MATLAB基础与应用教程(人民邮电出版社-蔡旭辉)第二章b.ppt

,第2章矩阵、数组和符号运算,二、符号运算掌握内容：（1）了解MATLAB的符号变量，掌握MATLAB符号表达式、符号矩阵的两种创建方法。（2）掌握MATLAB符号数学函数的创建。（3）掌握符号矩阵的基本运算及MATLAB关于不同精度的控制方法。（4）掌握符号微积分内容，包括求函数的极限、对符号表达式求导数和微分、符号积分、符号求和、傅立叶变换及其逆变换等。（5）掌握各种符号方程的求解方法和函数命令。（6）了解MATLAB可视化的符号函数分析界面及使用。（7）初步了解MAPLE的符号资源。,对于：,如何计算？,第2章矩阵、数组和符号运算,A=2,-3;23;B=1;5;X=AB,符号运算,所谓符号计算是指在运算时，无须事先对变量赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。,第2章矩阵、数组和符号运算,第2章矩阵、数组和符号运算,抽象运算：公式推导、因式分解、求解代数方程或微分方程的精确解符号数学工具箱1）通过基本符号数学工具箱的专用函数；符号表达式和符号矩阵的操作；多项式的化简、展开和代入；线性代数；微积分；符号方程的求解；特殊的数学函数。2）通过maple.m、mpa.m两个专门设计的M文件进行符号运算；3）通过MATLAB中的函数计算器（FunctionCaculator）。,第2章矩阵、数组和符号运算,1、符号变量的创建a.sym函数(symbol的缩写)S=sym(arg)，从表达式arg创建一个sym对象Sx=sym(x)x=sym(x,real)x=sym(x,unreal)附加属性x=sym(x,positive)pi=sym(pi)delta=sym(1/10)S=sym(A,flag)，将数值或矩阵转化为符号形式其中flag选项有四项参数f,r,e和d，r为缺省项。f：代表十六进制浮点形式；r：代表有理数形式；e：估计误差；d：表示十进制小数。,第2章矩阵、数组和符号运算,A=2/5,4/0.78,sqrt(23)/3;0.33,0.3333,log(4)输入数值矩阵AA=0.40005.12821.59860.33000.33331.3863FA=sym(A)将数值矩阵A转化为符号矩阵FAFA=2/5,200/39,sqrt(23/9)33/100,3333/10000,6243314768165359*2(-52)不管数值矩阵的元素是以分数或是浮点数表示，转换后的符号矩阵都将以最接近有理式的形式给出。b.syms函数*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为：symsabcd书写简洁意义清楚，建议使用。symsabcxy,2、符号表达式和符号矩阵的创建,第2章矩阵、数组和符号运算,a.字符串直接输入创建符号表达式和符号方程对空格很敏感。因此，在创建符号表达式或符号方程时，不要在字符间任意加空格符；符号计算中出现的数字也是当作符号处理的；f=a*x2+b*x+cf=a*x2+b*x+cf=a*x2+b*x+c=0f=a*x2+b*x+c=0,2、符号表达式和符号矩阵的创建,第2章矩阵、数组和符号运算,这种方法输入符号矩阵与字符串矩阵的输入相似。但要保证在同一列中各元素字符串有同样的长度，在较短的字符串前后用空格符填充；这种方法要求符号矩阵每一行的两端都有方括号，而字符串矩阵仅在首尾有方括号。B=4+xx2x;x35*x-3x*aB=4+xx2xx35*x-3x*a,2、符号表达式和符号矩阵的创建,第2章矩阵、数组和符号运算,b.由sym命令创建f=sym(a*x2+b*x+c)f=a*x2+b*x+cf1=sym(a*x2+b*x+c=0)f1=a*x2+b*x+c=0A=sym(4+x,x2,x;x3,5*x-3,x*a)A=4+x,x2,xx3,5*x-3,x*a,第2章矩阵、数组和符号运算,c.由syms命令创建symsxabcf=a*x2+b*x+cf=a*x2+b*x+csymsxaB=4+xx2x;x35*x-3x*aB=4+x,x2,xx3,5*x-3,x*a不能创建符号方程,【例1】作符号计算：a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量,第2章矩阵、数组和符号运算,方法一：symsabA=a,-b;ab;B=1;5;X=ABX=3/a2/b,第2章矩阵、数组和符号运算,方法二：a=sym(a);%定义a为符号运算量，输出变量名为ab=sym(b);x=sym(x);y=sym(y);x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)%solve：符号代数方程的求解%以a,b为符号常数，x,y为符号变量即可得到方程组的解：x=3/ay=2/b,【例2】已知一复数表达式z=x+i*y，试求其共轭复数，并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。