程( 1 7 ) 式的一级近似解为： 1r n m ( t ) 2 轰厶碥，e 讪m “d 7 ( 1 1 0 ) 从而我们得到体系在微扰作用下从初态跃迁到终态的跃迁几率为 p m ，= i n m ( ) 1 2( 1 1 1 ) 由于方程( 1 7 ) 的求解困难，由方程( 1 7 ) 并不能给出精确的跃迁概率，对 于。( ) 的展开式，随着考虑的阶数增加，近似解的表达式变得越来越复杂， 以至人们所求出的近似解一般最多不会超过1 0 阶。在强场情况下，方程( 1 1 0 ) 湖南师范大学硕士学位论文 与方程( 1 1 1 ) 并不能给出合理的物理结果，出现跃迁概率大于1 的情况；而且 对于在弱场中的共振情况，随着时间的演化，方程( 1 1 0 ) 与方程( 1 1 1 ) 也不能 给出合理的物理结果。后来由l e o n f 3 4 1 等应用格林函数方法处理在强激光场 驱动下被囚禁单电子的量子跃迁问题，该方法给出了很好的物理结果。下面简 单介绍格林函数方法： 对于所考虑的含时量子系统，设系统的含时幺正算符为u ( ) ，且满足： i a 【，( ) a = h ( ) u ( )( 1 1 2 ) 系统的格林函数可由下面方程给出： g ( z ：z 7 ；) = ( 1 1 3 ) 同时格林函数满足初始条件： g ( z ，z 7 ；o ) = 6 ( z z 7 ) 。由格林函数方法所给出 的不同量子态n 与m 问的跃迁的概率幅度o 。( t ) 为： ，+ 。 。，。( ) = ( f z ( f ：e 7 蝙( 。) g ( z ，z 7 ；) 妒。( 七7 )( 1 1 4 ) 一o 。 其中函数( z ，t ) 为h e 衄i t e 多项式。对于被囚禁电子与激光场y ( z ，) = 一e e zc o s q 的相互作用，通过具体计算得到不同量子态间的跃迁概率为： 一i 、2 p m 丹( ) = l o 。一( ) 1 2 = e 一7 等，y 7 ” l 筹“( 1 ) ) ( 1 1 5 ) t 6 ： ， 对于共振情况u = q ( u 为谐振子的囚禁频率) ，他= 学( u 2 2 2 + 2 u s i n u c o s + s i n 2u ) 。对于非共振情况u q ，7 r = 瓦号兰譬平( 丝每乎翌s i n 2s2 t + ( q + u ) s i n 2 ( u q ) 一( q u ) s i n 2 ；( u + n ) 。由方程( 1 1 5 ) 所给出的结果表明：不同量子态间 的跃迁概率在共振情况下随着时间的演化出现概率峰值，并最终趋于零；而在 非共振情况下，跃迁概率随时间作周期性演化。 本文中我们由精确解出发严格、简单地讨论了该系统的量子跃迁问题。首 先，我们用谐振子的能量本征态( z ) 来展开我们所得到的系统的精确量子态 皿( z ，t ) ，能过计算，我们很容易得到了在不同量子态间的跃迁概率幅度为： ，+ 。 g ，。( t ) = d z 妒荔( z ) m 。( z ，)( 1 1 6 ) 一o 。 其中犁l m ( z ) 为谐振子的能量本征函数，而皿( z ，) 是我们通过试探函数方法所得 到的含时量子系统的精确量子态。故由方程( 1 1 6 ) ，我们得到了不同量子态间精 确的跃迁概率为r ，。( ) = i m ( ) 1 2 。对于任意的外场参数，我们给出了准确的 跃迁概率。在弱场情况下，我们的结果与微扰论所给出的结果基本一致；在强场 情况下，我们的结果与由格林函数方法所给出的结果完全一致。同时我们计算 了该含时量子系统的能量期待值，它由经典与量子两部分所组成。其中量子部 湖南师范大学硕士学位论文 1 1 分能量只与量子数n 有关，而经典部分为时间的函数。对于共振情况，经典能量 随时间的演化出现了有趣的能量阶梯，这结果类似于空间w a n n i e r - s t 盯势 6 1 】 的阶梯。而且台阶处能量值满足量子化关系： 易协。 。z ( 丌七) = o 1 2 5 丌2 七2 ( 七= o ，1 ，2 ，3 ) ，当选择合适的激光场强度1 ，使得系统能量阶梯与谐振子的某些 能级保持一致，在能量台阶处所对应的时间间隔内，如果我们通过控制激 光场的开与关，从而实现电子能量值的控制，这为实现量子跃迁的控制提供了 必要的理论基础。对于非共振情况，系统的能量期待值随时间作周期性演化。 湖南师范大学硕士学位论文 1 3 第二章处于含时线性驱动场中的被囚禁单电子的电子态 及物理特性 2 1引言 最近，随着超强激光技术的发展 2 0 】，对于由高频强场所驱动的粒子的研 究吸引了越来越多人的兴趣。例如：原子与强外场相互作用的高次谐波的产生 ( h h g ) 最近已被广泛研究【3 5 ，相干x 射线瞬态的猜想与证实 3 6 】。以及在强 激光场中系统的稳定性的理论预言f 3 7 ，3 8 ，3 9 及实验上的成功验证 4 0 ，4 1 】。我 们知道在强场中的物理现象并不同于弱场中的情况，这相应的数学处理也不能 使用传统的微扰理论 4 2 】。因此对于强场的研究，一个可靠而精确的理论处理 方法是非常重要的。对于高频驱动场，近似方法一k r a m e r s - h e n n e b e r g e r ( k h ) 框 架表示 4 3 1 已被广泛应用并取得了很好的成功 2 5 ，2 6 ，4 4 ，4 5 ，4 6 f l o q u e t 理论 方法【4 7 】对于强场中的一些问题也取得了结果例如对于均匀振动势y ( 石，) = v c o s ( u t ) ，f l o q u e t 理论是直接而简单的，在近十年中已被广泛使用 2 1 。在 实验中常被使用的含时偶极势y ( z ，) = e f l zc o s ) 由f l o q u e t 理论来处理也 取得了一些成功【2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，4 8 ，4 9 】为处理强外场中被囚禁的单粒子的量 子跃迁问题，有人也用到了格林函数方法 3 4 】。由于微扰方法的失效，如能得 到系统精确的量子态 2 4 ，2 7 ，5 0 ，5 1 】，这将是非常重要而有意义的工作，它将 能为我们提供更多准确、丰富的物理信息。最近关于物质波包的研究激起了 许多人的兴趣 5 2 ，特别是有关波包链的控制【5 3 】。 在这一章中，我们考虑了在一维量子线中囚禁于由磁场所产生的谐振子 势阱中的单电子与含时外场b z + 1 z c o s ( q ) 2 5 ，2 6 ，5 4 】的相互作用。由解析 方法 5 0 】我们得到了量子系统的精确解。由于我们的解对于外场的强度及频 率没有任何限制，故我们已得的量子态能很好地应用去处理强场与弱场的一 些物理问题。例如有关系统量子态的压缩相干特性，期待能量的共振阶梯及不 同量子态之间的量子跃迁。特别是讨论了在外场下单电子波包链的控制。 2 2 精确求解量子态 我们考虑了在一维量子线中由磁场所产生的谐振子势阱囚禁的单电子量 子系统与线性含时驱动场【o z + 1 zc o s ( q t ) 】的相互作用，在驱动外场的作用 湖南师范大学硕士学位论文 下系统的哈密顿量为： i 筹= 一去塞+ 州啦皿。a 亡2a z 2。2 山。“7 w 工 ( 2 1 ) 这里( ) = o + lc o s ( q t ) 表示含时驱动场，o 表示静电场强度，1 与q 表示 激光场的强度与频率。设弧c ，u = e b ( 2 ，。c ) 分别代表电子质量，光速与磁场 的回旋频率。在方程( 2 1 ) 中，为了方便我们采用了自然单位( m = 危= u = 1 ) ， 无量纲化的坐标x 以谐振子长度为单位( c = 玩丽) ，时问以谐振子频率 的倒数为单位( 幻= 吉) 我们设定方程( 2 1 ) 的试探解的形式如下： 皿= o ，。( t ) 风。( ) e z p p ( ) z c ( ) z 2 一，2 ( ) 2 】( 2 2 ) 其中坐标变量= e ( ) z 一，( ) ，函数凰( ) 为h e r m i t i a n 多项式，a ( t ) 、b ( t ) 、 c ( t ) 为时间的复函数，e ( t ) 、f ( t ) 为时间的实函数。将方程( 2 2 ) 代入方程 ( 2 1 ) ，我们得到： e 2 掣+ 2 陋叫) + ( 珏2 制掣+ 2 ( 2 孑“一护+ 2 ( 疬 一 2 6 c 一( ) ) 。+ 2 ( i 西。n ，。一i ，一c + 6 2 2 ) 1 月k ( ) = o ( 2 3 ) 结合h e r m i t i a n 方程( 争一2 繁+ 2 n 巩= o ) ，我们得到系数a ( t ) 、b ( t ) 、 c ( t ) 、e ( t ) 、f ( t ) 的方程如下： 2 i 己=4 c 2 一l ( 2 4 ) i 邑 =2 c e e 3 ( 2 5 ) i 6 = 2 b c + e ( )( 2 6 ) 6 e=e 2 厂+ i ， ( 2 7 ) i 堕= i ，+ c b 2 2 + n e 2( 2 8 ) 由( 2 4 ) 的形式可知，该方程是一个复r i c c a t i 方程，利用函数变换c ( t ) = j 端， 我们很容易得到： 妒2 一妒 ( 2 9 ) 令妒1 与妒2 分别为妒的实部与虚部它们同时满足方程( 2 9 ) ，所得类 似解形式为： 妒1 =a c o s ( t + a ) 妒2 = bc o s ( + p ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 湖南师范大学硕士学位论文 1 5 参数a ，b ，a ，卢是与系统的初始条件有关的常数。 