为了使乘积表达式x2+y2非负，这里，把变量x和y定义为实数。x=sym(x,real);y=sym(y,real);,第2章矩阵、数组和符号运算,z=x+i*y;%定义复数表达式conj(z);%求共轭复数expand(z*conj(z)%求表达式与其共轭复数乘积的多项式%expand：展开符号表达式中的各项子式ans=x2+y2若要去掉x的属性,可以使用下面语句x=sym(x,unreal)将x创建为纯格式的符号变量。,第2章矩阵、数组和符号运算,默认符号变量在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而用排在后面的字母表示变量。例如：f=ax2+bx+c表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数；而将x看作自变量。,第2章矩阵、数组和符号运算,例如，数学表达式f=xng=sin(at+b)根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,n为符号常数，x，t为符号变量。若在MATLAB中表示上述表达式，首先用syms函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认a,b,n为符号常数，x，t为符号变量。即：对函数f求导为：df/dx对函数g求导为：dg/dt,第2章矩阵、数组和符号运算,为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名，可以用findsym函数查询符号函数中所包含的符号变量。该函数的引用格式为：findsym(f,n)说明：f为用户定义的符号函数，n为正整数，表示查询变量的个数。n=i，表示查询前i个系统默认变量。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。,第2章矩阵、数组和符号运算,【例3】查询符号函数f=xng=sin(at+b)中的系统默认变量。symsabntx%定义符号变量f=xn;%给定符号函数g=sin(a*t+b);findsym(f,1)%在f函数中查询1个系统默认变量ans=x%表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。findsym(g,1)ans=t,第2章矩阵、数组和符号运算,例3：查询符号函数中的默认自变量。创建符号变量a,b,n,x和t，建立函数f=axn+bt，然后求f的默认自变量。symsabntxf=a*xn+b*tfindsym(f,1)findsym(f,2)findsym(f,5)%f表达式中按最接近x顺序排列的5个默认自变量findsym(f)%f表达式中按最接近字母顺序排列的全部自变量f=a*xn+b*tans=xans=x,tans=x,t,n,b,aans=a,b,n,t,x,第2章矩阵、数组和符号运算,【例4】定义一个符号函数fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。symsabcxy%定义符号变量fxy=(a*x2+b*y2)/c2;%生成符号函数diff(fxy,x)%符号函数fxy对x求导数ans=2*a*x/c2diff(fxy,y)%符号函数fxy对y求导数ans=2*b*y/c2int(fxy,x)%符号函数fxy对x求积分ans=1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),第2章矩阵、数组和符号运算,3、符号矩阵的运算基本运算四则运算（与数值矩阵的运算规则相同）两个符号矩阵的大小相等方可进行加减运算，符号矩阵和符号标量的加减运算按照数组运算规则进行；两个符号矩阵进行乘、除法运算（与矩阵乘、除法规则相同）；符号的乘方运算Sp，若S为符号表达式，p可以为符号表达式或数值表达式；若S为符号矩阵，则p必须是整数。,第2章矩阵、数组和符号运算,第2章矩阵、数组和符号运算,a=sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3)a=1/x,1/(x+1)1/(x+2),1/(x+3)b=sym(x,1;x+2,0)b=x,1x+2,0b-aans=x-1/x,1-1/(x+1)x+2-1/(x+2),-1/(x+3),abans=-6*x-2*x3-7*x2,3/2*x2+x+1/2*x314*x+2*x3+10*x2+6,-2*x2-3/2*x-1/2*x3a.bans=x2,x+1(x+2)2,0a2ans=1/x2+1/(x+1)/(x+2),1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3)1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2),1/(x+1)/(x+2)+1/(x+3)2exp(b)ans=exp(x),exp(1)exp(x+2),1,第2章矩阵、数组和符号运算,b.符号表达式的化简与转换给定如下3个符号表达式:f=x3-6*x2+11*x-6g=(x-1)*(x-2)*(x-3)h=-6+(11+(-6+x)*x)*x是否同一个符号表达式？,第2章矩阵、数组和符号运算,collect：将表达式中同类项合并，合并后的多项式以变量幂的次数按大小依次排列ff=x3-6*x2+11*x-6collect(g)ans=x3-6*x2+11*x-6collect(h)ans=x3-6*x2+11*x-6symsxycollect(x2*y+y*x-x2-2*x)ans=(y-1)*x2+(y-2)*x,第2章矩阵、数组和符号运算,expand：展开符号表达式中的各项子式symsxyexpand(x+1)3)ans=x3+3*x2+3*x+1expand(sin(x+y)ans=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)factor：符号因式分解symsxfactor(x9-1)ans=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),第2章矩阵、数组和符号运算,numden：分式通分symsxyn,d=numden(x/y+y/x)n=x2+y2%n：分式的分子d=y*x%d：分式的分母,表达式简化符号表达式的两个化简函数：simplify、simplesimplify：化简函数，主要用于在符号表达式中进行等式的恒等替换。例1：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简.symsxf=sin(x)2+cos(x)2;simplify(f)ans=1,第2章矩阵、数组和符号运算,r,how=simple(S)函数可寻找符号表达式S的最简型，r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法：*simplify函数对表达式进行化简*radsimp函数对含根式(surd)的表达式进行化简*combine函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并*collect合并同类项*factor函数实现因式分解*convert函数完成表达式形式的转换,第2章矩阵、数组和符号运算,例2：最简表达式的获得。symsxtf=cos(x)2-sin(x)2;r,how=simple(f)r=cos(2*x)how=combine(trig),第2章矩阵、数组和符号运算,Examples:Srhowcos(x)2+sin(x)21simplify2*cos(x)2-sin(x)23*cos(x)2-1simplifycos(x)2-sin(x)2cos(2*x)combine(trig)cos(x)+(-sin(x)2)(1/2)cos(x)+i*sin(x)radsimpcos(x)+i*sin(x)exp(i*x)convert(exp)(x+1)*x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand,第2章矩阵、数组和符号运算,4、符号微积分Matlab自变量确定原则：除i、j外，字母位置最接近x的小写字母为自变量；如果表达式中没有变量，x会被视为默认的变量。由函数findsym可以找到默认变量a.符号极限(Symboliclimit)*limit(F,x,a)计算符号表达式F在自变量xa条件下的极限；*limit(F,a)计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限；*limit(F)计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限；*limit(F,x,a,right)和limit(F,x,a,left)计算符号表达式F在xa条件下的右极限和左极限。,symsxathlimit(sin(x)/x)ans=1limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)limit(1/x,x,0,right)ans=Inflimit(1/x,x,0,left)ans=-Inf,第2章矩阵、数组和符号运算,【例】求极限symsx%定义符号变量f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3；%确定符号表达式w=limit(f)%求函数的极限w=-1/2,第2章矩阵、数组和符号运算,b.