示为： 妒= 妒1 + i 妒2 = _ p ( ) e 棚( 。) 这里幅度与相的函数分别为： p ( ) = 而 口( t ) = a r c t a n ( 鲁) 因此方程( 2 9 ) 的通解可表 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 考虑到c ( t ) 与妒( ) 之间的函数变换，可得c ( t ) 的表达式为： c ：旦：昙一i 箬 ( 2 1 5 ) 仁面2 互叫历 p 。叫 将方程( 2 1 2 ) 代入方程( 2 9 ) ，我们得到有关幅度与相之间的关系函数： 舀：一鲨( 2 1 6 ) 声= p 舀2 一p ( 2 1 7 ) 将上述方程积分得： 七o= p 2 台= 妒l 驴2 一妒2 l = a bs i n ( q p ) ( 2 1 8 ) 凫l = ( 芦2 + 等+ p 2 ) 2 ( 2 1 9 ) 其中与忌1 是积分常数。将方程( 2 1 5 ) 代入方程( 2 5 ) 中得e ( t ) 的表达 式为： e ：还：怕 ( 2 2 0 ) p 由于我们已定e ( t ) 为实函数，故常数为大于零的实数。将方程( 2 1 5 ) 代 入方程( 2 6 ) 中，可得b ( t ) 的表达式为： 6 = 6 。+ 曲。= 啬 一i ( t ) 妒d t + 。 ， ( 2 2 - ) 其中6 l 与b 2 为函数6 ( t ) 的相应的实部与虚部。令与6 6 分别代表积分常数 湖南师范大学硕士学位论文 6 - = 击阻) 印) 似油一以) ) 洲咖抖嘶m ) + 6 渤 = 嘉a bc 。s ( t + a ) 印s i n ( t + p ) + 旦坐垫装掣+ 里塑警掣) + 言6 扯o s ( hn ) 一言a bc 。吣+ 卢) b s i n ( 汁a ) + 里兰塑菩掣+ 里望菩掣) + 去o j b c 。s ( t + 卢) ( 2 2 2 ) 2 ( 1 一q )2 ( 1 十q )j 。p 2 。”r 7 、。7 b 。= 嘉 一川) r 。小) 洲伽一吲t ) f 。出) 吲伽蚪石渤一吲t ) = 一言a b c 。s ( t + q ) 。s i n ( t + q ) + 旦堕堡訾掣+ 里些尝掣) 吉6 5 bc 。s ( + p ) 一言a bc 。s ( + p ) 。s i n 。+ p ) 十鱼兰望訾掣 + 旦兰塑菩群) + 吉6 j a c 。s ( + 乜) ( 2 2 3 ) 考虑到函数f ( t ) 为实函数，结合方程( 2 7 ) 与方程( 2 2 0 ) ，我们得到： ，：粤：攀 ( 2 _ 2 4 ) 。 e 佤 p 一7 ，_ e 6 z = 等 ( 2 - 2 5 ) 方程( 2 2 4 ) 与( 2 2 5 ) 的关系意味着爱( 锵) = e ( ) 6 2 ( t ) ，利用方程( 2 1 8 ) 一( 2 2 3 ) ，很容易证明上述等式成立。对方程( 2 8 ) 积分，得到函数n ，。( t ) 的表达式为： 。以) = 舄e x p 叫n + 三) 口+ 三( 6 ；“酬 ( 2 2 6 ) 其中厶是一个由波函数的归一化条件( ri 皿1 2 如= 1 ) 决定的常数： = ( 了黯) 。将方程( 2 1 5 ) ，( 2 2 0 ) 一( 2 2 6 ) 代入方程( 2 2 ) 中，得到一维量子 线系统中被囚禁单电子的精确量子态： 皿。( z ，t ) = r 。( z ，t ) 一e t t ( 。，扪：n = o ：l ，2 ，3 ， 其中实函数( z ，) 与e 。( z ，t ) 分别为： 她归( 高) 5 咪皿p ( 一翔 e 水瑚= 一( 丢+ n ) 臼+ 6 z z + 专冉去卜；- 6 2 ) 出 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 湖南师范大学硕士学位论文 所选时空坐标变量为： 如= 籍茁一掣 ( 2 3 0 ) 我们所得到的系统的精确解为n + 1 个完全解，它们满足正交归一化条件( ( 皿。l 皿) = 如) 。该解描述了处在含时外场下被囚禁电子的运动。当选择不同的 系统参数，我们能得到不同的量子态，应用它们可以描述不同的物理问题。例 如：当我们选择a = j e