微分函数（differentialcoefficient）diff函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引用格式为：diff(s,v,n),说明：应用diff（s）没有指定微分变量和微分阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，v）或diff（s，sym（v）格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，n）格式，表示按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶微分，n为正整数。应用diff（s，v，n）、diff（s，n，v）格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求n阶微分。,第2章矩阵、数组和符号运算,【例】求导数：x=sym(x);%定义符号变量t=sym(t);diff(sin(x2)%求导运算ans=2*cos(x2)*x【例】分别计算表达式f=xx的导数和3次导数.symsx;f=xx;diff(f)diff(f,3)ans=xx*(log(x)+1)ans=xx*(log(x)+1)3+3*xx*(log(x)+1)/x-xx/x2,第2章矩阵、数组和符号运算,c积分函数（integral）积分函数int（s，v，a，b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为：int（s，v，a，b)说明：应用int（s）格式，表示没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求一阶积分。应用int（s，v）格式，表示以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。应用积分函数时，如果给定a、b两项，表示是进行定积分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。不指定积分的下限和上限表示求不定积分。,第2章矩阵、数组和符号运算,【例】求积分：symsxint(1/(1+x2)ans=atan(x)int(1/(1+x2),0,1)%符号表达式的定积分ans=1/4*piquad(1./(1+x.2),0,1)%数组的定积分ans=0.7854,第2章矩阵、数组和符号运算,d.级数(符号)求和(Symbolicsummation)级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为：*symsum(S)求符号表达式S对于默认自变量的不定和；*symsum(S,v)求符号表达式S对于自变量v的不定和；*symsum(S,a,b)求符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和；*symsum(S,v,a,b)求符号表达式S对于自变量v从a到b的有限和；,第2章矩阵、数组和符号运算,【例】求级数的和:1/12+1/22+1/32+1/42+键入：symsksymsum(1/k2,1,Inf)%k值为1到无穷大ans=1/6*pi2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+=2/6,第2章矩阵、数组和符号运算,例：分别计算表达式k、symskxsymsum(k)symsum(k2,0,10)symsum(xk/sym(k!),k,0,inf)ans=1/2*k2-1/2*kans=385ans=exp(x),第2章矩阵、数组和符号运算,e.Taylor级数展开(Taylorseriesexpanding)*taylor(f)计算符号表达式f对于默认自变量等于0处的5阶Taylor级数展开式；*taylor(f,n,v)计算符号表达式f在自变量v=0处的n-1阶Taylor级数展开式；*taylor(f,n,v,a)计算符号表达式f在自变量v=a处的n-1阶Taylor级数展开式。,第2章矩阵、数组和符号运算,例：分别计算表达式的5阶Taylor级数展开式和f=exsin(x)的5阶及11阶Taylor级数展开式。symsxf=1/(5+cos(x);r=taylor(f)f=exp(x*sin(x);r=taylor(f)r=taylor(f,12)r=1/6+1/72*x2r=1+x2+1/3*x4r=1+x2+1/3*x4+1/120*x6-11/560*x8-1079/362880*x10,第2章矩阵、数组和符号运算,f.傅立叶变换和傅立叶逆变换傅立叶快速离散变换MATLAB提供了fft(内置函数)、ifft、fft2、ifft2、fftn、ifftn、fftshift、ifftshift等函数，用来计算矩阵的离散快速傅立叶变换。函数fft和ifft函数fft最完整的调用格式为：Y=fft(X,dim)或Y=fft(X,n,dim)数据长度n是2次幂时，可以采用基-2算法进行快速计算。输入参数X可以是向量、矩阵。dim指定变换的实施方向。当X是矩阵时，1指明变换按列进行（默认），2指明变换按行进行。,第2章矩阵、数组和符号运算,第2章矩阵、数组和符号运算,X=1,2,3;4,5,6;7,8,9X=123456789Y=fft(X)Y=12.000015.000018.0000-4.5000+2.5981i-4.5000+2.5981i-4.5000+2.5981i-4.5000-2.5981i-4.5000-2.5981i-4.5000-2.5981i函数fft2和ifft2函数fft2和ifft2是对数据做二维快速傅立叶变换和逆傅立叶变换。数据的二维傅立叶变换fft2(X)相当于fft(fft(X)，即先对X的列做一维傅立叶变换，然后对变换结果的行做一维傅立叶变换。其调用格式为：Y=fft2(X,mrows,ncols),傅立叶积分变换及其反变换离散傅立叶变换（DFT）作用于有限数据采样，傅立叶变换作用于连续函数。傅立叶变换调用格式为：F=fourier(f)：求表达式f的傅立叶变换。缺省的自变量为x，缺省的返回值F是关于w的函数。F=fourier(f,v)：返回函数F是关于v的函数，而不是缺省的w。F=fourier(f,u,v)：对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数。傅立叶逆变换调用格式为：f=ifourier(F)：符号表达式F的傅立叶逆变换。缺省的自变量为w，缺省返回f是关于x的函数。f=ifourier(F,u)：返回函数f是关于u的函数，而不是缺省的x的函数。f=ifourier(F,v,u)：对关于v的函数F进行变换，返回关于u的函数f。,第2章矩阵、数组和符号运算,symsxtwu;fourier(exp(-x2)ans=exp(-1/4*w2)*pi(1/2)fourier(exp(-x2),u)ans=exp(-1/4*u2)*pi(1/2)fourier(exp(-t2),t,u)ans=exp(-1/4*u2)*pi(1/2)ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x)ans=f(x)ifourier(exp(-w2)ans=1/2*exp(-1/4*x2)/pi(1/2),第2章矩阵、数组和符号运算,第2章矩阵、数组和符号运算,例：求阶跃信号的fourier变换,symstw;ut=sym(heaviside(t);%定义0时刻起跳的单位阶跃函数UT=fourier(ut)%实施Fourier变换，给出与理论一致的结果UTS=simple(UT)Ut=ifourier(UT,w,t)%结果与原函数相等Uts=ifourier(UTS,w,t),UT=pi*dirac(w)-i/w%dirac(w)：单位冲激函数UTS=pi*dirac(w)-i/wUt=heaviside(t)Uts=heaviside(t),第2章矩阵、数组和符号运算,【例】用fourier指令求矩形脉冲的Fourier变换。symsAtwsymstaopositiveyt=sym(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2);%定义幅度为1、宽度为tao的矩形脉冲Yw=fourier(A*yt,t,w)Yws=simple(Yw)Yw=2*A/w*sin(1/2*tao*w)Yt=ifourier(Yw,w,t)Yt=A*(heaviside(t+1/2*tao)-heaviside(t-1/2*tao),第2章矩阵、数组和符号运算,【例】求的Fourier变换，在此x是参数，t是时间变量。本例演示：fourier的缺省调用格式的使用要十分谨慎；在被变换函数中包含多个符号变量的情况下，对被变换的自变量给予指明，可保证计算结果的正确。symstxw;ft=exp(-(t-x)*sym(heaviside(t-x);F1=simple(fourier(ft,t,w)%给出以w为频率变量的正确结果F2=simple(fourier(ft)%误把x当作时间变量F3=simple(fourier(ft,t)%误把x当作时间变量，又把t当作频率变量F1=exp(-i*x*w)/(1+i*w)F2=i*exp(-i*t*w)/(i+w)F3=i*exp(-i*t2)/(i+t),g.Laplace变换L=laplace(F)xsL=laplace(F,z)xzL=laplace(F,w,z)wzsymsxswzlaplace(sin(x)ans=1/(s2+1)laplace(sin(x),w)ans=1/(w2+1),第2章矩阵、数组和符号运算,laplace(sin(x*w)ans=w/(s2+w2)laplace(sin(x*w),w,z)ans=x/(z2+x2),第2章矩阵、数组和符号运算,【例】求的Laplace变换。symsts;symsabpositiveDt=sym(dirac(t-a);Ut=sym(heaviside(t-b);Mt=Dt,Ut;exp(-a*t)*sin(b*t),t2*exp(-t);MS=laplace(Mt,t,s)MS=e